Разложение на простые множители кратко
Обновлено: 03.07.2024
Разложить число на простые множители значит представить это число в виде произведения простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел, если не учитывать порядка записей простых множителей.
Алгоритм разложения чисел на простые множители
Проводим вертикальную черту
Слева от черты пишем число
Справа от черты пишем простой делитель этого числа
Слева записываем число которое образовалось в результате деления
Продолжаем процесс пока слева не останется 1
Рассмотрим пример
Разложим число 36
Проводим черту, записываем 36 слева. Самым маленьким простым делителем числа 36 является 2. Делим 36/2 = 18. 18 записываем под числом 36. Далее повторяем. Самым маленьким делителем числа 18 является 2. Дилим 18/2 = 9. 9 записываем под числом 18. Опять повторяем. Самым маленьким простым множителем числа 9 является 3. Делим 9/3 получается 3. Тройку записываем под 9. Тройка это простое число у которого делить только 3 и 1. Записываем 3 напротив тройки. Делим 3/3 = 1. 1 записывам под 3. Разложение закончено.
Целое положительное число называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя.
Целое положительное число называется составным, если у него есть хоть один делитель, отличный от 1 и самого себя.
В данной публикации мы рассмотрим, что такое простые множители, и как любое число разложить на них. Теоретический материал сопроводим примерами для лучшего понимания.
Алгоритм разложения числа на простые множители
Для начала напомним, что простым называется натуральное число больше нуля, которое нацело делится только на само себя и единицу (“1” не является простым).
Если делителей больше двух, число считается составным, и его можно разложить на произведение простых множителей. Этот процесс называется факторизацией, состоит из следующих шагов:
-
Убеждаемся в том, что заданное число не является простым. Если оно до 1000, то нам в этом может помочь таблица, представленная в отдельной публикации.
Мы с вами окунемся в мир разложения на простые множители - ведь тут начинается одна из основных проблем, с которой сталкиваются школьники. Если разобраться с нею сразу, то дальше будет намного проще!
Разложение на простые множители
Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.
На рисунке можно увидеть это деление.
Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.
Например:
Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5
Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60
Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.
Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.
Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.
Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.
Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:
- записать его как произведение множителей
- проверить, есть ли среди них составные числа
- если есть, повторить разложение с ними
- делать так до тех пор, пока все числа в разложении не станут простыми
- записать получившееся разложение
Пример:
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа - простые делители числа 984
Решение
Ответ: Шифр 413222
Пример:
Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:
а) на 2 множителя;
б) на 3 множителя;
в) на 4 множителя;
Решение
Пример:
Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888
Решение
Для первого числа:
Для второго числа:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Мы с вами узнали, что простыми называются числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, например, 19, 23 и многие другие. Искать эти числа начали еще в третьем столетии до нашей эры, когда были приведено доказательство того, что их количество бесконечно. Это сделал учёный-математик Евклид.
Но до развития ЭВМ в 20 веке нашей эры поиск простых чисел был проблемным, так как вычисления производились вручную. Компьютерная техника позволила сделать рывок в поиске и изучении простых чисел. Например, в 1985 году самое большое из найденных простых чисел содержало в себе 65050 цифр.
В наше время этот рекорд уже побит. Каждый раз для этого компьютер отбирает число и делит его на все известные простые числа. Поиск не останавливается, и энтузиасты ищут дальше.
Спрашивается, зачем всё это делается? Ответ таков: простые числа широко используются в науке, особенное место занимают в криптографии при разработке шифров. Поэтому изучение простых чисел и поиск новых кандидатов оправдан.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Второй способ разложения на простые множители
Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:
- Последовательно делить его сначала на два, потом на 3 и т.д. пока не получим единицу
- Полученное записать в виде произведения простых чисел
Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.
В итоге мы получили разложение на простые множители.
Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.
Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.
Пример:
Разложите вторым способом числа на простые множители.
а) 48
б) 3600
в) 532
г) 780
д) 8160
е) 624
Решение
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) занимался изучением свойств простых чисел.
Ему удалось доказать интересный факт: между любым натуральным числом, большим 1, и удвоенным числом, есть хотя бы одно простое число. Ниже представлены несколько примеров в подтверждение этого факта:
6 и 12 - между ними 7, 11
9 и 18 - между ними 11, 13, 17
13 и 26 - между ними 17, 19, 23
По этим примерам видно, что есть хотя бы одно простое число между числом и его удвоенным результатом.
Христиан Гольдбах (1690-1764), известный математик, служивший более 250 лет назад в Академии наук в Санкт- Петербурге, предположил, что для всех нечётных чисел, больших 5, можно составить сумму из трех простых чисел.
Посмотрим, как это может выглядеть на примерах:
7 = 2 + 2 + 3
11 = 3 + 3 + 5
19= 5 + 7 + 7
31= 13 + 13 + 5
Виноградов И.М. (1891-1983), известный советский математик, доказал его предположение спустя 200 лет.
12 = 5 + 7
18 = 7 + 11
26 = 13 + 13
36 = 17 + 19
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.
Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
51 = 1 + 13 + 37
Вторая проблема Ландау.
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Мы с вами окунемся в мир разложения на простые множители - ведь тут начинается одна из основных проблем, с которой сталкиваются школьники. Если разобраться с нею сразу, то дальше будет намного проще!
Разложение на простые множители
Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.
На рисунке можно увидеть это деление.
Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.
Например:
Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5
Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60
Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.
Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.
Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.
Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.
Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:
- записать его как произведение множителей
- проверить, есть ли среди них составные числа
- если есть, повторить разложение с ними
- делать так до тех пор, пока все числа в разложении не станут простыми
- записать получившееся разложение
Пример:
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа - простые делители числа 984
Решение
Ответ: Шифр 413222
Пример:
Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:
а) на 2 множителя;
б) на 3 множителя;
в) на 4 множителя;
Решение
Пример:
Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888
Решение
Для первого числа:
Для второго числа:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Мы с вами узнали, что простыми называются числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, например, 19, 23 и многие другие. Искать эти числа начали еще в третьем столетии до нашей эры, когда были приведено доказательство того, что их количество бесконечно. Это сделал учёный-математик Евклид.
Но до развития ЭВМ в 20 веке нашей эры поиск простых чисел был проблемным, так как вычисления производились вручную. Компьютерная техника позволила сделать рывок в поиске и изучении простых чисел. Например, в 1985 году самое большое из найденных простых чисел содержало в себе 65050 цифр.
В наше время этот рекорд уже побит. Каждый раз для этого компьютер отбирает число и делит его на все известные простые числа. Поиск не останавливается, и энтузиасты ищут дальше.
Спрашивается, зачем всё это делается? Ответ таков: простые числа широко используются в науке, особенное место занимают в криптографии при разработке шифров. Поэтому изучение простых чисел и поиск новых кандидатов оправдан.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Второй способ разложения на простые множители
Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:
- Последовательно делить его сначала на два, потом на 3 и т.д. пока не получим единицу
- Полученное записать в виде произведения простых чисел
Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.
В итоге мы получили разложение на простые множители.
Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.
Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.
Пример:
Разложите вторым способом числа на простые множители.
а) 48
б) 3600
в) 532
г) 780
д) 8160
е) 624
Решение
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) занимался изучением свойств простых чисел.
Ему удалось доказать интересный факт: между любым натуральным числом, большим 1, и удвоенным числом, есть хотя бы одно простое число. Ниже представлены несколько примеров в подтверждение этого факта:
6 и 12 - между ними 7, 11
9 и 18 - между ними 11, 13, 17
13 и 26 - между ними 17, 19, 23
По этим примерам видно, что есть хотя бы одно простое число между числом и его удвоенным результатом.
Христиан Гольдбах (1690-1764), известный математик, служивший более 250 лет назад в Академии наук в Санкт- Петербурге, предположил, что для всех нечётных чисел, больших 5, можно составить сумму из трех простых чисел.
Посмотрим, как это может выглядеть на примерах:
7 = 2 + 2 + 3
11 = 3 + 3 + 5
19= 5 + 7 + 7
31= 13 + 13 + 5
Виноградов И.М. (1891-1983), известный советский математик, доказал его предположение спустя 200 лет.
12 = 5 + 7
18 = 7 + 11
26 = 13 + 13
36 = 17 + 19
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.
Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
51 = 1 + 13 + 37
Вторая проблема Ландау.
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Определение множителя
В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.
Определения множителя как компонента умножения
Сейчас немного расширим понятие множителя.
Множитель — это число или математическое выражение, которое участвует в представления числа или выражения в виде произведения.
Представить число или математическое выражение в виде произведения чисел или математических выражений — значит разложить на множители.
Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?
Пример 1
Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.
Пример 2
Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).
Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.
Простые множители
Если число можно представить в виде произведения чисел, делящихся только на себя или на единицу, то такие числа называются простыми множителями. Другими словами, простые множители это простые делители числа, делящие его без остатка.
Пример 1
Разложите число 65 на простые множители.
Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.
Пример 2
Разложите число 270 на простые множители.
Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .
Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:
Читайте также: