Превращение энергии при механических колебаниях свободные и вынужденные колебания резонанс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания - это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания - это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия - это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела - это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний - это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний - это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них - синус и косинус - являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания - это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому - амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :

График функции (1) , выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1 .

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2 .

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3 .

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1) . Дифференцируем это равенство:

Теперь дифференцируем полученное равенство (4) :

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6) , (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий - по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник.

Пружинный маятник - это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4 ). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

Если 0' alt='x>0' /> (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то 0' alt='F_>0' /> . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10) .

Математический маятник.

Математический маятник - это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5 ). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. 0' alt='x>0' /> ), то:

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

Итак, при любом положении маятника имеем:

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11) :

Это - уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

Отсюда период колебаний математического маятника:

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6 ).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания - это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7 .

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс - явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. (например, колебание ветки на дереве, маятника часов, автомобиля на рессорах и так далее)

Колебания бывают свободными и вынужденными.

Колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил, называются свободными . Все свободные колебания затухают. (например: колебание струны, после удара)

Колебания, совершаемые телами под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (например: колебание металлической заготовки при работе кузнеца молотом).

Условия возникновения свободных колебаний :

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
Силы трения в системе должны быть очень малы (т.е. стремиться к нулю).

В реальных колебательных системах всегда происходят потери энергии при свободных колебаниях. Механическая энергия расходуется на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, затем колебания прекращаются. Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени за счет действия сил сопротивления, называются затухающими.

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Любое колебание характеризуется:

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний ( ).

Явление резонанса учитывается в акустике, радиотехнике и технике. В строительстве, например, при сооружении мостов и других сооружений, которые подвержены механическим колебаниям и действию внешней силы.

Существует несколько колебательных систем – математический маятник (шарик на тонкой длинной нити) и пружинный маятник (тело на пружине).

Самый простой вид колебательного движения — гармонические колебания, при которых физическая величина периодически изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис.). При гармонических колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно :

… Е_кин → Е_р → Е_кин →…

На примере колебаний тела на нити видим превращение энергии. В 1 положении наблюдаем равновесие колебательной системы. Скорость и, следовательно, кинетическая энергия тела максимальны. При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня, следовательно, в точке А маятник обладает потенциальной энергией Е_р. При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия Е_р превратится в кинетическую энергию Е_кин. В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия по инерции происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении от положения равновесия становится равной нулю. Е_кин = 0, Е_р = max

Закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается неизменной: Е_кин = Е_р = const

Любое колебание характеризуется частотой (числом колебаний в единицу времени). Такая частота является собственной частотой колеблющегося тела.

Резонанс – это явление резкого увеличения амплитуды колебания при совпадении собственной частоты колеблющегося тела и внешней периодической силы. (Например: можно с помощью резонанса вытащить машину из ямы. Несколько человек сначала раскачивают её, а потом в нужный момент по команде выталкивают)

Существует несколько колебательных систем – математический маятник (шарик на тонкой длинной нити) и пружинный маятник (тело на пружине).

Рассмотрим превращение энергии при колебании математического маятника:

В вашем распоряжении имеются металлический стакан (от калориметра), термометр и часы.

Исследуйте зависимость температуры остывающей воды от времени. Для этого фиксируйте температуру воды через равные промежутки времени (например, через каждые две или пять минут). Данные запишите в таблицу:

Время наблюдения, мин

Температура воды, °С

- Возникновение атомистической гипотезы строения вещества и ее экспериментальные доказательства.

- Идеальный газ.

- Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

- Абсолютная температура как мера средней кинетической энергии теплового движения частиц вещества.

a. Все вещества состоят из молекул, между которыми существуют промежутки.

Доказательство:

1. Если разломать предмет, то срез шершавый;

2. Любое тело всегда можно сжать – это за счет промежутков между молекулами.

b. Все молекулы находятся в непрерывном, хаотическом движении.

Доказательство:

1. Диффузия – явления смешивания веществ друг с другом. Если соединить два вещества, то они через некоторое время перемешаются без перемешивания (например: соление огурцов);

c. Между молекулами одновременно существуют силы притяжения и силы отталкивания (например: батут, рессора автомобиля и другие).

Идеальный газ – это модель в физике. За идеальный газ принимают газ в сосуде, когда молекула, пролетая от стенки до стенки сосуда не испытывает столкновения с другими молекулами.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

, где - концентрация, 1/моль; - масса молекулы, кг; - средняя квадратичная скорость молекул, м/с; - кинетическая энергия движения молекул, Дж.

Температура – это мера средней кинетической энергии.

- уравнение показывает, что чем выше температура, тем больше энергия молекул, т.е больше скорость движения молекул. Как следствие повышается давление в сосуде и другие параметры.

- абсолютная температура – измеряется в К(кельвинах)

Абсолютный ноль – это температура, равная -273 градуса по Цельсию – при которой должно прекратиться всякое движение.

Действует ли сила Лоренца:

а) на незаряженную частицу в магнитном поле (нет);

б) на заряженную частицу, покоящуюся в магнитном поле (нет);

в) на заряженную частицу, движущуюся вдоль линий магнитной индукции поля (нет);

г) перпендикулярно линиям магнитной индукции поля? (да).

Механическое колебание – это движение, которое повторяется через определенный промежуток времени (например, колебание ветки на дереве, маятника часов, автомобиля на рессорах и так далее)

Колебания бывают свободными и вынужденными .

Свободные колебания – это колебания, которые совершаются после действия внешней силы. Все свободные колебания затухают. (например: колебание струны, после удара)/

Вынужденные колебания – это колебания, которые совершаются под действием внешней периодической силы (например: колебание металлической заготовки при работе кузнеца молотом)/

Рассмотрим превращение энергии при колебании математического маятника:

В вашем распоряжении имеются металлический стакан (от калориметра), термометр и часы.

Время наблюдения, мин

Температура воды, °С

- Возникновение атомистической гипотезы строения вещества и ее экспериментальные доказательства.

- Идеальный газ.

- Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

- Абсолютная температура как мера средней кинетической энергии теплового движения частиц вещества.

a. Все вещества состоят из молекул, между которыми существуют промежутки.

Доказательство:

1. Если разломать предмет, то срез шершавый;

2. Любое тело всегда можно сжать – это за счет промежутков между молекулами.

b. Все молекулы находятся в непрерывном, хаотическом движении.

Доказательство:

Температура – это мера средней кинетической энергии.

- абсолютная температура – измеряется в К(кельвинах)

Действует ли сила Лоренца:

а) на незаряженную частицу в магнитном поле (нет);

б) на заряженную частицу, покоящуюся в магнитном поле (нет);

в) на заряженную частицу, движущуюся вдоль линий магнитной индукции поля (нет);

Из данного урока учащиеся узнают какие изменения и превращения энергии происходят при гармонических колебаниях. На конкретных примерах познакомятся с явлением резонанса. Узнают отличие свободных колебаний от вынужденных.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Превращение энергии при колебательном движении. Вынужденные колебания. Резонанс"

«Все перемены в натуре случающиеся,

такого суть состояния, что, сколько

чего у одного тела отнимается,

Михаила Васильевича Ломоносова

Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.

Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.

Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.

Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального горизонтального пружинного маятника. Будем считать, что в системе сил трения, сил сопротивления нет.

Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет.

Выводя тело из положения равновесия, например, сжимая пружину на некоторую величину, ему сообщается некоторый запас потенциальной энергии.

Что в этом случае происходит? Пружина деформируется, изменяется ее длина. Пружине сообщается потенциальную энергию. Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Следовательно, будет уменьшатся и ее потенциальная энергия. Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела.

В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.

Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается.

Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная наоборот, возрастает.

В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.

Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Полная же механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий.

Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону косинуса, то проекция скорости на ось х равна

Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией

А потенциальная энергия — функцией

Полная энергия будет определятся суммой кинетической и потенциальной энергий маятника.

Из этих формул видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются тоже по гармоническому закону.

Если совместить графики кинетической и потенциальной энергий, то видно, что они колеблются с одинаковой амплитудой, в противофазе друг с другом и с частотой два омега, а полная механическая энергия не изменяется со временем. Она равна либо потенциальной энергии тела в момент максимального отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия.

В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, т.е. их амплитуда с течением времени уменьшается до нуля.

Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, называются затухающими колебаниями.

В затухающих колебаниях, помимо их амплитуды, так же изменяются и другие характеристики, такие как скорость и ускорение.

Т.о., свободные колебания всегда затухают за то или иное время и поэтому не находят практического применения. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему действуют внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые система сама не совершала бы.

Это можно легко увидеть на примере качения на качелях, когда один человек периодически действует на качели с некоторой силой, то качели продолжают все время раскачиваться. Но как только действие силы прекратится, качели быстро остановятся.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Работа внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к ней извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Основное отличие вынужденных колебаний от свободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия пополняется постоянно за счет работы вынуждающей силы.

Рассмотрим основные характеристики вынужденных колебаний:

1) Внешнее воздействие навязывает системе свой закон колебаний: так, если внешняя сила изменяется по закону синуса (или косинуса), то вынужденные колебания будут гармоническими.

2) Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения вынуждающей силы.

3) Между вынужденными колебаниями и колебаниями внешней силы существует разность фаз.

4) Амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем больше амплитуда вынуждающей силы.

5) Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, она достигает максимального значения при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой системы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных амплитуда колебаний возрастает.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных называется резонансом.

Частота же, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется резонансной, а график зависимости амплитуды от частоты называется резонансной кривой.

Так по причине резонанса при пении Шаляпина дрожали хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс. В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов, например, в скрипке или колонке. Тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах.

Так, 2 февраля 1905 года рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил эскадрон гвардейской кавалерии, навстречу ему двигались 11 саней с возницами. В этот момент мост рухнул на лёд Фонтанки. Обошлось без человеческих жертв; погибли три лошади, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Основные выводы:

– При гармонических колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная же энергия такой колебательной системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. При этом эти энергии изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой и в противофазе друг с другом, а полная механическая энергия не изменяется с течением времени.

– В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают. Такие колебания называются затухающими колебаниями.

– Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями.

– Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных называется резонансом.

Читайте также: