Проекция это в геометрии кратко
Обновлено: 04.07.2024
Лекция № 1. Сведения о проекциях
1. Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.
Чтение чертежа заключается в воспроизведении в уме реальной формы объекта и некоторых его частей с использованием при этом чертежа.
Начертательная геометрия основывается на методе проекций.
Проекцией точки М на некоторой плоскости называют изображение, которое строится в нижеследующей последовательности (рис. 1).
Через данную точку М необходимо провести прямую, которая не параллельна данной плоскости. Точку пересечения данной прямой и плоскости назовем точкой m. Полученная точка m будет являться проекцией точки М на данную плоскость. Прямую Mm называют проектирующей прямой, а данная плоскость называется плоскостью изображения.
Подобным образом можно получить проекции различных фигур как проекции каждой из его точек. Способ построения определяет вид проекции: центральную или параллельную.
2. Центральная проекция
Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.
Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.
Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.
Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.
3. Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.
Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.
Проекция называется ортогональной, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.
Проекция называется косоугольной, если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.
Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.
Большое практическое значение имеет вид проектирования, при котором центром П. является бесконечно удалённая точка пространства ═(см. рис. 3 ). При этом все проектирующие прямые параллельны и П. называется параллельной или цилиндрической. Взаимно однозначное соответствие между точками плоскостей П и П' , установленное при помощи параллельного проектирования, называется перспективно-аффинным или родственным (см. Аффинные преобразования ) .
В черчении широко применяется частный вид параллельного проектирования, когда плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае называется прямоугольной или ортогональной.
Центральные и параллельные (в частности, ортогональные) П. широко используют в начертательной геометрии , причём получаются различные виды изображений (перспективные, аксонометрические и др.). Специальные виды проектирования на плоскость, сферу и др. поверхности применяются в географии, астрономии, кристаллографии, топографии и т.д. Таковы картографические проекции , гномонические проекции , стереографические проекции и др. Об ортогональной проекции направленных отрезков (векторов) см. в ст. Векторное исчисление .
Проекция (от лат. projectio — бросание вперёд, выбрасывание), геометрический термин, который связан с операцией проектирования (проецирования), которую возможно выяснить следующим образом (см. рис. 1): выбирают произвольную точку S пространства в качестве центра проектирования и плоскость П’, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости).
Дабы спроектировать точку А (прообраз) пространства на плоскость П’, через центр проекций S (глаз) выполняют прямую SA до её пересечения в точке А’ с плоскостью П’. Точку А’ (образ) и именуется проекцией точки А. Проекцией фигуры F именуется совокупность П. всех её точек. Прямая линия, не проходящая через центр П., проектируется в виде прямой.
Обрисованная П. носит название центральной либо конической. Она значительно зависит от выбора центра проекций S. При проектировании точек данной плоскости П на плоскость П’ (см. рис. 2) видятся следующие затруднения.
На плоскости П имеются такие точки, для которых не существует образов на плоскости П’. Такова, к примеру, точка В, в случае если проектирующая прямая SB параллельна плоскости П’. Для устранения этого затруднения, происходящего от особенностей евклидова пространства, последнее пополняют вечно удалёнными элементами (несобственными элементами). Как раз, принимают, что параллельные прямые BS и РА’ пересекаются в вечно удалённой точке B’; тогда её можно считать образом точки В на плоскости П’.
Подобно вечно удалённая точка С есть прообразом точки C’ (см. рис. 2). Благодаря введению вечно удалённых элементов, между точками плоскости П и точками плоскости П’ устанавливается взаимно однозначное соответствие, осуществляемое при помощи центральной П. Такое соответствие носит название перспективной коллинеации.
Громадное практическое значение имеет форму проектирования, при котором центром П. есть вечно удалённая точка пространства (см. рис. 3). Наряду с этим все проектирующие прямые параллельны и П. именуется параллельной либо цилиндрической. Взаимно однозначное соответствие между точками плоскостей П и П’, установленное при помощи параллельного проектирования, именуется перспективно-аффинным либо родственным (см.
В черчении активно используется личный вид параллельного проектирования, в то время, когда плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае именуется прямоугольной либо ортогональной.
Центральные и параллельные (в частности, ортогональные) П. обширно применяют в начертательной геометрии, причём получаются разные виды изображений (перспективные, аксонометрические и др.). Особые виды проектирования на плоскость, сферу и др. поверхности используются в географии, астрономии, кристаллографии, топографии и т.д. Таковы картографические проекции, гномонические проекции, стереографические проекции и др.
Об ортогональной проекции направленных отрезков (векторов) см. в ст. Векторное исчисление.
Читать также:
2 3 проекция точки на конусе
Связанные статьи:
Риманова геометрия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, воображающее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых…
Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не изменяющихся при проективных преобразованиях, к примеру при проектировании. Такие…
Проекция - это изображение трехмерного объекта на двухмерной проекционной плоскости. Метод проекции изображения базируется на зрительном восприятии. Если все точки предмета связать прямыми лучами с константной точкой центра проекции, в которой якобы расположен глаз наблюдающего, то в месте пересечения этих прямых с определенной плоскостью образуется проекция всех точек объекта. При объединении этих точек прямыми в порядке соединения их в предмете, можно получить на двухмерной плоскости изображение данного объекта или центральную его проекцию.
В случае если центр проекции объекта бесконечно далек от проекционной плоскости, можно вести речь о параллельной проекции, а если в этом случае лучи проекции еще и падают под углом 90 градусов к плоскости - то применимо понятие ортогональной проекции.
Проекция широко применяется в ряде прикладных наук и искусств: графике, картографии, архитектуре, живописи.
Проекция в картографии- это математический способ изображения эллипсоидной поверхности на заданной плоскости. Смысл проецирования состоит в том, что Земля, как планета, является эллипсоидом. Эллипсоид, который невозможно развернуть в одну плоскость меняют на другую фигуру, которая в плоскость разворачивается. На данную фигуру переносят соответственно параллели и меридианы.
В психологии проекция обозначает определенный механизм защиты психики отдельной личности или психологический процесс, который относится к механизму психологической защиты, в ходе которого происходящее внутри человека ложно воспринимается им как происходящее вокруг него. Эта личность считает, что кто-то (или что-то) мыслит, чувствует, обладает теми же чертами характера, что и он сам. Изначально этот механизм психологической защиты был описан Зигмундом Фрейдом. Человек вследствие проецирования начинает считать свои, невозможные для его сознания и психики чувства, якобы чужими и принадлежащими иной личности или предмету, и, соответственно, не чувствует сожаления или ответственности за чуждые ему действия. Этот механизм широко распространен у людей, страдающих паранойей, истерическими состояниями.
Проекция в алгебре - это операция над отношениями в реляционных базах данных, которая выдает в итоге подмножество определенного отношения или таблицы, которые образуются при выборе спецатрибутов с дальнейшим исключением в случае необходимости дубликатов кортежей.
Читайте также: