Несобственные интегралы 2 рода кратко
Обновлено: 05.07.2024
К изучению несобственных интегралов лучше приступать в последнюю очередь в ходе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Читатель данного урока должен быть хорошо подкован в неопределенных интегралах, определенных интегралах, уметь находить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Кроме того, потребуются знания простейших пределов и графиков элементарных функций. По логике изложения материала эта статья является продолжением урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.
Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….
Что значит вычислить несобственный интеграл?
Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Несобственные интегралы бывают двух видов.
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус :)
Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:
Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:
2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.
3) О третьем варианте чуть позже.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.
Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным.
Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.
Коль скоро несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.
Рассмотрим два классических примера:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.
Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.
Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.
При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!
Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:
Подынтегральная функция непрерывна на
Несобственный интеграл расходится.
“
! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Выполним чертеж:
Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :
(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.
(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.
Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.
Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:
Подынтегральная функция непрерывна на
Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего), либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.
Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна на .
Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором я уже рассказал в статье Определенный интеграл. Примеры решений.
Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.
На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.
Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.
На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.
Теперь находим несобственный интеграл:
(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.
(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.
Подынтегральная функция непрерывна на .
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Полные решения и ответы в конце урока.
Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!
Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует
Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.
Посмотрим, как это реализуется на практике.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)
Сначала вычислим неопределенный интеграл:
У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.
Вычислим несобственный интеграл:
(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.
(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.
(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.
В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:
Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению слева. По оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально!).
Для разнообразия я решу этот интеграл сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.
Добавка обозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке мы приближаемся по оси слева.
Разбираемся, почему дробь (это лучше делать устно или на черновике).
Подставляем под корень предельное значение :
и тогда
Несобственный интеграл расходится.
Будьте очень внимательны в знаках. Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но и – это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.
И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решения и ответы:
Пример 4: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на .
Пример 5: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на .
Несобственный интеграл расходится.
Пример 7: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
Несобственный интеграл расходится.
Примечание: с пределом выражения можно разобраться следующим образом: вместо подставляем :
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
Примечание: Разбираемся в пределе выражения . Если , то (см. график логарифмической функции!), тогда: . Именно эти соображения и помечаются как
Пример 10: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
Пример 11: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
Несобственный интеграл расходится
Примечание: Разбираемся в пределе выражения . Если , то , и тогда . Будьте очень внимательны в знаках!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Если конечный предел , то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции , определенной на по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть – первообразная для на , тогда
Таким образом, сходится конечный предел первообразной
,
1.
2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).
(a>0).
1. .
при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При ; ; ,
; интеграл сходится по предельному признаку.
3.
Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
Пусть непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим . Т.к. непрерывна на , то – определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Если конечный предел , то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции , определенной на по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть – первообразная для на , тогда
Таким образом, сходится конечный предел первообразной
,
1.
2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).
(a>0).
1. .
при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При ; ; ,
; интеграл сходится по предельному признаку.
3.
Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
Пусть непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим . Т.к. непрерывна на , то – определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Если неограничена на , то особенность может быть в точках или внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке .
Определение. Пусть задана на полуинтервале и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует Или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка , на верхнем и нижнем пределах одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Примеры.
1. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда
И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при сходится и при расходится. Аналогичные выводы можно сделать про несобственные интегралы ,.
Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому
.
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
3. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и , поэтому интеграл разбиваем на сумму двух, например, . Для первого из них
. Следовательно, интеграл расходится и поэтому исходный интеграл также расходится.
4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.
5. Выясним сходимость интеграла . Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .
6. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем
7. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем
8. Выяснить сходимость интеграла .
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому разбиваем интеграл на сумму двух
. Для первого из них имеем
.
Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно исходный интеграл сходится.
Задание 2.6
Используя определение выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода.
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. ; 8. ; 9. .
Ответы: 1.; 2. расходится; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. расходится; 8. расходится; 9. расходится.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.11.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого существует Такое, что для всех выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.12. Пусть для всякого Выполнено неравенство . Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.
Теорема 2.13. Если и - бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы И либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.
Примеры
1. Для интеграла подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.
2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки и в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен и интеграл сходится.
3. Выясним сходимость интеграла .
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.
4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.
5. Выясним сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.
6. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.
7. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках и Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен , а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен 1. Поэтому интеграл расходится.
Задание 2.7
Используя теорему сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указаны: точка, в которой функция бесконечно большая; порядок роста подынтегральной функции относительно пробной функции; сходимость.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. .
Ответы: 1. , , сходится; 2. , сходится; 3. , , сходится; 4. , сходится; 5. , расходится; 6. , , сходится; 7. , сходится; 8. , сходится; 9. , , сходится; 10. , сходится;
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная функция ограничена на нем — в противном случае множество сумм Дарбу не будет ограниченным. При решении задач встречаются случаи, когда одно или оба из этих условий не выполняются, т. е. когда промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы 1-го и 2-го рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечностью промежутка интегрирования или с неограниченностью подынтегральной функции.
Хотя несобственные интегралы и нельзя рассматривать как разделяющие числа для сумм Дарбу, иногда им можно придать определенный смысл с помощью дополнительного предельного перехода. Начнем со случая, когда промежутком интегрирования является луч . Предположим, что функция интегрируема на каждой конечной части луча, т. е. что для любого . За значение интеграла естественно принять предел функции , когда с стремится к (рис. 18).
Может, однако, случиться, что этот предел не существует. Поэтому будем различать два случая:
а) Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, а значение этого предела — значением несобственного интеграла. В этом случае
б) Если предел в правой части равенства (1) не существует, говорят, что несобственный интеграл расходится.
При аналогичных предположениях относительно функции можно рассмотреть случай, когда верхний предел фиксирован, а нижний предел стремится к
Если предел, стоящий в правой части равенства (2), конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае его называют расходящимся.
Наконец, можно определить и несобственный интеграл вида . Будем считать, что функция интегрируема на всей числовой прямой . Выберем на прямой произвольную точку и . Если существуют несобственные интегралы
то говорят, что существует и несобственный интеграл . В этом случае полагают
где несобственные интегралы, содержащиеся в правой части равенства (3), определены соответственно равенствами (1) и (2). Легко проверить, что значение интеграла не зависит от выбора точки
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом.
Решение. Подынтегральная функция всюду непрерывна и, следовательно, интегрируема в любом конечном промежутке. Имеем:
Значит, окончательно имеем .
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл от синуса .
Так как не существует, то несобственный интеграл расходится.
Запись вычислений несобственных интегралов можно упростить, предварительно найдя первообразную для подынтегральной функции . Именно, если —первообразная функция для , то
Предположим, что существует предел . Введем обозначение: . Тогда
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл .
Пример 4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Сходимость или расходимость интеграла зависит от того, существует или нет предел . Если ; если . Таким образом, сходится, если
При исследовании на сходимость несобственных интегралов оказываются полезными следующие утверждения:
а) Если сходится интеграл , то при . При этом
б) Если сходятся интегралы и , то и интеграл сходится, причем
Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода
В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с несобственными интегралами от неотрицательных функций. Если функция неотрицательна на луче , то функция возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:
а) Для сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число , что для всех .
Непосредственно найти такое число бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:
б) Если на луче выполняется неравенство и интеграл сходится, то сходится и интеграл .
В самом деле, из следует, что для любого
Но функция возрастает, и потому ее предел при не меньше любого из ее значений: . Поэтому для всех имеем: , где . А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл сходится.
Из доказанного вытекает, что если при и интеграл расходится, то расходится и интеграл — в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл сходился бы.
Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл .
Решение. Мы имеем при сходится (см. пример 4). Поэтому сходится и исходный интеграл.
Пример 6. Исследуем на сходимость интеграл .
Решение. Так как при расходится (см. пример 4 при ), то расходится и заданный интеграл.
Несобственные интегралы 2-го рода
Рассмотрим теперь случай, когда промежуток интегрирования конечен, но подынтегральная функция не ограничена на нем. Строение таких функций может быть очень сложным. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда можно указать конечное множество особых точек , таких, что в сколь угодно малых окрестностях этих точек функция не ограничена, но после удаления этих окрестностей получаем промежутки, на которых функция интегрируема.
Сначала изучим случай, когда множество особых точек состоит лишь из точки не ограничена на всем отрезке , но интегрируема на любом из отрезков (рис. 19). За значение интеграла естественно принять предел , если этот предел существует.
Введем следующее определение:
Пусть функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом из отрезков , где . Несобственный интеграл называют сходящимся, если существует предел . Значение этого предела и называют значением интеграла . Если же этот предел не существует, то интеграл называют расходящимся.
Аналогично, если функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом отрезке , то полагаем
Наконец, если единственная особая точка лежит внутри отрезка , то положим
Пусть — первообразная для функции . Положим
(если эти пределы существуют). Тогда для сходящихся интегралов, у которых особыми являются лишь точки
Если функция непрерывна в точках
Аналогично обстоит дело и в случае, когда подынтегральная функция не ограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки отрезка .
Пример 7. Вычислим несобственный интеграл второго рода .
Решение. Этот интеграл является несобственным, так как функция не ограничена в любой окрестности точки
откуда, учитывая непрерывность функции
Пример 8. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция внутри данного промежутка интегрирования имеет одну особую точку . Найдем первообразную для подынтегральной функции:
Так как функция непрерывна в точке , то имеем
Пример 9. Вычислить .
Решение. В данном случае подынтегральная функция имеет две особые точки и . Пользуясь определением несобственного интеграла и учитывая непрерывность первообразной, получаем, что
Читайте также: