Радианная мера угла кратко
Обновлено: 04.07.2024
Основное понятие градуса и радиана и их взаимосвязь
В математике, такое определение, как угол принято измерять градусами и радианами.
Эти два измерения угла имеют взаимосвязь и необходимо четко понимать в чем она заключается.
В данном материале, мы постараемся разобраться и вывести
основную формулу для вычисления градусов в значение радиан, и соответственно в обратном порядке.
Радиан - это угол, который образуется окружной дугой, ее длина, следовательно, равняется радиусу данной окружности.
Радианная мера - угловое значение,где за единицу берется угол в 1 радиан. А именно, вышеупомянутая мера любого угла - это соотношение принятого угла к радиану. Из этого следует, что величина полного значения угла равняется \[2 \cdot \pi\] радиан.
Определяем длину окружности, по стандартной формуле:
Чтобы определить полный угол в радианах проводим следующие действие: \[\frac=\frac=2 \cdot \pi\] , соответственно в градусах значение будет равно 360. Отсюда следует \[2 \cdot \pi=360^\].
Какова связь между градусами и радианами?
Угол имеет градусную и радианную меру. Зная ее, можно установить связь между градусом и радианом.
Например, возьмем для примера центральный угол, который примыкает к диаметру окружности радиуса R.
Нам необходимо вычислить значение радианной меры угла. Для решения этой задачи, длину самой дуги поделить на длину радиуса окружности.
Заданный угол равен \[\pi\] радиан. Данный угол 180 градусов и по законам математики, является развернутым. Отсюда следует, что 180 градусов эквивалентно \[\pi\] радиан.
Данную связь можно выразить через формулу.
Перевод радианов в градусы и соответственно в обратном порядке
Для перевода радиан в градусы и наоборот необходимо знать и применять на практике следующие формулы:
Один радиан в минутах: \[\frac> \cdot 60 \approx 3438\];
Один радиан в секундах: \[\frac> \cdot 3600 \approx 206280\].
Рассмотрим на конкретном примере:
\[1 \text < радиан >=\left(\frac<\pi>\right)=\left(\frac\right)=57,324\] следовательно в 1 радиане 57 градусов.
\[1 \text < градус >=\left(\frac<\pi>\right) \text < радиан >=\left(\frac\right)=0,017\] радиан (сокращенно рад.).
\[\text < х радиан >=\left(\frac<\pi>\right)\], дословно будет звучать как: 180 * умножить на числовое значение угла и раздели.
Соответствие градусов и радиан принято, для удобства решения сводить в таблицу.
Пример, приведен в таблице 1.
Таблица 1. Соотношение значений.
| Числовые значения в градусах | Соответствующие данные радиан |
| 1° | 0,018 |
| 2° | 0,035 |
Как мы видим изученная тема не очень сложная. Достаточно знать основные формулы и в расчетах, и проблем не должно возникать.
Для более лучшего закрепления разберемся и решим несколько задач по вычислении градусов и радианов углов.
Радианная мера. Как известно из планиметрии, длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением.
Радианная мера. Как известно из планиметрии, длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением:
Эта формула находится в основе определения радианной меры измерения углов. То есть, если l = r, значит, α = 1, и говорится, что угол α равняется одному радиану, и обозначают так: α = 1 рад.
Т.о., мы получаем определение радианной меры измерения:
Радиан - это центральный угол, у которого длина дуги и радиус имеют равные величины (AmB = AO).
Значит, радианная мера измерения угла - это отношение длины дуги, которая проведена произвольным радиусом и заключёна между сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Из этой формулы, длину окружности C и радиус r этой окружности выражаем так:
Таким образом, полный оборот, который равен 360° в градусном измерении, равен двум в радианном измерении. Отсюда выводим значение 1-го радиана:
Таблица значений самых распространенных углов в градусах и радианах:
По этой таблице очень удобно производить перевод градусов в радианы и радианы в градусы.
3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.
Глоссарий по теме
Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.
Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг - часть плоскости, ограниченной окружностью - то можно выделить круговой сектор.
Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)
Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.
Вычислите длину каждой дуги.
Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или
Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.
Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.
рис.3
Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Обозначается 1рад.
;
α рад=(180/π α)° (1)
Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)
можно вычислять по формуле(3)
А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)
находят по формуле: , где (4)
Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.
Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.
Введём понятие поворота точки. (рис.2)
При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.
Давайте рассмотрим такой пример:
при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Найти градусную меру угла, равного рад.
Решение: Используя формулу (1),
Так как , то рад, тогда (2)
Ответ: .
Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.
Вычисляем по формуле (2): рад
рад
Ответ: рад, рад.
Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .
Решение: Используя формулу (3),
Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .
Ответ: 45 м 2
Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .
Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то
прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.
На окружности можно найти координаты любой точки.
Ответ:
Радианная мера угла — это отношение длины дуги окружности, к радиусу этой окружности, когда дуга находится в пределах сторон образованного угла, а вершина угла находится в центре окружности.
Центральный угол окружности радиуса R , который опирается на дугу, длиной равной R , называется углом в 1 радиан.
Длина окружности, радиусом R , равна 2 \pi R , следовательно, длина дуги, на которую опирается развернутый угол, будет равняться \pi R , а сам развернутый угол равен \pi радиан.
Развернутый угол содержит 180^ и \pi радиан, поэтому на 1^ приходится \frac<\pi> радиан.
На \alpha ^ приходится в \alpha раз больше радиан, чем на 1^ ;
На один радиан приходится \frac <\pi>градусов.
На \beta радиан приходится в \beta раз больше градусов, чем на 1 радиан.
Например, 120^ — это то же самое, что \frac <120^\cot \pi><180^>=\frac\pi радиан; 2 радиана — это то же самое, что и \frac<2 \cdot 180^><\pi>=120^ .
Для того, чтобы не допускать ошибок при переводе градусов в радианные меры и наоборот, полезной практикой является выполнение действий с единицами измерения, не только с числами:
Читайте также: