Параллельные углы это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Развёрнутый угол принимаем равным 180°. Таким образом один угловой градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

AB и AC — это две дополнительные полупрямые, образующие развёрнутый угол BAC. Двигай луч AB.

Виды углов

Острый угол больше 0°, но меньше 90°. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол равен 90°.

Угол ABC — острый. Двигай точки A, B и C. Угол DEF — тупой. Двигай точки D, E и F. Угол GHI — прямой. Двигай точки G, H и I.

Смежные углы

Смежные углы это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые.

Здесь углы BAC и CAD — смежные. У них сторона AC — общая, а стороны AB и AD — дополнительные полупрямые.

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Здесь углы BAC и DAE — вертикальные. У них сторона AB — дополнительная полупрямая к стороне AD, а сторона AC — дополнительная полупрямая к стороне AE. Двигай точки A, B и C.

Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, и стороны, лежащие на секущей, сонаправлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и соответственный ему угол.

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей односторонние углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и односторонний с ним угол.

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и накрест лежащий с ним угол.

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

Соответственные углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы равны.
Внешние накрест лежащие углы равны.
Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

Две прямые называются параллельными (обозначение: $a||b$), если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Аксиома параллельности

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Из аксиомы параллельности и признаков параллельности прямых следует теорема : через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

Названия углов при двух прямых и секущей

Пусть прямая $c$ пересекает каждую из прямых $a$ и $b$. Образующися при этом пары углов, отмеченных на рисунке, имеют следующие названия.

1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 – соответственные;
3 и 5, 4 и 6 – внутренние накрест лежащие;
4 и 5, 3 и 6 – внутренние односторонние;
1 и 7, 2 и 8 – внешние накрест лежащие;
1 и 8, 2 и 7 – внешние односторонние.

Признаки параллельности прямых

1. Если внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle=\angle \, \Rightarrow \, a||b $$

2. Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна $180^$, то эти две прямые параллельны.

3. Если соответственные углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle=\angle \, \Rightarrow \, a||b $$

4. Если внешние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle=\angle \, \Rightarrow \, a||b $$

5. Если сумма внешних односторонних углов при двух прямых и секущей равна $180^$, то эти две прямые параллельны.

6. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

$$ a\perp c, \, b\perp c \, \Rightarrow \, a||b $$

Свойства углов при параллельных прямых и секущей

1. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle=\angle $$

2. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^$.

3. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle=\angle $$

4. Внешние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle=\angle $$

5. Сумма внешних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^$.

6. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

Читайте также: