Охарактеризуйте кратко знаковый тест и парный тест вилкоксона

Обновлено: 01.06.2024

Подписанный ранговый тест Вилкоксона и парный тест t студента на языке R.

В этой статье мы рассмотрим сравнение двух наборов тестов, которые полагаются на (т. Е. Парных) количественных данных: знаковый ранговый критерий Уилкоксона и парный t-критерий Стьюдента. Ключевое различие между этими тестами состоит в том, что тест Уилкоксона является непараметрическим тестом, а t-тест - параметрическим тестом. Далее мы исследуем последствия этой разницы.

Набор данных о сне

Рассмотрим набор данных о сне. Набор данных сравнивает эффекты двух снотворных препаратов (например, снотворных), обеспечивая изменение времени сна после приема препарата по сравнению с исходным уровнем:

extraУказывает на увеличение / уменьшение (положительное / отрицательное значение) сна по сравнению с исходным измерением,группаСредства наркотики,IDПредставляет идентификатор пациента. Чтобы быть более ясным, я будугруппаПереименован впрепарат, средство, медикамент：

Обратите внимание, что набор данных о сне содержит два измерения для каждого пациента. Поэтому он подходит для показа тестов на сопряжение, подобных тому, с которым мы имеем дело.

Что мы тестируем?

Допустим, мы работаем в фармацевтической компании, это данные только что полученные в результате клинических испытаний. Теперь мы должны решить, какие два препарата вы должны выпустить на рынок. Логичный способ выбрать препарат - определить препарат с лучшими характеристиками. В частности, возникает вопрос: один из препаратов, связанных с большей стоимостьюдополнительныйЧем другие препараты?

Чтобы интуитивно понять эффективность этих двух препаратов, нанесем на график соответствующие значения:

График показывает, что среднее увеличение времени сна для лекарства 1 близко к 0, в то время как среднее увеличение для лекарства 2 близко к 2 часам. Следовательно, исходя из этих данных, кажется, что препарат 2 более эффективен, чем препарат 1. Однако нам все еще нужно определить, являются ли наши выводы статистически значимыми.

Нулевая гипотеза

Нулевая гипотеза теста заключается в том, что между двумя препаратами нет разницы в дополнительном времени сна. Поскольку мы хотим знать, лучше ли лекарство 2, чем лекарство 1, нам нужен не двусторонний тест (чтобы проверить, имеет ли какое-либо лекарство отличные характеристики), а односторонний тест. Следовательно, альтернативой нулевой гипотезе является то, что лекарство 2 связано с большим значениемдополнительныйЧем препарат 1.

Знаковый ранговый тест Вилкоксона

Тест уровня подписи Вилкоксона использует сумму уровней подписи в качестве статистики теста w ^ w ^:

w ^ = Σi = 1ñ [sgn (x2, I-x1, I) R ] w ^ = Σ = 1ñ [SGN⁡ (X2, -X1, ) ⋅ [R ]

Здесь пара измерений ññ I-I-I означает X I = (x1, I, x2, I) X I = (X1, I, X2, I), а [R I [R I представляет уровень пары. Уровень указывает только положение наблюдения в упорядоченном списке | X2, I-x1, I || X2, I-X1, I |. Существование тестовой статистики состоит в том, что пары с большими абсолютными различиями будут иметь большой ранг [R [R . Следовательно, эти пары являются определяющими факторами w ^ w ^, хотя пары, которые показывают небольшие абсолютные различия, имеют низкое значение [R [R ], поэтому мало влияют на результаты теста. Поскольку статистика теста основана на ранжировании, а не на самом измеренном значении, знаковый ранговый критерий Вилкоксона можно рассматривать как проверку изменения медианы между двумя группами.

Чтобы выполнить тест в R, мы можем использовать wilcox.test Характеристики. Однако мы должны явно указатьпараПараметры, указывающие, что мы обрабатываем совпадающие наблюдения. Чтобы указать односторонний тест, мы будемЗаменаПараметр установлен наБольше. Таким образом, альтернативой тесту является то, связано ли лекарство 2 с большим увеличением продолжительности сна вместо лекарства 1.

предостережение

Прежде чем получить результаты, мы должны изучить два предупреждения, сгенерированные при выполнении теста.

Предупреждение 1: отношения

Первое предупреждение появляется из-за теста extra Парные значения отсортированы. Если две пары имеют одинаковую разницу, во время ранжирования возникнет связь. В этом можно убедиться, посчитав разницу между парами

И оказалось, что и 3, и 4 имеют одинаковую разницу в 1,3. Почему проблема с галстуком? Ранги, присваиваемые отношениям, основываются на среднем значении рангов, которые они занимают. Следовательно, если имеется много связей, это снизит выразительную силу статистики теста, что сделает тест Вилкоксона неуместным. Поскольку здесь у нас только одни отношения, это не проблема.

Предупреждение 2: нулевое значение

Второе предупреждение касается пар с разницей в 0. Это случай пятого пациента в наборе данных о сне (см. Выше). Почему ноль - проблема? Помните, нулевая гипотеза заключается в том, что разница сосредоточена в 0. Однако разница в том, что наблюдаемое значение равно 0, не дает нам никакой информации, чтобы отклонить ноль. Поэтому эти пары отбрасываются при вычислении статистики теста. Если это так для многих пар, статистическая мощность теста значительно упадет. Опять же, это не проблема для нас, потому что есть только одно нулевое значение.

Результаты опроса

Основным результатом теста является его p-значение, которое можно получить следующими способами:

Поскольку значение p меньше 5% уровня значимости, это означает, что мы можем отклонить нулевую гипотезу. Поэтому мы склонны принять альтернативную гипотезу, согласно которой препарат 2 лучше, чем препарат 1.

Парный t-тест студента

Парный t-критерий Стьюдента - это тест параметров двух парных количественных методов измерения. Здесь параметр означает, что t-тест предполагает, что средняя разница между выборками распределена нормально. Тест основан на определении средней разницы между измеренными значениями двух групп, X¯dX¯d больше, чем μdμd, где μdμd обычно устанавливается в 0, чтобы выяснить, есть ли разница. Статистика тестов,

t = X. d- μ0 труба dñ√, t = X d- μ0 труба dñ,

Используйте стандартное отклонение разницы для нормализации, маленькое d, маленькое d, и количество пар ññ. Согласно стандартизированному s d √ s d, тестовая статистика регулирует значение тестовой статистики в соответствии с размером выборки (| t || t | увеличивается с увеличением выборки) и стандартным отклонением разницы (| t || t | если По мере увеличения отклонение уменьшается).

В R мы можем использовать t.test Функция выполняет парный t-тест. Пожалуйста, обратите внимание, t.test Предположим, что различия в популяциях не равны. В этом случае тест также называетсяT-критерий Велча. Чтобы получить исходный t-критерий, предполагая, что дисперсии генеральной совокупности равны, мы можем equal.var Параметр установлен на TRUE . Здесь мы будем использовать настройки по умолчанию:

Точно так же значение p меньше 0,05. Поэтому мы склонны принимать альтернативную гипотезу: лекарство 2 связано с увеличением средней продолжительности сна, а не лекарство 1.

Проверить гипотезу t-критерия Стьюдента

T-критерий требует, чтобы среднее значение выборки было нормально распределенным. отЦентральная предельная теорема, Среднее значение выборок из совокупности близко к достаточному количеству выборок из нормального распределения. Следовательно, пока имеется достаточное количество выборок, даже для аномальных измерений, гипотеза t-теста выполняется. Поскольку данные о сне содержат только 10 пар парных измерений, есть повод для беспокойства. Следовательно, мы должны проверить, нормально ли распределены различия между измерениями, чтобы убедиться, что t-тест действителен:

Глядя на гистограмму, данные кажутся более однородными, чем нормальное распределение. Для дальнейшего понимания воспользуемся разницейГрафик QQ (квантиль-квантиль)Сравните ожидаемое значение нормального распределения:

График QQ показывает, что, за исключением тяжелого хвоста, разница очень подходит для нормальной модели. Из этого можно сделать вывод, что гипотеза t-критерия полностью удовлетворяется. Тем не менее, мы все еще не уверены, является ли t-критерий наиболее подходящим выбором для этих данных.

Резюме: знаковый ранговый критерий Вилкоксона и парный t-критерий Стьюдента

В этом анализе знаковый ранговый критерий Вилкоксона и парный t-критерий Стьюдента привели к отклонению нулевой гипотезы. Но вообще какой тест подходит больше? Ответ в том, что это зависит от нескольких критериев:

Предположение:T-критерий Стьюдента - более сбалансированный метод, тогда как Уилкоксон проверяет ранжирование данных. Например, если вы анализируете данные с большим количеством выбросов, таких как личное богатство (несколько миллиардеров могут сильно повлиять на результаты), то тест Вилкоксона может быть более подходящим.
Пояснение:Хотя доверительный интервал теста Вилкоксона также можно рассчитать, доверительный интервал среднего значения в t-тесте кажется более естественным, чем доверительный интервал ложного врача в тесте Вилкоксона.
Гипотетическая реализация:Для небольших выборокМожет не соответствовать гипотезе t-критерия Стьюдента. В этом случае обычно безопаснее выбрать тест с параметрами. Однако, если он удовлетворяет гипотезе t-критерия, он имеет больше, чем критерий Вилкоксона.статистикаэффект.

Поскольку размер выборки набора данных о сне невелик, я предпочитаю данные теста Вилкоксона.

Какой тест вы бы использовали? Вы вообще предпочитаете тест?

Есть проблема? свяжитесь с нами!

Племя больших данных -Профессиональный сторонний поставщик услуг обработки данных в Китае, предоставляющий индивидуальные универсальные консультационные услуги по интеллектуальному анализу данных и статистическому анализу.

Консультационные услуги по статистическому анализу и интеллектуальному анализу данных:y0.cn/teradat(По вопросам консультационных услуг обращайтесьОфициальный сайт службы поддержки клиентов）

[Служебная сцена]

Научно-исследовательские проекты; аутсорсинг проектов компании; индивидуальное обучение онлайн и офлайн; сбор данных; академические исследования; написание отчетов; исследования рынка.

【Племя больших данных】Предоставлять индивидуальные универсальные консультационные услуги по интеллектуальному анализу данных и статистическому анализу

Фрэнк Уилкоксон

(также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух связанных (парных) выборок по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.

Суть метода состоит в том, что сопоставляются абсолютные величины выраженности сдвигов в том или ином направлении. Для этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

1. История разработки критерия Уилкоксона для связанных выборок

Тест был впервые предложен в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (1892-1965). В той же научной работе автором был описан еще один критерий, применяемый в случае сравнения независимых выборок.

2. Для чего используется критерий Уилкоксона?

Т-критерий Уилкоксона используется для оценки различий между двумя рядами измерений, выполненных для одной и той же совокупности исследуемых, но в разных условиях или в разное время. Данный тест способен выявить направленность и выраженность изменений - то есть, являются ли показатели больше сдвинутыми в одном направлении, чем в другом.

Классическим примером ситуации, в которой может применяться Т-критерий Уилкоксона для связанных совокупностей, является исследование "до-после", когда сравниваются показатели до и после лечения. Например, при изучении эффективности антигипертензивного средства сравнивается артериальное давление до приема препарата и после приема.

3. Условия и ограничения применения Т-критерия Уилкоксона

Критерий Уилкоксона является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от парного t-критерия Стьюдента, не требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей.
Число исследуемых при использовании T-критерия Уилкоксона должно быть не менее 5.
Изучаемый признак может быть измерен как в количественной непрерывной (артериальное давление, ЧСС, содержание лейкоцитов в 1 мл крови), так и в порядковой шкале (число баллов, степень тяжести заболевания, степень обсемененности микроорганизмами).
Данный критерий используется только в случае сравнения двух рядов измерений. Аналогом Т-критерия Уилкоксона для сравнения трех и более связанных совокупностей является Критерий Фридмана.

4. Как рассчитать Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок?

Вычислить разность между значениями парных измерений для каждого исследуемого. Нулевые сдвиги далее не учитываются.
Определить, какие из разностей являются типичными, то есть соответствуют преобладающему по частоте направлению изменения показателя.
Проранжировать разности пар по их абсолютным значениям (то есть, без учета знака), в порядке возрастания. Меньшему абсолютному значению разности приписывается меньший ранг.
Рассчитать сумму рангов, соответствующих нетипичным сдвигам.

Таким образом, Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок рассчитывается по следующей формуле:

где ΣRr - сумма рангов, соответствующих нетипичным изменениям показателя.

5. Как интерпретировать значение критерия Уилкоксона?

Полученное значение T-критерия Уилкоксона сравниваем с критическим по таблице для избранного уровня статистической значимости (p=0.05 или p=0.01) при заданной численности сопоставляемых выборок n:

Если расчетное (эмпирическое) значение Т_эмп. меньше табличного Т_кр. или равно ему, то признается статистическая значимость изменений показателя в типичную сторону (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение Т.
Если Т_эмп. больше Т_кр., принимается нулевая гипотеза об отсутствии статистической значимости изменений показателя.

Пример расчета критерия Уилкоксона для связанных выборок

Фармацевтической компанией проводится исследование нового препарата из группы нестероидных противовоспалительных средств. Для этого отобрана группа из 10 добровольцев, страдающих ОРВИ с гипертермией. У них была измерена температура тела до и через 30 минут после приема нового препарата. Требуется сделать вывод о значимости снижения температуры тела в результате приема препарата.

Итак, у вас есть данные обследования, полученные в двух опытах (или в двух замерах), но на одной и той же группе испытуемых (подопытных, объектов и т.д.).

Понятие "зависимые выборки"

Зависимые выборки - это два замера одного и того же параметра, сделанные на одной и той же совокупности объектов либо в разное время, либо при разных условиях. В итоге получаются две группы данных, попарно связанные между собой через одни и те же объекты. © Сазонов В.Ф., 2016. © kineziolog.su, 2016.

Две выборки считаются зависимыми друг от друга, если каждому значению одной выборки можно однозначно поставить в соответствие ровно одно значение другой выборки. Аналогично определяется зависимость друг от друга нескольких выборок.

Или такое определение:

Зависимые (связанные, попарно сопряженные) выборки - это выборки, представляющие собой параметры одной и той же совокупности до и после воздействия некоторого фактора.

Чаще всего зависимые выборки – это измерения одной и той же группы объектов в разные моменты времени (например, до и после воздействия какого-либо фактора). Таким образом, зависимые выборки всегда должны содержать одинаковое количество наблюдений . В электронной таблице зависимые переменные располагаются в разных столбцах одной таблицы под разными названиями (например, показатели чего-то до воздействия и показатели чего-то после воздействия).

И вам надо из этих двух столбиков данных получить какие-то обобщённые результаты, сделать выводы. И самое главное - вам надо сравнить между собой две эти выборки.

Чтобы получить достоверные и обоснованные результаты, важно пользоваться проверенными и надежными приемами. В психологии подобрать подходящий метод непросто. Главное, учитывать все необходимые правила и требования, располагать необходимыми сведениями. Сегодня мы расскажем о непараметрическом статистическом подходе, так называемом Т-критерии Вилкоксона.

Основные положения методики

Методика была разработана американским ученым, химиком, статистом Фрэнком Уилкоксоном. Ее апробация была произведена в 1945 году.

Суть методики Вилкоксона

Т-критерий Вилкоксона призван сопоставить абсолютные значения, свидетельствующие о наличии сдвига или определенной тенденции (направления).

В основе метода лежит многоступенчатая обработка материалов: ранжирование, суммирование рангов, определение стабильностей и случайностей, интенсивности и пр.

Зачем нужен Т-критерий Вилкоксона?

Данная методика позволяет оценить различия между двумя признаками, рядами изменений, которые были выполнены в отношении выборки. Важным условием применения приема является то, что экспериментальная часть должна проводиться неоднократно в разное время и в разных условиях. Такой подход позволяет установить изменения не только факторов, но и их влияние на конечный результат, а также приверженность объектов исследования определенной тенденции.

Для чего применяют Т-критерий Вилкоксона?

Т-критерий Вилкоксона помогает установить наличие изменений, их направление и выраженность интенсивность. С его помощью исследователь устанавливает, в каком направлении доминируют сдвиги (например, в положительную или отрицательную сторону).

Нужна помощь преподавателя?

Мы всегда рады Вам помочь!

При каких условиях Т-критерий Вилкоксона целесообразно использовать?

Рассматриваемый механизм относится к непараметрическим методам исследований. В связи с этим здесь не обязательно равномерное распределение признаков.

Важно, чтобы в качестве испытуемых принимало участие не менее 5 человек.

Параметры необходимые для применения Т-критерия Вилкоксона

Этот алгоритм применим для сравнения количественных и качественных характеристик, в порядковой и ранговой шкале. В частности, автор научной работы может сравнивать объекты исследования на основе данных об артериальном давлении, хронических заболеваниях, привычках или по степени тяжести заболевания и пр.

Обязательным условием для применения методики Вилкоксона является наличие двух рядов измерений. Если выборок больше, то целесообразно отказаться от Т-критерия в пользу критерия Фридмана.

Как пользоваться приемом?

Существует определенная последовательность действий, позволяющая грамотно использовать данную методику.

Алгоритм использования методики

Сначала исследователю необходимо собрать необходимый для анализа материал. Здесь важно использовать не только статистические, но и экспериментальные данные (при этом проводить опыт придется неоднократно).

Затем нужно определить типичность и нетипичность выявленных изменений. Для этого нужно определить, какому направлению присуща доминанта (большая часть испытуемых).

После определения направления сдвигов и их интенсивности следует проранжировать разности пар по модулю (то есть фактический знак изменения не учитывается). Нужно расположить полученные данные в порядке возрастания.

Последним этапом при реализации Т-критерия Вилкоксона является расчет суммы рангов, относящихся к нетипичным сдвигам.

После произведенных расчетов необходимо сравнить результаты с таблицей критических значений. Если полученные данные меньше табличных, то это подчеркивает типичность признака и принимается альтернативная гипотеза.

Если же результат выше табличного, то принимается основная гипотеза.

Пример использования Т-критерия Вилкоксона

Использования Т-критерия Вилкоксона на конкретном примере

Таким образом, использование Т-критерия Вилкоксона позволяет упорядочить имеющиеся данные разбить их на две группы (до и после) и проанализировать. Результаты, получены при помощи этого приема, признаются достоверными и обоснованными, отражают общую тенденцию изучаемого явления ил признака. Чаще всего им пользуются студенты при выполнении курсовых, дипломных работ и отчетов по практике, а также соискатели ученых степеней при доказательстве выдвинутой гипотезы или проверке действия некоего закона в современных условиях.

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от -30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.
Суть метода состоит в сопоставлении выраженности сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого сначала ранжируются все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.
Первоначально исходят из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом– сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Гипотезы.
H₀: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.
H₁: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях – 5 человек. Максимальное количество испытуемых– 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц.
Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюденийn уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Можно обойти это ограничение, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: "Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне".

Алгоритм подсчета Т-критерия Вилкоксона

Критерий Вилкоксона для независимых выборок

Этот критерий используется для проверки однородности двух независимых выборок x₁,x₂,…,x_n₁ и y₁,y₂,…,y_n₂. Он применяется к случайным величинам, распределения которых неизвестны, но являются непрерывными.
Основная гипотеза имеет вид H₀: F₁(x)=F₂(x) а альтернативная гипотеза может быть левосторонней, правосторонней или двусторонней.
При использовании критерия Вилкоксона все вычисления проводятся не для самих наблюдаемых значений x_i,y_i а для их рангов. Ранг — это порядковый номер наблюдения в данной выборке, если наблюдаемые значения расположить по возрастанию.
Последовательность действий при проверке гипотезы однородности с помощью критерия Вилкоксона следующая:
1) составляем объединение выборок x₁,x₂,…,x_n₁ и y₁,y₂,…,y_n₂.
2) находим ранги объединенной выборки (обозначим ранги первой выборки r₁,r₂. r_n₁ а ранги второй - s₁,s₂. s_n₂)
3) вычисляем наблюдаемое значение статистики Вилкоксона равную сумме рангов второй выборки.
Если распределение второй выборки сдвинуто вправо относительно первой (альтернативная гипотеза H₁: F₁(x) K_kp=K(n₁,n₂;α/2) или K_набл=n₂(n₂+n₁+1)-K(n₁,n₂;α/2).

Пример №2 . В биохимическом исследовании, проведенном методом меченных атомов, по результатам изучения 7 препаратов опытной группы получены следующие показания счетчика импульсов (в импульсах в минуту): 340, 343, 322, 332, 320, 313, 304. Результаты контрольной группы: 318, 321, 318, 301, 312.
Можно ли считать, что полученные значения опытной и контрольной групп различны α=0.05.

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.
H₀: F₁(x)=F₂(x) — выборки однородны; различия в результатах опытной и контрольной групп можно отнести на счет случайных воздействий.
H₁: F₁(x)≠F₂(x) - выборки извлечены из генеральных совокупностей с разными распределениями; различие между контрольной и опытной группами существенно.
Объединим выборки и расположим полученные данные в порядке возрастания: 301, 304, 312, 313, 318, 318, 320, 321, 322, 332, 340, 343 — здесь подчеркнуты элементы второй выборки (контрольной группы). Занумеровав все элементы в порядке возрастания, получим ранговую последовательность: 1, 2, 3, 4, 5.5, 5.5, 7, 8, 9, 10, 11, 12 — подчеркнуты ранги контрольной группы.
Наблюдаемое значение статистики Вилкоксона равно
K_набл=1+3+5,5+5,5+8=23
Критическая область является двусторонней, ее правая граница при α=0.1

левая граница
К_лев= n₂(n₂+n₁+1)-K_пр=5*14-44=26.
Наблюдаемое значение попадает в критическую область: K_набл типичную сторону достоверное не преобладают.

Читайте также: