Последовательное соединение активного индуктивного и емкостного сопротивлений кратко

Обновлено: 28.03.2024

В схеме, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 22.1), заданы приложенное напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах.

При анализе электрических цепей синусоидального тока типична ситуация, когда метод решения незнакомой задачи неизвестен. Во многих случаях помогает следующий подход. По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. Так же поступим сейчас и мы.

В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток, поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы. Проводим его изображение горизонтально (рис. 22.2).

Вообще, направление первого вектора при построении диаграмм произвольно. Оно диктуется соображениями удобства. Дальше мы должны показать векторы напряжений на всех элементах и в соответствии со вторым законом Кирхгофа в векторной форме U=UR+UL+UC получить вектор входного напряжения. Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Рис. 22.2 - Векторная диаграмма последовательной цепи

Нам известно, что напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90°. Напряжение UС находится в противофазе с UL, т.е. отстает от тока на тот же угол 90°, поэтому вектор UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма UR, UL и UС дает вектор приложеного напряжения U.

Величины напряжений на отдельных элементах цепи нам известны:

Из треугольника oab (рис. 22.2) по теореме Пифагора находим:

Вынося из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде: U=I*z; где,z - полное сопротивление.

В последней формуле разность индуктивного и емкостного сопротивлений мы обозначили буквой х. Это общее реактивное сопротивление цепи: х = хL – xC. Сами индуктивность и емкость называются реактивными элементами, и их сопротивления хL и xC тоже носят названия реактивных.

Выражение U=Iz называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так: I=U/z=Uy.

где, y– полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению 1/z

Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений oab (рис. 22.2):

Векторная диаграмма на рис. 22.2 построена для случая, когда UL>UC, что имеет место при XL>XC, когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей индуктивную катушку с параметрами L, R и конденсатор с параметром С. Схема замещения цепи показана на рис. 3.7.


Рис. 3.7 – Схема замещения последовательной цепи R, L, C

Для последовательной цепи общим является ток. Согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на входе цепи определяется выражением

u = uR + uL + uC.

Запишем это уравнение в комплексной форме

U = UR + UL + UC.

Представим это уравнение векторной диаграммой, рис. 3.8, а.

Построение векторной диаграммы начинаем с отложения на комплексной плоскости вектора тока I, который является общим для всех элементов цепи. Причём направление вектора выбираем произвольно. На рис 3.8, а вектор тока I выбран совпадающим с положительным направлением действительной оси. Вектор напряжения на активном сопротивлении UR совпадает по направлению с вектором тока, его называют активной составляющей напряжения, UR = R∙I. Вектор напряжения на индуктивности катушки UL = jXLI опережает вектор тока на угол 90°. Вектор напряжения на ёмкости UC = - jXCI отстаёт от вектора тока на угол 90°.

Геометрическая сумма трех векторов напряжения даёт вектор напряжения U, приложенного к цепи. Результирующий вектор напряжения U опережает вектор тока I на угол φ.

При построении диаграммы условно принято UL > UC. В построенной диаграмме можно выделить треугольник ОАВ, называемый треугольником напряжений. Сторона треугольника

АВ = UХ = UL + UC = j(XL – XCI

называется реактивной составляющей напряжения. Из треугольника напряжений можно найти модуль напряжения на зажимах в цепи

Заменяя напряжения на элементах произведением тока на соответствующие сопротивления, получаем

U = R·I + jXL·I – jXC · I = I·[R + j(XL – XC)] = Z·I,

где Z – полное комплексное сопротивление цепи,

Z = R + j(XL – XC).


Рис. 3.8
а) векторная диаграмма для нагрузки индуктивного характера (XL>XC);
б) треугольник сопротивления; в) треугольник мощностей

Разделим все векторы комплексных напряжений (треугольника ОАВ, рис. 3.8, а) на вектор комплексного тока, тогда получим треугольник сопротивления О'А'В' для случая XL>XC (рис. 3.8, б). Из треугольника сопротивлений можно определить модуль полного сопротивления и угол φ

Знак угла φ зависит от характера нагрузки: плюс соответствует индуктивной нагрузке, минус – ёмкостной.

В общем случае электрическая цепь в зависимости от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями может иметь индуктивный характер при XL > XC, емкостный характер при XL


Рис. 3.7 – Схема замещения последовательной цепи R, L, C

Для последовательной цепи общим является ток. Согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на входе цепи определяется выражением

u = uR + uL + uC.

Запишем это уравнение в комплексной форме

U = UR + UL + UC.

Представим это уравнение векторной диаграммой, рис. 3.8, а.

Построение векторной диаграммы начинаем с отложения на комплексной плоскости вектора тока I, который является общим для всех элементов цепи. Причём направление вектора выбираем произвольно. На рис 3.8, а вектор тока I выбран совпадающим с положительным направлением действительной оси. Вектор напряжения на активном сопротивлении UR совпадает по направлению с вектором тока, его называют активной составляющей напряжения, UR = R∙I. Вектор напряжения на индуктивности катушки UL = jXLI опережает вектор тока на угол 90°. Вектор напряжения на ёмкости UC = - jXCI отстаёт от вектора тока на угол 90°.

Геометрическая сумма трех векторов напряжения даёт вектор напряжения U, приложенного к цепи. Результирующий вектор напряжения U опережает вектор тока I на угол φ.

При построении диаграммы условно принято UL > UC. В построенной диаграмме можно выделить треугольник ОАВ, называемый треугольником напряжений. Сторона треугольника

АВ = UХ = UL + UC = j(XL – XCI

называется реактивной составляющей напряжения. Из треугольника напряжений можно найти модуль напряжения на зажимах в цепи




Заменяя напряжения на элементах произведением тока на соответствующие сопротивления, получаем

U = R·I + jXL·I – jXC · I = I·[R + j(XL – XC)] = Z·I,

где Z – полное комплексное сопротивление цепи,

Z = R + j(XL – XC).


Рис. 3.8
а) векторная диаграмма для нагрузки индуктивного характера (XL>XC);
б) треугольник сопротивления; в) треугольник мощностей

Разделим все векторы комплексных напряжений (треугольника ОАВ, рис. 3.8, а) на вектор комплексного тока, тогда получим треугольник сопротивления О'А'В' для случая XL>XC (рис. 3.8, б). Из треугольника сопротивлений можно определить модуль полного сопротивления и угол φ

Знак угла φ зависит от характера нагрузки: плюс соответствует индуктивной нагрузке, минус – ёмкостной.

В общем случае электрическая цепь в зависимости от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями может иметь индуктивный характер при XL > XC, емкостный характер при XL

Автор: Евгений Живоглядов.
Дата публикации: 13 апреля 2015 .
Категория: Статьи.

Напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напряжения на отдельных участках цепи: активного падения напряжения и падений напряжений на индуктивном и емкостном сопротивлениях.

Напряжение UL и UC сдвинуты между собой по фазе на полпериода (180°). Поэтому при геометрическом сложении векторов они взаимно вычитаются.

Из векторной диаграммы находим:


Закон Ома для данной цепи будет:

Закон Ома

где полное сопротивление цепи

Полное сопротивление цепи


то есть будет вести себя так, как будто она содержит только одно активное сопротивление. При этом ток и напряжение сети совпадают по фазе. Этот случай называется резонансом напряжений. График и векторная диаграмма для резонанса напряжений показаны на рисунке 2. Условием резонанса напряжений является равенство

Условие резонанса

График и векторная диаграмма для резонанса напряжений

Рисунок 2. График и векторная диаграмма резонанса напряжений

Существует несколько вариантов, при которых может возникнуть условие резонанса напряжений:

1) если при постоянной индуктивности емкость меняется и становится равной

Резонанс при изменении индуктивности

2) если при постоянной емкости меняется индуктивность и становится равной:

Резонанс при изменении емкости

3) если изменение обеих величин L и C приводит к равенству:

Резонанс при изменении индуктивности и емкости

4) если, наконец, угловая частота сети, изменяясь, становится равной:

Резонанс при изменении частоты

Пример. Имеется цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости, причем r = 6 Ом; xL = 10 Ом; xC = 2 Ом. Напряжение на зажимах цепи 120 В. Определить ток цепи при заданных сопротивлениях, а также при резонансе напряжений, если xL = xC = 10 Ом.

Ток в цепи

Напряжения на отдельных участках:

Ток в цепи при резонансе напряжений:

Ток в цепи при резонансе напряжений

Напряжение на отдельных участках цепи при резонансе напряжений:

Как видно из примера, ток при резонансе напряжений увеличился, напряжения на отдельных участках выросли. При известных условиях это может представить некоторую опасность для установок переменного тока, так как чрезмерное увеличение напряжения на участках цепи может привести к пробою изоляции катушек, аппаратов, пробою диэлектрика конденсатора и так далее.

Источник: Кузнецов М. И., "Основы электротехники" - 9-е издание, исправленное - Москва: Высшая школа, 1964 - 560 с.

Oпределение: Переменными называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени, по величине и направлению. Их величина в любой момент времени называется мгновенным значением. Обозначаются мгновенные значения малыми буквами: i, u, e, p.

Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими. Наименьший промежуток времени, через который наблюдаются их повторения, называется периодом и обозначается буквой Т. Величина, обратная периоду, называется частотой, т.е. и измеряется в герцах (Гц). Величина называется угловой частотой переменного тока, она показывает изменение фазы тока в единицу времени и измеряется в радианах, деленных на секунду


Максимальное значение переменного тока или напряжения называется амплитудой. Оно обозначается большими буквам с индексом ''m'' (например, Im). Существует также понятие, действующего значения переменного тока

Переменный ток можно математически записать в виде:


Рассмотрим цепь с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями, включенными последовательно (рис. 1.3.1).



Для анализа схемы разложим напряжение сети U на три составляющие:
UR - падение напряжения на активном сопротивлении,
UL - падение напряжения на индуктивном сопротивлении,
UC - падение напряжения на емкостном сопротивлении.

Ток в цепи I будет общим для всех элементов:



Следует отметить, что напряжения на отдельных участках цепи не всегда совпадают по фазе с током I.
Так, на активном сопротивлении падение напряжения совпадает по фазе с током, на индуктивном оно опережает по фазе ток на 90° и на емкостном - отстает от него на 90°.
Графически это можно показать на векторной диаграмме (рис. 1.3.2).


Изображенные выше три вектора падения напряжений можно геометрически сложить в один (рис. 1.3.3).


В таком соединении элементов возможны активно-индуктивный или активно-емкостный характеры нагрузки цепи. Следовательно, фазовый сдвиг имеет как положительный, так и отрицательный знак.
Интересным является режим, когда = 0.
В этом случае


Такой режим работы схемы называется резонансом напряжений.
Полное сопротивление при резонансе напряжений имеет минимальное значение:
, и при заданном напряжении U ток I может достигнуть максимального значения.
Из условия определим резонансную частоту


Явления резонанса напряжений широко используется в радиотехнике и в отдельных промышленных установках.

Цепь переменного тока с параллельным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений

Электрические цепи, в которых электрические величины (токи, напряжения и ЭДС) изменяются с течением времени по периодическому закону, принято называть цепями переменного тока.

Oпределение: Переменными называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени, по величине и направлению. Их величина в любой момент времени называется мгновенным значением. Обозначаются мгновенные значения малыми буквами: i, u, e, p.

Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими. Наименьший промежуток времени, через который наблюдаются их повторения, называется периодом и обозначается буквой Т. Величина, обратная периоду, называется частотой, т.е. и измеряется в герцах (Гц). Величина называется угловой частотой переменного тока, она показывает изменение фазы тока в единицу времени и измеряется в радианах, деленных на секунду Максимальное значение переменного тока или напряжения называется амплитудой. Оно обозначается большими буквам с индексом ''m'' (например, Im). Существует также понятие, действующего значения переменного тока (I).

Переменный ток можно математически записать в виде:


Здесь индекс выражает начальную фазу. Если синусоида начинается в точке пересечения осей координат, то = 0, тогда


Начальное значение тока может быть слева или справа от оси ординат. Тогда начальная фаза будет опережающей или отстающей.

Цепь параллельного включения конденсатора и катушки, обладающей активным сопротивлением и индуктивностью (рис. 1.4.1).


В этой схеме общим параметром для двух ветвей является напряжение U. Первая ветвь - индуктивная катушка - обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. Результирующее сопротивление Z1 и ток I1определяются по формуле:


, где



Поскольку сопротивление этой ветви комплексное, то ток в ветви отстает по фазе от напряжения на угол .

Покажем это на векторной диаграмме (рис. 1.4.2).


Спроецируем вектор тока I1 на оси координат. Горизонтальная составляющая тока будет представлять собой активную составляющую I1R, а вертикальная - I1L. Количественные значения этих составляющих будут равны:


где


Во вторую ветвь включен конденсатор. Его сопротивление


Этот ток опережает по фазе напряжение на 90°.
Для определения тока I в неразветвленной части цепи воспользуемся формулой:


<>

Его значение можно получить и графическим путем, сложив векторы I1 и I2(рис.1.4.3)
Угол сдвига между током и напряжением обозначим буквой j.
Здесь возможны различные режимы в работе цепи. При = +90° преобладающим будет емкостный ток, при = -90° - индуктивный. Возможен режим, когда = 0, т.е. ток в неразветвленной части цепи I будет иметь активный характер. Произойдет это в случае, когда I1L = I2, т.е. при равенстве реактивных составляющих тока в ветвях.


Н а векторной диаграмме это будет выглядеть так (рис. 1.4.4):


Такой режим называется резонансом токов. Также как в случае с резонансом напряжений, он широко применяется в радиотехнике.
Рассмотренный выше случай параллельного соединения R, L и C может быть также проанализирован с точки зрения повышения cosj для электроустановок. Известно, что cosjявляется технико-экономическим параметром в работе электроустановок. Определяется он по формуле:


, где

Р - активная мощность электроустановок, кВт,
S - полная мощность электроустановок, кВт.
На практике cosj определяют снятием со счетчиков показаний активной и реактивной энергии и, разделив одно показание на другое, получают tgj . Далее по таблицам находят и cosj. Чем больше cosj, тем экономичнее работает энергосистема, так как при одних и тех же значениях тока и напряжения (на которые рассчитан генератор) от него можно получить большую активную мощность.
Снижение cosj приводит к неполному использованию оборудования и при этом уменьшается КПД установки. Тарифы на электроэнергию предусматривают меньшую стоимость 1 киловатт-часа при высоком cosj, в сравнении с низким. К мероприятиям по повышению cos относятся:
- недопущение холостых ходов электрооборудования,
- полная загрузка электродвигателей, трансформаторов и т.д.
Кроме этого, на cosj, положительно сказывается подключение к сети статических конденсаторов.

17. Трехфазный переменный ток и его получение

Oпределение: Трехфазные электрические цепи представляют собой совокупность трех однофазных цепей переменного тока, сдвинутых по фазе относительно друг друга на 1/3 периода.
Источником трехфазного переменного тока является генератор, на статоре которого расположены три одинаковые обмотки Аx, By, Cz, размещенные под углом 120°.


При вращении ротора, представляющего собой двухполюсный магнит, в каждой фазной обмотке статора индуктируется ЭДС:




Графически ЭДС можно изобразить тремя синусоидами, сдвинутыми на 1/3 периода, или тремя векторами, находящимися под углом 120° друг к другу.

Читайте также: