Отношения следования и равносильности между предложениями кратко
Обновлено: 04.07.2024
Цель. Уметь устанавливать отношения следования и равносильности между парами предложений, видеть связь с начальным курсом математики.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Отношения следования между предложениями.
2. Отношения равносильности между предложениями.
Основные понятия темы
Ø отношение логического следования между предложениями;
Ø отношение равносильности между предложениями.
Обозначения
Þ – логическое следование;
Практическая часть
2. Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования: а) Треугольник АВС - равносторонний. Треугольник АВС – равнобедренный; б) Четырехугольник АВСД - квадрат. Четырехугольник АВСД – ромб; в) х 3 и х 6; г) а>2 и а>5.
3. Полученные в упражнении 2 утверждения о следовании сформулируйте шестью различными способами.
а) А - достаточное условие для В; б) А - необходимое условие для В;
в) В -достаточное условие для А;
г) В - необходимое условие для А.
5. Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
а) Число а - натуральное, следовательно, и 15а - натуральное число.
б) Число 15а - натуральное, следовательно, а - натуральное число.
в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.
г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник - прямоугольник.
д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.
е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.
6. Для ложных высказываний из упражнения 5 постройте различными способами отрицание.
11. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:
а) Для того, чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.
б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6.
в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.
г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.
а) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, …, чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
б) Для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2, . , чтобы сумма этих слагаемых делилась на 2.
в) Для того чтобы число делилось на 45, . , чтобы оно делилось на 5 и на 9.
г) Для того чтобы угол был острым, . , чтобы он был меньше прямого.
Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, истинно и предложение В.
Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.
Если из предложения А следует предложение В, то говрят, что В- необходимое условие для А, а А- достаточное для В.Другими словами, предложение В называется необходимым условием для А, если оно логически следует из А. Предложение А называют достаточным условием для В, если В из него следует.
А В (В- необходиоме условие для А; А- необходимое условие для В).
Если предложения А и В равносильны, то говорят, что А- неоходимое и достаточное условие для В, и наоборот.
СТРОЕНИЕ ТЕОРЕМЫ. ВИДЫ ТЕОРЕМ.
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).
В записи теоремы можно выделить 3 части:
1) разъяснительную – в ней описываются множества объектов, о которых идет речь в теореме;
2) условие теоремы: предикат заданный на множестве Х;
3) заключение теоремы: предикат В (х), заданный на множестве Х.
Виды теорем:
Теорема, обратной данной.
2. Теорема, противоположная данной.
Для любой теоремы вида А В (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой.
3. Теорема, обратно противоположной данной.
Выясним как связаны между собой эти два предложения.
Определение. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А (х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.
Если А и В - высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.
Для обозначения отношения логического следования используется знак . Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) В(х), прочитать которое можно по - разному:
Из А(х) следует В(х).
Всякое А(х) есть В(х).
В(х) есть следствие А(х).
А(х) есть достаточное условие для В(х).
В(х) есть необходимое условие для А(х).
- Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.
- Если число кратно 4, то оно кратно и 2.
- Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.
- Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.
- Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.
Последние два предложения часто формулируют в следующей форме:
- Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4.
- Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2.
Задача 1. Данные предложения переформулируйте, используя различные способы прочтения утверждения А(х) В(х):
а) Всякий квадрат является прямоугольником.
б) Для того чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы его запись оканчивалась нулем.
1) Из того, что четырехугольник - квадрат, следует, что прямоугольник.
2) Если четырехугольник - квадрат, то он прямоугольник.
3) Четырехугольник является прямоугольником - это следствие того, что четырехугольник - квадрат.
4) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником достаточно, чтобы он был квадратом.
5) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником.
1) Из того, что запись числа оканчивается нулем, следует, число делится на 5.
2) Всякое число, запись которого оканчивается нулем, делится на 5.
3) Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на на 5.
4) Делимость числа на 5 - это следствие того, что его запись оканчивается нулем.
5) Для того чтобы запись числа оканчивалась нулем, необходимо, чтобы оно делилось на 5.
Задача 2. Определите значение истинности высказывания:
а) Если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2;
б) Для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы запись оканчивалась нулем.
Решение. а) По всей видимости это высказывание истинное. Действительно, всякое число, запись которого оканчивается цифрой 6 - четное, а всякое четное число делится на 2. Следовательно, число, запись которого оканчивается цифрой 6, делится на 2.
Мы убедились в истинности данного высказывания путем доказательства.
С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) В(х) означает, что если ТА - множество истинности высказывательной формы А(х), а ТВ - множество истинности высказывательной формы В(х), то ТА ТВ. Справедливо и обратное утверждение.
Этим фактом удобно пользоваться при установлении значения истинности высказывания А(х) В(х).
Задача 3. Доказать, что из уравнения 3х (х - 2) = 0 следует уравнение 3х (х - 2)(х + 3) = 0, если уравнения заданы на множестве целых чисел.
Решение. Множество решений первого уравнения – Т1 = , множество решений второго – Т2 = . Видим, что Т1 Т2 Следовательно, из уравнения 3х (х - 2) = 0 следует уравнение 3х (х-2)(х+3)=0.
Вместо многоточия вставте слово "необходимо" либо "достаточно" либо "необходимо достаточно" чтобы данное предложение было истинным:
1) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилось на 2. чтобы каждое слагаемое делилось на 2
2) для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2. чтобы сумма этих слагаемых делилась на 2
3)для того чтобы число делилось на 45, ..чтобы оно делилось на 5 и на 9
4)для того чтобы угол был острым, ..чтобы он был меньше прямого.
1-достаточно
2-необходимо достаточно
3-необходимо
4-необходимо
Читайте также: