Призма история фигуры кратко

Обновлено: 05.07.2024

Призма — геометрическая фигура, многогранник, с двумя равными сторонами (или гранями) в виде многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях. Остальные его стороны (грани) являются параллелограммами и имеют единые грани с данными многоугольниками. Такие параллелограммы носят название боковых граней призмы, а два параллельных многоугольника в призме носят названия оснований призмы.

Многоугольник, который лежит в основании призмы, напрямую обуславливает наименование призмы. Так, если основанием является треугольник, то перед нами треугольная призма, если четырехугольник, то перед нами четырехугольная призма, а если пятиугольник, то перед нами пентапризма и так далее.

Призма состоит из следующих элементов:

  1. Оснований.
  2. Боковых граней.
  3. Боковой поверхности.
  4. Полной поверхности.
  5. Боковых ребер.
  6. Высоты.
  7. Диагонали.
  8. Диагональной плоскости.
  9. Диагонального сечения.
  10. Перпендикулярного сечения.

Рассмотрим каждый элемент подробно. Перед вами чертеж призмы:

Основание — такие две грани, которые являются по своему виду равными многоугольниками, лежат в параллельных плоскостях друг к другу. На чертеже основаниями являются ABCDE и KLMNP.

Боковыми гранями называются все грани призмы, кроме оснований. Важно запомнить, что каждая из боковых граней обязательно является по виду параллелограммом. На чертеже боковыми гранями являются ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP.

Боковой поверхностью называют совокупность всех боковых граней призмы. А полной поверхностью, в свою очередь, может называться совокупность оснований и боковых сторон.

Боковые ребра — совместные стороны боковых граней. На чертеже боковыми ребрами являются AK, BL, CM, DN, EP.

Высотой называют отрезок, соединяющий плоскости, в которых расположены основания данной фигуры. Является перпендикулярной данным плоскостям. На чертеже высотой является отрезок KR.

Диагональ — отрезок, соединяющий две точки, являющиеся вершинами, и при этом не лежащие на одной плоскости. На чертеже диагональю является BP.

Диагональной плоскостью называют такую плоскость, которая проходит через одно из боковых ребер и диагональ. На чертеже диагональной плоскостью является EBP.

Диагональным сечением называют пересечение диагональной плоскости и самой призмы. В таком сечение образуется фигура — параллелограмм, иногда частные случаи данной фигуры (ромб, квадрат и прямоугольник). На чертеже диагональным сечением является EBLP.

Перпендикулярное сечение — пересечение плоскости, которая перпендикулярна боковому ребру, и призмы.

Значение, характеристики, свойства

Основные свойства данной фигуры:

Посмотрите на бипирамиду (перед вами ромбическая):

Виды, как выглядит правильная

Призма, основанием для которой служит параллелограмм, называют в геометрии параллелепипедом. Посмотрите на параллелепипед (перед вами прямоугольный):

Кратко рассмотрим виды призмы:

В целом существует четыре вида призм:

  1. Прямая.
  2. Правильная.
  3. Наклоненная.
  4. Усеченная.

Прямая призма — такая фигура, боковые ребра которой являются перпендикулярными к плоскости основания. Из этого следует, что все боковые грани данной фигуры — прямоугольники.

Прямая прямоугольная призма также носит название прямоугольного параллелепипеда.

Правильная призма — прямая призма, у которой основанием будет считаться правильный многоугольник. Боковые грани для данной фигуры — равные прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани — квадраты, будет называться полуправильным многогранником.

Посмотрите на правильную призму:

Прямые призмы при условии правильных оснований и единой длины ребер должны образовывать одну из двух беспрерывных последовательностей полуправильных многогранников. Другую такую же последовательность могут образовывать антипризмы.

Наклонные призмы — такие призмы, ребра которых не являются перпендикулярными к плоскости основания.

Посмотрите на наклонную призму:

Усеченная призма — такой многогранник, который отделяется от фигуры непараллельной к основанию плоскостью. По определению усеченная призма не является сама призмой.

Посмотрите на усеченную призму:

Построение графика, формулы, примеры задач

Как построить призму?

Нужно взять во внимание то, какой многоугольник является основанием для призмы. Чертим сначала его. Далее проводим из вершин многоугольника параллельные линии, откладываем на них одинаковые отрезки и соединяем их концы — у нас получается второе основание. Боковые стороны (грани призмы) — параллелограммы.

На плоскости получается, что n-угольная призма — фигура, состоящая из двух абсолютно равных n-угольников (полученных путем параллельного переноса), которые являются основаниями, а также n-параллелограммов.

Для призмы будут верны следующие формулы:

Объем фигуры вычисляется по формуле: V = S × h .

Площадь вычисляется по формуле: S = 2 S о с н + S б о к

Это базовые для фигуры формулы, существуют и другие для разных видов призм.

Нам дана правильная призма, основанием которой является четырехугольник (квадрат). Диагональ призмы равна 15, а диагональ основания будет равна 10 2 . Нужно найти площадь всей поверхности призмы. Взгляните на рисунок:

Представим, что ABCDA1B1C1D1 является призмой. Мы знаем, что она правильная, а это значит, что в основании лежит квадрат, а сама призма — прямая. В таком случае получается, что треугольник BB1D является прямоугольным. Значит, по теореме Пифагора мы можем вычислить сторону BB1: B B 1 = 15 2 - ( 10 2 ) 2 = 5 .

Так как величина диагонали основания в 2 раз будет больше, чем сторона квадрата, то: A B = B D 2 = 10 .

Значит, что S = 2 S + 4 S = 2 × 10 2 + 4 × 10 × 5 = 400 .

Ответ: Площадь поверхности = 400.

Боковое ребро наклоненной призмы, основанием который является квадрат, равно 14 см. Перпендикулярное сечение данной фигуры — ромб со стороной в 7 см. Нужно найти площадь боковой поверхности.

ABCDA1B1C1D1 — призма. Сторона AA1 будет равна 14 см. Перпендикулярное сечение — 7 см.

Согласно условию, перпендикулярное сечение — ромб, сторона которого равна 7 см. Все стороны у ромба равны. Периметр перпендикулярного сечения вычислим по следующей формуле: P = 7 × 4 = 28 .

Площадь боковой поверхности вычислим по следующей формуле: S = P × A A 1 = 28 × 14 = 392

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение призмы

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.

Четырехугольная прямая призма (параллелепипед)

Элементы призмы

Для рисунка выше:

    Основания – равные многоугольники. Это могут быть треугольники, четырех-, пяти-, шестиугольники и т.д. В нашем случае – это параллелограммы (или прямоугольники) ABCD и A1B1C1D1.

Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:

Развертка прямой прямоугольной призмы

Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.

Варианты сечения призмы

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Возникновение понятия ПРИЗМА

Описание презентации по отдельным слайдам:

Возникновение понятия ПРИЗМА

Возникновение понятия ПРИЗМА

Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в пара.

Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется ПРИЗМОЙ. Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями. Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы: треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания. Определение понятия

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую пр.

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. призмы делятся на прямые и наклонные.

1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани приз.

1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3. Боковые ребра призмы равны. Свойства призмы.

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней).

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (Sпр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников: Sпов=Sбок+2Sосн. Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра. Площадь поверхности призмы и площадь боковой поверхности призмы.

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых-стороны осно.

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых-стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Sбок поверхности призмы равна сумме S указанных треугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. периметр P. Итак, Sбок =Ph. Теорема доказана! Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты. Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота. Доказательство.

1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется мн.

1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат. Сечение призмы

Сечение ПРИЗМЫ

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении о.

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат. Сечение правильной призмы

Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называетс.

Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой. Свойства правильной призмы: 1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны. Определение №2

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диа.

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы. Симметрия правильной призмы

2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер;.

2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра.

3. Оси симметрии: при четном числе сторон с основания — ось симметрии, прох.

3. Оси симметрии: при четном числе сторон с основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней.

Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое реб.

Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. Решение: Треугольник A1B1C1 - равнобедренный(A1B=C1B как диагональ равных граней) 1)Рассмотрим треугольник BCC1– прямоугольный BC12=BM2+CC12 BC1= √ 64+36=10 см 2) Рассмотрим треугольник BMC1– прямоугольный BC12=BM2+MC12 BM12=BC12-MC12 BM12=100-16=84 BM1= √ 84=2 √ 21 см 3) Sсеч=12 A1C1*BM= 12*2√ 21 см*8=8 √ 21 Задача

Призма в древности. Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения (“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как “прямая” означает у него и отрезок прямой.

Призма

Читайте также: