Признаки равенства прямоугольных треугольников кратко
Обновлено: 05.07.2024
Часть плоскости вместе с ограничивающей ее замкнутой ломаной линией называется многоугольником.
Отрезки ломаной называются сторонами многоугольника.
Сумма всех сторон многоугольника называется его периметром.
Соседние стороны образуют углы многоугольника, вершины которых называются его вершинами.
Треугольником называется многоугольник, у которого имеется только три стороны.
Аналогично дается определение четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и т.д., -угольника.
По сторонам треугольники подразделяются на разносторонние (все три стороны различны по длине), равнобедренные (две стороны равны) и равносторонние.
Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, угол между ними — углом при вершине, а третья сторона — основанием.
Если основание равнобедренного треугольника равно боковой стороне, то такой треугольник называется равносторонним (все стороны равны).
По углам треугольники подразделяются на остроугольные (все углы острые), прямоугольные (имеется прямой угол) и тупоугольные (с тупым углом).
В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а стороны, заключающие этот угол, называются катетами.
Кроме шести основных элементов (сторон и углов), треугольник имеет еще и другие элементы.
Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону (или на ее продолжение), называется высотой треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника от вершины до противоположной стороны называется биссектрисой треугольника
Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу
1) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
35 Comments
Спасибо, все коротко и ясно.
спасибо большое) доступно все объяснили
А где пятый признак?
Max, признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу разбивается на два признака: по катету и противолежащему углу и по катету и прилежащему углу, потому что доказывают их отдельно.
Можно написать 5-ый признак равенства прямоугольных треугольников исходя из третьего признака равенства треугольников(не обязательно прямоугольных): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Спасибо выручили.
Очень рад, что всё так доступно и понятно.
есть еще по катету и противолежащему острому углу
Да, признак равенства по катету и острому углу иногда разбивают на два.
Офигенно! Большое спасибо!
Спс,как раз геометрию не слушал.
В геометрии знание теории — основа. Поэтому желательно слушать)
все нормально конечно ,но было бы лучше если б было доно.
Это разве не нужно доказывать ? Плз ответ, у меня экзамен будет и нужно знать,надо это доказывать или прочитать хватит ?
Роман, если использовать признаки равенства в ходе решения других задач, то каждый раз доказывать их не нужно.
Спасибо у нас злая алгебраических которая ничего не объясняет поэтому никто не понял.
А вы на уроке попробуйте не шуметь. От этого выиграет и класс, и учитель.
Спасибо, помогли подготовиться к зачёту!
Удачно Вам сдать зачёт!
Игорь, удачи Вам на зачёте!
Спасибо большое у меня через 1 месяц экзамен
Илья, желаю Вам успешно сдать экзамен!
Здравствуйте, Олег!
Спасибо Вам за внимание к моему ресурсу.
Зовут меня Светлана Михайловна. Учу детей математике 28 лет: 16 — в школе, 12 — как репетитор. Сайты (у меня их несколько) создавала для помощи школьникам и их родителям. К сожалению, информация в учебнике не всегда изложена доступно. Очень хочется, чтобы ученики поняли, что математика (в частности, геометрия) — интересный и не такой уж сложный предмет.
Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака, как это сделано, к примеру, в учебнике Бутузова? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.
Спасибо Светлана за такой отличный сайт скоро экзамен помогает надеюсь,что ваш сайт будет продвигаться вперёд,для школьников и родителей! Ещё раз спасибо!?
Никита, желаю Вам успешно сдать экзамен!
Cпасибо Вам огромное, Светлана Михайловна! Полгода геометрии прослушал, сейчас всё понятно. И всё-таки, Олег прав, по катету и острому углу — 2 различные теоремы. Скиньте ссылку на остальные Ваши сайты мне на почту, пожалуйста
С уважением,
Влад
Спасибо) помогло при подготовке к экзаменам.
Воу, последний комментарий аж 2019 года. Спасибо всё коротко и ясно, как говорится, краткость — сестра таланта!)
Прямоугольный треугольник — треугольник, имеющий прямой угол. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону, противолежащую к прямому углу, называют гипотенузой.
Свойства прямоугольного треугольника:
1. Катет меньше гипотенузы.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): с 2 = а 2 + b 2 .
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
4. Медиана,проведенная к гипотенузе,равна половине гипотенузы (радиусу окружности, описанной около треугольника).
5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ,можно вычислить по формуле: r = (a + b — c)/2.
6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Если катет прямоугольного треугольника равен 1/2 гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны если:
• два катета одного треугольника равны двум катетам другого;
• катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Читайте также: