Равномерное распределение случайной величины кратко

Обновлено: 05.07.2024

Существует несколько десятков видов распределений (равномерное, нормальное, логарифмически нормальное, показательное, пуассоновское, распределение Релея, распределение Вейбулла и другие), которые хотя и в разной степени, но тем не менее часто встречаются при решении прикладных задач. Каждому такому распределению соответствует функция или плотность распределения вполне определенного вида. Простейшим является равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.

Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал:

Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где l - положительное число.

Найдем функцию распределения.

Графики плотности распределения и функции показательного распределения:

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2 ).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны.

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в заданный интервал:

Показательное распределение используется в теории надежности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀=0, а через время t происходит отказ устройства. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства. Функция распределения

Функцию R(t) называют функцией надежности.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.

Следовательно, функционирование устройства на протяжении всего существования можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l (среднее число отказов в единицу времени) и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.

Подобным свойством обладает только показательный закон распределения, поэтому этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Среди всех распределений особое место занимает нормальное распределение, которое на практике встречается наиболее часто.

Итак, пусть а – любое число, s>0 – любое положительное число. Случайная величина Х, являющаяся результатом некоторого испытания, называется нормально распределенной случайной величиной (коротко, НРСВ), если ее плотность распределения имеет вид:

Можно показать, что М(Х)=а; D(Х)=s 2 и .

График плотности нормального распределения называется нормальной (или гауссовой) кривой.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х плотность принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y¢ > 0 при x a , то в точке х = a функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = a + s и x = a - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график плотности нормального распределения.

Построены графики при a =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

При а = 0 и s = 1 кривая Гаусса называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал:

где l - положительное число.

Найдем функцию распределения.

Графики плотности распределения и функции показательного распределения:

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2 ).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в заданный интервал:

Показательное распределение используется в теории надежности.

Функцию R(t) называют функцией надежности.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Можно показать, что М(Х)=а; D(Х)=s 2 и .

График плотности нормального распределения называется нормальной (или гауссовой) кривой.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х плотность принимает только положительные значения.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y¢ > 0 при x a , то в точке х = a функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

В этих точках значение функции равно .

Построим график плотности нормального распределения.

При а = 0 и s = 1 кривая Гаусса называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

Равномерное распределение, плотность вероятности, функция распределения равномерно распределённой случайной величины

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Значения f(x) в крайних точках a и b участка (a, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a, b) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".

Как найти вероятность попадания случайной величины X, равномерно распределённой на участке (a, b) на любую часть (α, β) участка (a, b) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α, β) участка (a, b) :

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения

Характеристики равномерного распределения:

среднее значение (математическое ожидание) ;
дисперсия ;
стандартное отклонение ;
равномерное распределение не имеет моды.

Решение примеров на равномерное распределение

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

Найдём стандартное отклонение:

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f(x) случайной величины T, её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f(x) :

Найдём математическое ожидание случайной величины:

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a, b) . Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ .

Решение. Найдём стандартное отклонение:

При равномерном распределении на участке (a, b) крайние точки a и b, ограничивающие участок возможных значений случайной величины, отстоят от её математического ожидания μ = (a + b)/2 на расстояние (b - a)/2 , которое меньше, чем √3(b - a)/2 . Следовательно, вероятность события, обозначенного в условии задачи, равна нулю.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m - число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. С_n m - число сочетаний m телевизоров по n, p - вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q - вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n - вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

P m - вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р - вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 - p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 - что десятый блок оказался неисправным - 0,038742049 , 2 - что все проверяемые блоки оказались исправными - 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M - всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m - число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

λ = np = const
n - число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p - вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m - число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B - 0,06 и C - 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где
а - математическое ожидание случайной величины
σ - среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть - от а до х. (Рис.7)

7.Показательный закон распределения.

Закон распределения случайной величины Х называется показательным (или экспоненциальным), если плотность вероятности имеет вид:

где λ - параметр обратно-пропорциональный математическому ожиданию.

График плотности вероятности с параметрами
λ = 2, λ = 4, λ =6 изображен на рис.8

Функция распределения случайной величины Х, которая имеет показательное распределение, имеет вид:

График функции изображен на рис.9

Если функцию распределения случайной величины выразить через плотность вероятности при х ≥ а, то она примет вид:

8.Логарифмически-нормальное распределение.

Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логаривмически-нормального распределения имеет вид.

Из графика видно, что чем меньше σ и больше математическое ожидание а, тем кривая становится более пологая и больше стремится к симметрии. Данный закон, чаще всего, используется для описания распределения поступления денежных средств (доходов), банковских вкладов, износа основных средств и т.д. (Рис.10)

9. χ ² распределение

Сумма квадратов k независимых случайных величин, которые распределены по нормальному закону, называется χ ² распределением.

χ ² распределение имеет вид:

А i - i-ая случайная величина, распределенная по нормальному закону (i = 1,2,3. k).

Плотность вероятности случайной величины, распределенной по распределению χ ² имеет вид:

Из графика видно, что чем больше n=k, тем кривая стремиться к нормальному распределению. Рис.11.

10.Распределение Стьюдента (t - распределение)

Распределение непрерывной случайной величины называется распределением Стьюдента, если оно имеет вид:

Z - случайная величина, распределенная по нормальному закону.
χ ² - случайная величина, имеющая χ ² - распределение с k степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

На рис.12 изображена плотность вероятности распределения Стьюдента. Из графика можно увидеть, что чем больше k, тем больше кривая приближается к нормальному распределению.

11. Распределение Фишера-Снедекора.

Распределение случайной величины Фишера-Снедекора имеет вид:

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

При стремлении n к бесконечности распределение Фишера-Снедекора стремится к нормальному закону распределения.(Рис.13)

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности f (x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

$\begin f(x) = \left\< \begin \frac, & x\in [a,b]\\ 0, & x\notin [a,b] \end \right. \end$

Тот факт, что СВ Х распределена равномерно, записывают коротко так:

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те СВ, о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a;b] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т.д.

Функция распределения F (x) для равномерно распределенной СВ Х имеет вид

Если СВ Х распределена равномерно на отрезке [a;b], то вероятность попадания СВ Х на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка [a;b] находится по формуле:

$P\<X\in [\alpha, \beta]\> =\frac.$

Числовые характеристики равномерного распределения:

$D(X)=\frac<<(b-a)> ^2>$

$\sigma (X)=\sqrt <D(X)> $

Практический материал

1.1. Плотность вероятности НСВ Х имеет вид

$\begin f(x) = \left\< \begin 0,5 \cdot B, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end \right. \end$

$B,\qquad F(x), \qquad M(X), \qquad D(X), \qquad \sigma (X), \qquad P\<X\in [0;1,2]\> Найти:$

Коэффициент В найдем, используя следующее свойство плотности вероятности:

$\int_<-\infty> ^ <+\infty>f(x) dx=1$

$\int_<-\infty> ^ <+\infty>f(x) dx=\int_<-\infty>^ 0 dx + \int_^ 0,5\cdot B dx +\int_^ <+\infty>0 dx=1$

$0+\int_<0> ^ 0,5\cdot B dx+0=1$

$0,5\cdot B \int_<0> ^ dx=1$

Используя формулу Бинома-Ньютона, получаем

Итак, плотность распределения СВ Х имеет вид:

$\begin f(x) = \left\< \begin 0,5, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end \right. \end$

Следовательно, СВ Х распределена на отрезке [0;2]. Функция распределения для СВ имеет вид:

Числовые характеристики этого распределения таковы:

$D(X)=\frac<<(b-a)> ^2>=\frac=\frac13$

$\sigma (X)=\sqrt <D(X)> =\frac>$

Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу

$P\<X\in [\alpha, \beta]\> =\frac=\frac=0,6.$

1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная СВ Х, имеющая равномерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

При переводе минут в часы необходимо помнить, что в одном часе 60 минут, поэтому 19 часов 22 минуты равно =19\frac" width="92" height="22" />
, 19 часов 46 минуты равно =19\frac" width="92" height="22" />
.

Вероятность попадания СВ Х в промежуток

$\left[19\frac<11> , 19\frac\right]$

находим, используя формулу

$P\<X\in [19\frac , 19\frac]\>=\frac<19\frac - 19\frac>=\frac>=0,4.$

$M(X)=2, \qquad D(X)=3$

1.3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики . Найти .

$\begin \left\< \begin \frac=2; \\ \frac^2>=3; \end \right. \end$

$\begin \left\< \begin a+b=4; \\ ^2=36; \end \right. \end$

$\begin \left\< \begin a=4-b; \\ ^2=36. \end \right. \end$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

II. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

где - параметр данного распределения.

Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле

Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:

$M(X)=\frac <\lambda>, \qquad D(X)=\frac<<\lambda>^2>, \qquad \sigma (X)=\frac<\lambda>$

Вероятность попадания СВ Х в заданный промежуток [a,b] будем вычислять по формуле:

Практический материал

2.1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью

1. Функцию распределения ;

2. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины T;

3. Вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.

Из плотности распределения видно, что параметр , тогда

$M(T)=\frac <\lambda>=\frac=5;$

$D(T)=\frac <<\lambda>^2>=\frac^2>=25;$

$\sigma (X)=\frac<1> <\lambda>=5;$

2.1. СВ Х распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е. ), , а также вероятность попадания значений СВ Х в интервал (0,25; 5).

$P\<0,25\le X \le 5\> =\int_^5 0,4 \cdot e^ dx=-e^|_^5=$

$=-e^<-2> +e^=-\frac+\frac=-0,14+0,91=\approx 0,77.$

$M(X)=\frac <\lambda>=\frac=2,5$

$D(X)=\frac <<\lambda>^2>=\frac^2>=6,25$

$\sigma(X)=\frac <\lambda>=\frac=2,5$

III. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид

$f(x)=\frac<1> >\cdot e^^2>^2>>$

График функции называется кривой Гаусса

Тот факт, что СВ Х распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: .

Параметры и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ Х, т.е.

$M(X)=a,\qquad \sigma(X)=\sigma.$

$D(X)=<\sigma> ^2.$

Функция распределения нормального закона выражается формулой

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x-a> \right)$

$\Phi(x)=\frac<1> >\cdot \int_0^x e^>dt$

— называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. , т. е. функция - нечетная. Отсюда, в частности, следует, что ;

2. .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

Вероятность попадания СВ в интервал , симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле

Практический материал

3.1. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид

$f(x)=c\cdot e^<-2x^2-\frac43x+\frac13> $

Найти:

Преобразуем заданную плотность, выделив полный квадрат в показателе степени:

$-2x^2-\frac43x+\frac13=-2\left(x^2+\frac23x-\frac16\right)=-2\left(x^2+2\cdot\frac13 \cdot x+\frac19-\frac19-\frac16\right)=$

$=-2\left(<\left(x+\frac13\right)> ^2-\frac\right)=-2<\left(x+\frac13\right)>^2+\frac;$

На этом наши преобразования не заканчиваются:

$f(x)=c\cdot e^<-2<\left(x+\frac13\right)> ^2+\frac>=c\cdot e^\cdot e^<-2<\left(x+\frac13\right)>^2>=$

$=c\cdot e^ \cdot e^<\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>>=c \cdot e^\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

Сравнив данную плотность

$f(x)=c \cdot e^<\frac59> \cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

$f(x)=\frac<1> >\cdot e^^2>^2>>$

нормального распределения, заключаем, что СВ Х имеет нормальное распределение.

$M(X)=-\frac13,\qquad \sigma(X)=\frac12, \qquad D(X)=\frac14$

Проанализировав плотность распределения для нашего случая можно заключить, что .

Значение коэффициента с найдем из равенства:

$c \cdot e^<\frac59> =\frac>$

$c =\frac<1> \cdot \frac<\sqrt<2\pi>>>$

Следовательно, плотность распределения СВ Х имеет вид

$f(x)=\frac \cdot \frac<\sqrt<2\pi>>> \cdot e^\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>=\frac>\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

найдем, используя формулу ^2" width="217" height="21" />
. В нашем случае ^2=\frac14" width="304" height="23" />
. Поэтому

$M(X^2)=D(X)+<(M(X))> ^2=\frac14+\frac19=\frac.$

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x-a> \right),$

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x+\frac13> \right)=0,5+\Phi\left(2x+\frac23\right).$

3.2. Определить закон распределения СВ Х, если ее плотность вероятности имеет вид

$f(x)=A\cdot e^<-x^2+2x+1> $

а)

б)

в) значение коэффициента А;

г)

д)

3.3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Читайте также: