Превращение энергии при гармонических колебаниях кратко
Обновлено: 06.07.2024
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , где k – коэффициент упругости, х – модуль смещения маятника из положения равновесия, m – масса маятника, v – его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
Полная энергия пружинного маятника:
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии ( ). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая – уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , где k – коэффициент упругости, х – модуль смещения маятника из положения равновесия, m – масса маятника, v – его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
Полная энергия пружинного маятника:
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии ( ). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая – уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
Гармонические колебания — это колебания , при которых физическая величина меняется во времени по синусоидальному закону: .
Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина меняется во времени по синусоидальному закону:
.
где х — значение колеблющейся величины в момент времени t, А — амплитуда, ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ) — полная фаза колебаний. При этом величины А, ω и φ — постоянные.
Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость, для электрических колебаний — напряжение и сила тока.
Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).
Превращения энергии при гармонических колебаниях.
В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии Wp в кинетическую Wk и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальнейшее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего первоначального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости, она равна:
.
где vm — максимальная скорость тела (в положении равновесия), хm = А — амплитуда.
Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.
Из данного урока учащиеся узнают какие изменения и превращения энергии происходят при гармонических колебаниях. На конкретных примерах познакомятся с явлением резонанса. Узнают отличие свободных колебаний от вынужденных.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Превращение энергии при колебательном движении. Вынужденные колебания. Резонанс"
«Все перемены в натуре случающиеся,
такого суть состояния, что, сколько
чего у одного тела отнимается,
Михаила Васильевича Ломоносова
Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.
Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального горизонтального пружинного маятника. Будем считать, что в системе сил трения, сил сопротивления нет.
Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет.
Выводя тело из положения равновесия, например, сжимая пружину на некоторую величину, ему сообщается некоторый запас потенциальной энергии.
Что в этом случае происходит? Пружина деформируется, изменяется ее длина. Пружине сообщается потенциальную энергию. Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Следовательно, будет уменьшатся и ее потенциальная энергия. Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела.
В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.
Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается.
Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная наоборот, возрастает.
В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.
Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Полная же механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий.
Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону косинуса, то проекция скорости на ось х равна
Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией
А потенциальная энергия — функцией
Полная энергия будет определятся суммой кинетической и потенциальной энергий маятника.
Из этих формул видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются тоже по гармоническому закону.
Если совместить графики кинетической и потенциальной энергий, то видно, что они колеблются с одинаковой амплитудой, в противофазе друг с другом и с частотой два омега, а полная механическая энергия не изменяется со временем. Она равна либо потенциальной энергии тела в момент максимального отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия.
В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, т.е. их амплитуда с течением времени уменьшается до нуля.
Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, называются затухающими колебаниями.
В затухающих колебаниях, помимо их амплитуды, так же изменяются и другие характеристики, такие как скорость и ускорение.
Т.о., свободные колебания всегда затухают за то или иное время и поэтому не находят практического применения. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему действуют внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые система сама не совершала бы.
Это можно легко увидеть на примере качения на качелях, когда один человек периодически действует на качели с некоторой силой, то качели продолжают все время раскачиваться. Но как только действие силы прекратится, качели быстро остановятся.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Работа внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к ней извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Основное отличие вынужденных колебаний от свободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия пополняется постоянно за счет работы вынуждающей силы.
Рассмотрим основные характеристики вынужденных колебаний:
1) Внешнее воздействие навязывает системе свой закон колебаний: так, если внешняя сила изменяется по закону синуса (или косинуса), то вынужденные колебания будут гармоническими.
2) Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения вынуждающей силы.
3) Между вынужденными колебаниями и колебаниями внешней силы существует разность фаз.
4) Амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем больше амплитуда вынуждающей силы.
5) Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, она достигает максимального значения при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой системы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных амплитуда колебаний возрастает.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных называется резонансом.
Частота же, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется резонансной, а график зависимости амплитуды от частоты называется резонансной кривой.
Так по причине резонанса при пении Шаляпина дрожали хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс. В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов, например, в скрипке или колонке. Тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.
Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах.
Так, 2 февраля 1905 года рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил эскадрон гвардейской кавалерии, навстречу ему двигались 11 саней с возницами. В этот момент мост рухнул на лёд Фонтанки. Обошлось без человеческих жертв; погибли три лошади, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.
Основные выводы:
– При гармонических колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная же энергия такой колебательной системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. При этом эти энергии изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой и в противофазе друг с другом, а полная механическая энергия не изменяется с течением времени.
– В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают. Такие колебания называются затухающими колебаниями.
– Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями.
– Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных называется резонансом.
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из положения равновесия,m- масса маятника,v- его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
, .
Полная энергия пружинного маятника:
.
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии ( ). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая - уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
7. Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ0,происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний Ат от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
8.Распространение колебаний в упругой среде
Волновое движение— механические волны, т. е. волны, которые распространяются только в веществе (морские, звуковые, волны в струне, волны землетрясений). Источниками волн являются колебания вибратора.
Вибратор— колеблющееся тело. Создает колебания в упругой среде.
Волнойназываются колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Волновая поверхность— геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах
Луч— линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.
Причина возникновения волн в упругой среде
Если вибратор колеблется в упругой среде, то он воздействует на частицы среды, заставляя их совершать вынужденные колебания. За счет сил взаимодействия между частицами среды колебания передаются от одной частицы к другой.
Волны, в которых колебания частиц среды происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Возникают в твердых телах и на поверхности поды.
9.Волна, ее характеристики. Продольные и поперечные волны.
Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде наз. волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу. Если же они колеблются вдоль луча, то волна называется продольной.
Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема, т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.
Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля.
10. Длина́ волны́ — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками в пространстве, в которых колебания происходят в одинаковой фазе. Длина волны (в линии передачи) — расстояние в линии передачи, на котором фаза электромагнитной волны вдоль направления распространения меняется на 2π.
11. Волна характеризуется скоростью распространения V. Так как за время равное периоду Т, колебания распространяются на расстояние
Скорость распространения волн зависит не только от того, что это за волны, но и от свойств среды, в которой волны распространяются. Можно сказать, что источник колебания лишь возбуждает колебания, передача колебаний от одних мест пространства к другим обеспечивается уже средой. Частота колебаний зависит только от свойств источника волн.
С колебаниями связана энергия. Энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Вместе с колебаниями волной переносится и энергия колебаний, хотя сами носители этой энергии (колеблющиеся частицы) с волной не переносятся. Таким образом, волна оказывается так же и переносчиком энергии.
12. Звук — физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. Атмосфера (воздух) является одной из упругих сред. Распространение звука в воздухе подчиняется общим законам распространения акустических волн в идеальных газах, а также имеет особенности, обусловленные непостоянством плотности, давления, температуры и влажности воздуха. Скорость звука определяется свойствами среды и вычисляется по формулам для скорости упругой волны.
13. Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде: как продольных (в газах, жидкостях или твёрдых телах), так и поперечных, сдвиговых (в твёрдых телах). Определяется упругостью и плотностью среды: как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях — меньше, чем в твёрдых телах. Также, в газах скорость звука зависит от температуры данного вещества, в монокристаллах — от направления распространения волны. Обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды; в тех случаях, когда скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука. Воздух 1191.6 км в час
14. Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существует наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое ощущение. На рисунке 1 представлена зависимость порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слышимости. Наибольшее расстояние между кривыми приходится на частоты, к которым ухо наиболее чувствительно (1000—5000 Гц).
Если интенсивность звука — величина, объективно характеризующая волновой процесс, то субъективной характеристикой звука является громкость Громкость зависит от интенсивности звука, т.е. определяется квадратом амплитуды колебаний в звуковой волне и чувствительностью уха (физиологическими особенностями). Так как интенсивность звука , то чем больше амплитуда колебаний, тем громче звук.
Высота тона — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. Чем больше частота, тем выше тон звука.
Звуковые колебания, происходящие по гармоническому закону, с определенной частотой, воспринимаются человеком как определенный музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, звуки низкой частоты — как звуки низкого тона. Диапазон звуковых колебаний, соответствующий изменению частоты колебаний в два раза, называется октавой. Так, например, тон "ля" первой октавы соответствует частоте 440 Гц, тон "ля" второй октавы — частоте 880 Гц.
Музыкальным звукам соответствуют звуки, издаваемые гармонически колеблющимся телом.
Основным тоном сложного музыкального звука называется тон, соответствующий наименьшей частоте, которая имеется в наборе частот данного звука. Тоны, соответствующие остальным частотам в составе звука, называются обертонами. Если частоты обертонов кратны частоте основного тона, то обертоны называются гармоническими, причем основной тон с частотой называется первой гармоникой, обертон со следующей частотой — второй гармоникой и т.д.
Музыкальные звуки с одним и тем же основным тоном различаются тембром, который определяется наличием обертонов — их частотами и амплитудами, характером нарастания амплитуд в начале звучания и их спадом в конце звучания.
При одной высоте тона звуки, издаваемые, например, скрипкой и пианино, отличаются тембром.
Читайте также: