Приведите обозначения модуля упругости 1 рода и коэффициента пуассона кратко

Обновлено: 07.07.2024

В методических указаниях к лабораторной работе N 3 "Определение модуля упругости и коэффициента Пуассона" указывается цель работы, приводится характеристика испытуемого образца и даётся методика проведения испытаний.

Для лучшего усвоения материала по темам: "Растяжение и сжатие" и "Упруго – механические свойства материалов" приводятся основные теоретические положения, позволяющие квалифицированно провести испытания, экспериментально определить по одному испытанию образца величины упругих постоянных (Е и μ) и проанализировать полученные результаты.

Завершаются методические указания перечнем возможных вопросов при защите отчета по этой лабораторной работе.

Определить опытным путем величину модуля упругости Ε и коэффициент Пуассона μ и сравнить полученные результаты со справочными данными.

3. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ

Испытательная машина – МР-0,5. Тензометрическая станция – ЦТМ-5. Штангенциркуль.

4. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ

Вид образца, имеющего прямоугольное поперечное сечение, представлен на рис.1. На больших сторонах поперечного сечения образца наклеены по одному тензодатчику в продольном направлении и по одному в поперечном. Каждый тензодатчик подключен к отдельному каналу тензометрической станции ЦТМ-5.

Рис. 1. Вид обра о тензо датчиками

5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При деформациях подавляющего большинства материалов в упругой стадии справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:

Величина Ε представляет собой коэффициент пропорциональности и называется модулем упругости первого рода. Так как относительное удлинение – величина безразмерная, модуль упругости Ε имеет размерность напряжения. Закон Гука справедлив при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности апц.

На диаграмме растяжения (сжатия) (рис.2) модуль упругости Ε представлен тангенсом угла наклона прямой О А к оси (tg α).

Рис.2. Диаграмма растяжения ( сжатия ) образца из малоуглеродистой стали:

При растяжении стержня, его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным сужением в поперечном направлении, что показано на рис.3.

Рис.3. Изменение формы образца при испытаниях на растяжение

Продольную деформацию принято обозначать: абсолютную – Δi (Δ^ = i\- l),

относительную -ε (ε = Δ -£ / ^). Поперечную деформацию обозначим:

абсолютную – ДЬ (Ab = bi – b),

относительную – ε1 (ε1 = Ab / b). Как показывает опыт ε’= – μ · ε,

где μ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона, величина которого зависит только от материала и характеризует его свойства. Знак " – " указывает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Коэффициент Пуассона принято считать положительной величиной, поэтому относительные линейные деформации берутся по абсолютной величине (μ= ε11 /1 ε |).

6. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ

1. Перед испытанием студентам необходимо ознакомиться с устройством машины МР-0,5 ( первое занятие ) и правилами поведения в лаборатории при проведении испытаний (вводный инструктаж ).

2. Измеряют штангенциркулем характерные линейные размеры испытуемого образца.

3. Убеждаются в подключении тензодатчиков к тензометрической станции ЦТМ-5.

4. Наблюдают за включением машины, процессом нагружения образца начальной нагрузкой (0 – 100 Η ), которая задается преподавателем.

5. Путем последовательного переключения соответствующих каналов тензометрической станции снимают показания каждого из тензометров. Эти данные заносятся в журнал наблюдений. В отчете по лабораторной работе в разделе "Результаты испытаний" предварительно готовится таблица..

6. Наблюдают за последующими двумя ступенями нагружения (100 – 200 Η каждая по указанию преподавателя ) образца, снимают показания тензодатчиков и заносят их в таблицу.

7. В процессе проведения испытаний внимательно следят за комментариями преподавателя и при завершении испытаний по его указанию приступают к обработке результатов испытания.

7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЯ

В журнале наблюдений ( табл. ) подсчитываются приращения соответствующих отсчетов и определяются их средние значения (АсрР, АсрАь АсрА2, ДсрВь АсрВ2). Затем подсчитываются средние приращения по тензометрам в продольном (АсрА) и поперечном (АсрВ) направлениях.

По найденным АсрА и АсрВ находятся значения относительной линейной деформации соответственно в продольном и поперечном направлениях:

ε = АсрА · с , ε1 = АсрВ · с ,

где с – коэффициент чувствительности тензодатчика, который определяется тарировкой и сообщается преподавателем.

Определяются значение нормального напряжеия, средин для каждой ступени нагружения образца:

σ = АсрР / F, где F – площадь поперечного сечения образца ( F = b · d).

Исходя из закона Гука при растяжении – сжатии (σ= Ε-ε) находится модуль упругости материала образца:

По найденным значениям относительных деформаций в продольном и поперечном направлениях определяется величина коэффициента Пуассона:

Для любого материала величина коэффициента Пуассона должна находиться в пределах от 0 до 0,5.

Найденные значения модуля упругости Ε и коэффициента Пуассона μ следует сравнить с соответствующими величинами, приведенными в справочной литературе и сделать выводы.

Модуль Юнга — характеристика вещества, описывающая упругие свойства материала при деформации растяжения/сжатия. Чаще всего указывается в ГПа (гигапаскалях).

При деформации растяжения/сжатия вдоль одной оси, в теле наблюдается изменение размеров тела вдоль оставшихся. Так, цилиндрическое тело, которое деформируют растягивая вдоль осевой линии, уменьшает диаметр основания (по сути, при неизменной массе и плотности объекта должен оставаться неизменным и его объём).
Введём:

где:

— относительная продольная деформация,
— абсолютное удлинение (увеличение/уменьшение объекта),
— первоначальная длина объекта.

В результате деформации растяжения, площадь основания уменьшается, также введём:

где:

— относительная поперечная деформация,
— изменение диаметра образца,
— первоначальный диаметр объекта.

Коэффициентом Пуассона (коэффициентом поперечной деформации) называется модуль отношения относительной поперечной деформации к относительной продольной:

Модуль сдвига — характеристика вещества, описывающая упругие свойства материала при деформации сдвига. Чаще всего указывается в ГПа (гигапаскалях).

Обратимся к рассмотрению деформации твердого тела. В рассматриваемом процессе происходит изменение размеров, объема и часто формы тела. Так, относительное продольное растяжение (сжатие) объекта происходит при его относительном поперечном сужении (расширении). При этом продольная деформация определена формулой:

$\varepsilon =\frac<l-l_0> \left(1\right),$

где — длина образца до деформации, — изменение длины при нагрузке.

Однако, при растяжении (сжатии) происходит не только изменение длины образца, но и при этом меняются поперечные размеры тела. Деформация в поперечном направлении характеризуется величиной относительного поперечного сужения (расширения):

$<\varepsilon > _=\frac\left(2\right),$

где — диаметр цилиндрической части образца до деформации (поперечный размер образца).

$<\varepsilon > Коэффициентом Пуассона называют абсолютную величину, равную частному относительного поперечного сужения (расширения) (_$
) к относительному продольному удлинению (сжатию) ( ). Обозначают коэффициент Пуассона обычно буквами: , . Встречаются и другие обозначения. Математически определение коэффициента Пуассона выглядит как:

$\mu =\left|\frac< _>\right|(3)$

Эмпирически получено, что при упругих деформациях выполняется равенство:

$<\varepsilon > _=-\mu \varepsilon \left(4\right)$

Коэффициент Пуассона в совокупности с модулем Юнга (E) является характеристикой упругих свойств материала.

Коэффициент Пуассона при объемной деформации

$<\varepsilon > Если коэффициент объемной деформации (_V$
) принять равным:

$<\varepsilon > _V=\frac\left(5\right),$

где — изменение объема тела, — первоначальный объем тела. То при упругих деформациях выполняется соотношение:

$<\varepsilon > _V=<\left(1-\varepsilon \mu \right)>^2\left(1+\varepsilon \right)-1\left(6\right)$

Часто в формуле (6) отбрасывают члены малых порядков и используют в виде:

$<\varepsilon > _V=\varepsilon \left(1-2\mu \right)\left(7\right)$

Для изотропных материалов коэффициент Пуассона должен находиться в пределах:

Существование отрицательных значений коэффициента Пуассона означает, что при растяжении поперечные размеры объекта могли бы увеличиваться. Это возможно при наличии физико-химических изменений в процессе деформации тела. Материалы, у которых коэффициент Пуассона меньше нуля называют ауксетиками.

Максимальная величина коэффициента Пуассона является характеристикой более эластичных материалов. Минимальное значение его относится к хрупким веществам. Так стали имеют коэффициент Пуассона от 0,27 до 0,32. Коэффициент Пуассона для резин варьируется в пределах: 0,4 — 0,5.

Коэффициент Пуассона и пластическая деформация

Выражение (4) выполняется и при пластических деформациях, однако в таком случае коэффициент Пуассона зависит от величины деформации:

$<\varepsilon > _=-\mu (\varepsilon )\varepsilon \left(8\right)$

С ростом деформации и возникновении существенных пластических деформаций Опытным путем установлено, что пластическая деформация происходит без изменения объема вещества, так как этот вид деформации возникает за счет сдвигов слоев материала.

Единицы измерения

Коэффициент Пуассона — это физическая величина, не имеющая размерности.

Примеры решения задач

Задание	Резиновый шланг имеет длину и внутренний диаметр . Шланг растянули, при этом его длина увеличилась на . Коэффициент Пуассона материала шланга равен Каким стал внутренний диаметр шланга (d) в натянутом состоянии?
Решение	Если шланг растянули, то его внутренний диаметр уменьшился на величину ( ), равную:

$\Delta d=\beta d_0\frac =\mu \alpha \cdot d_0\frac\left(1.1\right),$

$\alpha =\frac<1> где — растягивающая сила, S — площадь поперечного сечения, — коэффициент поперечного сжатия,$
— коэффициент упругости, — модуль Юнга.

По закону Гука мы имеем:

$\frac<\Delta l> =\alpha \frac\left(1.2\right)$

В таком случае из (1.1) и (1.2) получим:

$\Delta d=\mu \alpha \cdot d_0\frac _0>=\mu \cdot d_0\frac\left(1.3\right)$

Так как , то искомая величина равна:

$d<=d> _0-\mu \cdot d_0\frac=\left(1-\frac<\mu \Delta l>\right)$

Задание	Проволока из металла, имеющая коэффициент Пуассона висит вертикально. Каким будет изменение объема проволоки, если к ней привязать груз, имеющий массу . Длина проволоки Модуль Юнга для данной проволоки равен E.
Решение	Будем считать имеющуюся проволоку цилиндрической. Тогда объем проволоки до растяжения будет равен:

Растянутая проволока имеет объем равный:

$V=\pi <\left(r_0-\Delta r\right)> ^2\left(l_0+\Delta l\right)\left(2.2\right)$

Изменение объема проволоки будет равно:

$\Delta V=V-V_0=\pi <\left(r_0-\Delta r\right)> ^2\left(l_0+\Delta l\right)-\pi r^2_0l_0\ \left(2.3\right)$

$\Delta r^2,\ \frac<2\Delta r\Delta l> Величинами$
можно пренебречь, так как они очень малы, тогда выражение (2.3) можно записать как:

$\Delta V=\pi <r_0> ^2l_0\frac\left(1-\frac\right)\left(2.4\right)$

Учтем выражение (2.1) и то, что в наших обозначениях коэффициент Пуассона равен:

$\mu =\frac<\Delta rl_0> \left(2.5\right),$

то (2.4) примет вид:

$\Delta V=V_0\frac<\Delta l> \left(1-2\mu \right)\left(2.6\right)$

Из закона Гука имеем:

$\frac<\Delta l> =\frac\left(2.7\right),$

$P=\frac<F_<upr> где >$
— нормальное напряжение. Рассмотрим рис.1, определим, чему равна сила упругости, которая возникает при растяжении нашей проволоки. Сила упругости будет равна по модулю силе реакции подвеса, который действует на растягивающий груз и направлена в противоположную сторону (третий закон Ньютона). Рассмотри силы, действующие на груз.

Запишем второй закон Ньютона:

$m\overline<g> +\overline=0$

В проекции на ось Y, имеем:

По третьему закону Ньютона:

$\overline<N> =-<\overline<F>>_\to F_=mg\left(2.9\right)$

Учитывая формулы (2.7) и (2.9) запишем выражение для изменения объёма проволоки в виде:

$\Delta V=V_0\frac<mg> \left(1-2\mu \right)=\frac\left(1-2\mu \right)$

Коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) одна из механических характеристик материалов, показывает зависимость между продольными и поперечными деформациями элемента, характеризует упругие свойства материала.

Обозначается строчными греческими буквами ν или μ и не имеет размерности.

Определяется отношением относительных поперечных ε _поп и продольных ε _пр деформаций бруса (элемента):

Порядок определения коэффициента поперечной деформации:

Рассмотрим деформацию элемента цилиндрической формы (рис. 1) который до нагружения имеет следующие размеры:

Рис. 1. Размеры бруса до нагружения

здесь
h₀ — начальный продольный размер;
d₀ — начальный поперечный размер (в данном случае — диаметр).

После нагружения некоторой продольной системой сил (например сжимающей) брус изменит свои размеры, продольный размер уменьшится (т.к. сжатие) а поперечный наоборот увеличится (рис. 2).

Рис. 2. Размеры бруса после деформации

Полученные в результате деформации размеры обозначим соответственно h₁ и d₁, где:

здесь Δ h и Δ d соответственно абсолютные продольные и поперечные деформации.

Отношение абсолютных деформаций к соответствующим начальным размерам покажет относительные деформации:

а их отношение в свою очередь определяет коэффициент Пуассона материала бруса.

Значение коэффициента принимается по модулю, т.к. продольная и поперечная деформации всегда имеют противоположные знаки (удлинение бруса приводит к его сужению и наоборот).

В таблице 1 приведены сравнительные значения коэффициента для некоторых материалов.

Читайте также: