Непрерывное начисление процентов кратко

Обновлено: 04.07.2024

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e j • n = P • e δ • n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100'000 • (1 + 0,08) 3 = 125'971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365) 365 • 3 = 127'121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 • e 0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

Рис. 5. Различные варианты начисления процентов

При дискретном начислении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота "ступенек" все время возрастает.

В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствует две "ступеньки" на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту "ступеньки" однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e j • n = P • e δ • n

а) один раз в год;

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100'000 • (1 + 0,08) 3 = 125'971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365) 365 • 3 = 127'121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 • e 0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

Рис. 5. Различные варианты начисления процентов

Процентная ставка (англ. interest rate ) — это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год).

С позиции теории денег, процентная ставка — это цена денег как средства сбережения.

Проценты - это доход от предоставления капитала в долг в разных формах (ссуды,кредиты) либо это доход от инвестиций производного финансового характера.

Содержание

Простые, сложные и непрерывно начисляемые проценты

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

$S = P + P\cdot n\cdot i = (1 + ni)P$

P — исходная сумма
S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами)
i — процентная ставка, выраженная в долях
n — число периодов начисления

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i) n P

(при тех же обозначениях).

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Часто рассматривается следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет j , а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12 ). Тогда формула для наращенной суммы будет выглядеть:

$S = \left(1 + \frac<j> \right)^P$

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке. Сравнение сложных процентных ставок с разными интервалами начисления производят при помощи показателя годовая процентная доходность(APY).

Наконец, иногда рассматривают ситуацию так называемых непрерывно начисляемых процентов, то есть годовое число периодов начисления m устремляют к бесконечности. Процентную ставку обозначают δ , а формула для наращенной суммы:

S = e δn P .

В этом случае номинальную процентную ставку δ называют сила роста.

Реальная и номинальная ставка

Различают номинальную и реальную процентную ставку.

Реальная процентная ставка — это процентная ставка, очищенная от инфляции.

Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой:

i_r = i_n − π

i_n — номинальная процентная ставка
i_r — реальная процентная ставка
π — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Ирвинг Фишер предложил более точную модель взаимосвязи реальной, номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера:

$i_r = \frac<1 + i_n> - 1$

Легко видеть, что при небольших значениях уровня инфляции π результаты мало отличаются, но если инфляция велика, то следует применять формулу Фишера.

Согласно Фишеру, реальная процентная ставка численно должна быть равна предельной производительности капитала.

Термин постоянные начисления означает, что проценты начисляются и добавляются к сумме вклада непрерывно. Иными словами, число периодов выплат по инвестиции за год — бесконечно.

Рассчет суммы наращения

Рассчитаем сумму наращения при постоянных начислениях. Для этого выведем соответствующую формулу. В статье Сложные проценты в MS EXCEL. Постоянная ставка приведена формула наращения для сложных процентов при капитализации m раз в год в течение n лет. S = Р*(1+i/m)^(n*m) i/m – это ставка за период.

Увеличение частоты начисления процентов приводит к росту годового множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m→∞) достигает своего предельного значения:

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом в отличие от ставки дискретных процентов i. Поэтому формулу наращенной суммы при непрерывном начислении процентов записывают в виде:

Примечание : эффективная годовая процентная ставка при непрерывном начислении = . Следовательно, номинальная ставка (сила роста)

Пример . Определим будущую стоимость инвестиции объемом 150 000 руб., вложенную под 10% годовых, проценты начисляются непрерывно на протяжении 5 лет. Решение: =150000*EXP(0,1*5) Эта формула вернет значение 247308,19 руб., что всего на 0,007% больше по сравнению с аналогичной инвестицией, но с ежедневным начислением (см. файл примера ) по формуле =150000*(1+0,1/365)^(365*5) .

Сравнение графиков наращения при дискретном и непрерывном наращении

Непрерывное начисление сложных процентов позволяет получить максимально возможную будущую стоимость по истечении срока инвестирования при заданной номинальной процентной ставке. Это видно из графика ниже.

Примечание . График создан на основе идей из статьи Ступенчатый график .

Наращенная сумма за 10 лет по ставке 10% от начальной суммы 100 000р.: - при непрерывном наращении - 738 905,61р. - при ежедневном наращении - 738 500,99р. - при ежемесячном наращении - 726 825,50р. - при ежеквартальном наращении - 703 998,87р. - при ежеквартальном наращении - 619 173,64р.

Применение непрерывного начисления

Модель с непрерывным начислением процентов получила широкое распространение в количественном финансово-экономическом анализе благодаря своей простоте и универсальности. Действительно, единственным параметром в этой модели является годовая норма доходности, при этом отсутствует зависимость от срока инвестирования средств и способа начисления процентов. Хотя в практических финансово-кредитных операциях, как правило, применяется инвестирование средств на конечные отрезки времени, но если оно происходит достаточно часто, то его описание с помощью модели с непрерывным наращением процентов дает достаточно высокую точность.

При использовании сложных процентов встречаются те же четыре типа задач, которые были рассмотрены для простых процентов. Задача первого типа встретилась в примерах 34 и 35. В следующих примерах решаются задачи остальных трех типов.

$j_<12> Пример 36. Какую сумму следует вложить в банк, выплачивающий =7\%$
, чтобы получить 3 000 руб. через 4 года 6 месяцев? .

$j_<12> Решение. Применим формулу (3.5) при =0.07,\ m=12,\ t=4.5$
:

$3\,000=P\left(1+\frac<0.07> \right)^\,=\,P(1+0.0058)^.$

Из этого равенства находим значение P :

$P=3\,000\times(1+0.0058)^<-54> =3\,000\times 0.7317655=2\,195.30\mbox < руб.>$

В предыдущем примере требовалось определить, какую сумму денег надо вложить в банк в настоящее время, чтобы получить сумму S через t лет в будущем. Решение такой задачи называется дисконтированием суммы S Величина вклада определяется формулой:

$P=S(1+r)^<-t> \,\,\, (3.6)$

если начисление r% сложных производится один раз в год в течение t лет, и формулой:

$P=S\left(1+\frac<j_ >\right)^\,\,\, (3.7)$

если начисление процентов производится по ставке " />
в течение t лет. Множитель " />
называется дисконтным множителем.

следует вложить 5 000 руб., чтобы через 2 года получить 7 000 руб.?

Решение. Применим формулу (3.2) при S=7000, P=5000, t=2 :

$7\,000=5\,000\times(1+r)^<2> .$

Преобразуем последнее равенство и определим из него значение r :

$(1+r)^<2> =1.4,\mbox < откуда\ \ >1+r=1.183;\ r=0.183=18.3\%$

Пример 38. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Через несколько лет на его счету была сумма, равная 29 386.56 руб. Сколько лет начислялись проценты

Решение. Преобразуем формулу (3.2) и получим формулу для t :

$t=\displaystyle\frac<\displaystyle\ln \frac<S_t> ><\ln (1+r)>\,.$

Используем эту формулу при S=29 386.56,P=20 000 и r=0.08 :

$t=\displaystyle\frac<\displaystyle\ln \frac<29\,386.56> ><\ln (1+0.08)>\,=\,5\mbox < лет.>$

3.3 Непрерывное начисление сложных процентов

Мы видели (пример 35), что сумма, наращенная за t лет при постоянной процентной ставке =j" />
, с увеличением числа m увеличивается (этот результат доказывается в общем виде в курсе высшей математики). При неограниченном увеличении m наращенная сумма стремится к конечному пределу:

$\lim_<m\to\infty> S_m=Pe^.$

$\delta$

Этот факт даёт основание применять так называемое непрерывное начисление процентов по годовой ставке . Наращенная за время t сумма определяется формулой:

$S=Pe^<\delta t> \,\,\, (3.8)$

Процентная ставка в этом случае называется силой роста. Иногда силу роста обозначают " />
. Значение для разных значений x можно вычислить с помощью финансового калькулятора или в Excel.

Из формулы (3.8) непосредственно следует формула дисконтирования капитала при непрерывном начислении процентов:

$P=Se^<-\delta t> \,\,\, (3.9)$

Заметим, что непрерывное начисление крайне редко используется на практике и широко используется в теории финансовых моделей.

Рассчет суммы наращения

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Сравнение графиков наращения при дискретном и непрерывном наращении

Примечание . График создан на основе идей из статьи Ступенчатый график .

Применение непрерывного начисления

Читайте также: