Математика в месопотамии кратко
Обновлено: 02.07.2024
Предисловие редакции: Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить довольно ясное представление о поразительных алгебраических и геометрических достижениях вавилонских учёных.
О времени и месте рождения математики мнения разнятся. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают создание её различным народам и приурочивают к разным эпохам. Единой точки зрения на этот счёт не было ещё у древних греков, среди которых особенно была распространена версия, что геометрию придумали египтяне, а арифметику – финикийские купцы, которые нуждались в подобных знаниях для торговых расчётов.
Евдем, ученик Аристотеля, как и большинство его предшественников, также считал родиной геометрии Египет, а причиной её появления – практические потребности землемерия. В своём совершенствовании геометрия проходит, по Евдему, три этапа: зарождение практических навыков землемерия, появление практически ориентированной прикладной дисциплины и превращение её в теоретическую науку. Судя по всему, два первых этапа Евдем относил к Египту, а третий – к греческой математике. Правда, он всё же признавал, что теория вычисления площадей возникла из решения квадратных уравнений, имевших вавилонское происхождение.
Математике учили в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний. Видимо, именно об этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих надписей, сообщая, что научился находить
Интересно, что в Вавилоне пользовались более обширной таблицей умножения – от 1 до 180 000, чем та, которую пришлось учить в школе нам, т.е. рассчитанная на числа от 1 до 100.
В Древней Месопотамии были созданы единообразные правила арифметических действий не только с целыми числами, но и с дробями, в искусстве оперирования которыми вавилоняне значительно превосходили египтян. В Египте, например, операции с дробями долгое время продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем, равным 1). Со времён шумеров в Месопотамии основной счётной единицей во всех хозяйственных делах было число 60, хотя была известна и десятеричная система счисления, которая была в ходу у аккадцев. Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел.
Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений – ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле – на табличках записаны только условия математических задач и их решение.
Школьник также должен был уметь вычислять коэффициенты, подсчитывать итоги, решать задачи по измерению углов, вычислению площадей и объёмов прямолинейных фигур – это был обычный набор для элементарной геометрии.
Один из клинописных текстов содержит 16 задач с решениями, которые относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Одна задача снабжена чертежом, относящимся к круговому валу, ещё одна рассматривает усечённый конус, определяя его объём умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований. Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора.
Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе.
Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.
Считается, что открытие одного из важнейших иррациональных чисел – числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру и равняющееся бесконечной дроби = 3,14…, принадлежит Пифагору. По другой версии, для числа π значение 3,14 впервые предложил Архимед на 300 лет позже, в 3 в. до н.э. Ещё по одной, первым вычислившим его был Омар Хайям, это вообще 11-12 в. н.э.. Достоверно известно лишь, что греческой буквой π это отношение впервые обозначил в 1706 г. английский математик Уильям Джонс, и лишь после того как в 1737 г. это обозначение позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым.
Число π – древнейшая математическая загадка, это открытие следует искать также в Древней Месопотамии. Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей. Исследователи считают, что шестидесятеричная система была выбрана в Древнем Вавилоне из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей. Шестидесятеричная запись целых чисел распространения за пределами Месопотамии не получила, но в Европе вплоть до 17 в. широко применялись и шестидесятеричные дроби, и привычное нам деление окружности на 360 градусов. Час и минуты, делящиеся на 60 частей, также берут начало в Вавилоне. Замечательна остроумная придумка вавилонян использовать для записи чисел минимальное количество цифровых знаков. Римлянам, например, даже в голову не пришло, что одной и той же цифрой можно обозначить разные величины! Для этого они использовали буквы своего алфавита. В итоге четырёхзначное число, к примеру, 2737 содержало аж одиннадцать букв: MMDCCXXXVII. И хотя и в наше время найдутся экстремалы-математики, которые сумеют разделить в столбик LXXVIII на CLXVI или перемножить CLIX на LXXIV, остаётся только пожалеть тех жителей Вечного города, которым приходилось производить при помощи подобной математической эквилибристики сложные календарные и астрономические расчёты или рассчитывались масштабные архитектурные проекты и различные инженерные объекты.
На использовании букв алфавита была основана и греческая система счисления. Вначале в Греции была принята аттическая система, использовавшая для обозначения единицы вертикальную черту, а для чисел 5, 10, 100, 1000, 10000 (по существу это была десятичная система) – начальные буквы их греческих названий. Позже, примерно в 3 в. до н.э., получила широкое распространение ионическая система счисления, в которой для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. А чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту.
В этом смысле вавилонская математическая наука стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежит одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен.
К слову, уступала вавилонской и современная ей египетская система счисления. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый символ – широкий клиновидный знак с остриём, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок). Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50.
Большинство современных историков считает, что древние научные познания носили чисто эмпирический характер. В отношении физики, химии, натурфилософии, в основе которых лежали наблюдения, вроде и верно. Но представления о чувственном опыте, как источнике знаний, сталкиваются с неразрешимым вопросом, когда речь идёт о такой абстрактной науке, как оперирующая символами математика.
Особенно значительными были достижения вавилонской математической астрономии. Но внезапный ли скачок поднял месопотамских математиков от уровня утилитарной практики до обширных познаний, позволяющих применять математические методы для предвычисления положений Солнца, Луны и планет, затмений и других небесных явлений, или развитие шло постепенно, мы, к сожалению, не знаем.
История математических знаний вообще выглядит странновато. Нам известно, как наши предки учились считать на пальцах рук и ног, делали примитивные числовые записи в виде зарубок на палке, узелков на верёвке или выложенных в ряд камешков. А далее – без всякого переходного звена – вдруг сведения о математических достижениях вавилонян, египтян, китайцев, индусов и других древних учёных, настолько солидных, что их математические методы выдерживали испытание временем вплоть до середины недавно закончившегося II тысячелетия, т. е. на протяжении более чем трёх тысяч лет…
Что скрыто между этими звеньями? Почему древние мудрецы, помимо практического значения, почитали математику как священное знание, а числам и геометрическим фигурам давали имена богов? Только ли за этим стоит трепетное отношение к Знанию, как таковому?
Возможно, придёт время, когда археологи найдут ответы на эти вопросы. А пока ждём, не будем забывать, что ещё 700 лет назад сказал оксвордец Томас Брадвардин:
Фотография аннотированного планшета YBC 7289. Числа, записанные в вавилонской системе, дают квадратный корень из 2 с четырьмя значащими шестидесятеричными цифрами или почти шестью десятичными цифрами :
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1,41421296 . (кредит: Билл Кассельман ).
В месопотамских математике математика практикуется народов древней Месопотамии (в Ираке сегодня) с времен шумеров до падения Вавилона в 539 г. до н.э. Ж.-К. . Хотя существует очень мало источников по математике в Древнем Египте , наши знания о вавилонской математике основаны примерно на 400 глиняных табличках, обнаруженных с 1850-х годов . Написанные клинописью , эти таблички были обработаны на еще влажной глине, затем обожжены в печи или высушены на солнце. Большинство дошедших до нас табличек датируются периодом с 1800-х гг. До н. Э. 1600 г. до н.э. Ж.-К. и имеют дело с дробями , алгебраическими уравнениями ( квадратными уравнениями и уравнениями третьей степени ), вычислениями гипотенузы и троек Пифагора и даже, возможно, некоторыми тригонометрическими линиями (см., в частности, табличку Плимптона 322 ). Планшет YBC 7289 обеспечивает приближение √ 2 с точностью до шести знаков после запятой.
Резюме
Нумерация
Затем записывается число 557, которое соответствует 9 шестидесяти и 17 единицам . После этого специалисты по вавилонской математике отметят это 9:17 (здесь мы находим обычное обозначение часов, так что 9 часов и 17 минут соответствуют 557 минутам).
Следует отметить, что вавилоняне точно так же записали числа, равные 60 раз. Таким образом, предыдущее обозначение также используется для записи 557 × 60, 557 / 60 или же 557 / 3600 .
Шумерская математика (3000-2300 до н.э.)
Первые следы математических сочинений восходят к древним шумерам , которые создали первую цивилизацию Месопотамии . Они разработали метрологию , разработанную с 3000 г. до н.э. Ж.-К. Из 2600 г. до н.э. Ж.-К. они составляют таблицы умножения на глиняных табличках и записывают геометрические задачи и задачи деления . Именно к этому периоду относятся первые свидетельства о вавилонской нумерации.
Математика в Древней Вавилонии (2000-1600 гг. До н.э.)
Арифметика
Конверсии
Одной из задач писцов было преобразовать числа, записанные с использованием различных метрологических систем, в научную шестидесятеричную систему счисления , чтобы иметь возможность выполнять вычисления. Для этого существует множество таблиц метрологических преобразований.
Сложение и вычитание
Сам факт проведения сложения или вычитания не представляет особой сложности.
Умножение
Умножение требует изучения таблиц, что составляет значительную часть обучения писцов. Вавилоняне широко использовали числовые таблицы для вычисления и решения арифметических задач . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году , датированы 2000 г. до н.э. Ж.-К. , представляют собой списки квадратов целых чисел до 59 и кубов до 32. Есть даже полдюжины таблиц, в которых перечислены первые 10 степеней некоторых целых чисел.
Глиняные таблички школ писцов не очень подробно описывают используемые методы расчета: в большинстве случаев результат умножения предоставляется без каких-либо следов вычислений. Поскольку найденные таблицы умножения не относятся к 59 цифрам шестидесятеричной системы, часто требовались промежуточные вычисления. Их отсутствие на полках говорит о наличии вспомогательного счетного прибора.
Разделение
Вавилоняне не создавали разделения. Для такого расчета они вернулись к продукту:
где 6:40, что означает 6 × 60 + 40, связано с 9, потому что 9 × (6 × 60 + 40) = 3600 = 60². Итак, 9 - это противоположность 6 × 60 + 40 в вавилонском смысле этого слова.
Для более сложных обратных чисел вавилоняне обращались к обратным таблицам. Итак, мы находим подробный метод, чтобы найти обратное 2:05: зная, что обратное 5 равно 12, мы знаем, что 2:05 × 12 = 25; следовательно, величина, обратная 2:05, является дробью 12 / 25 = 12 × 2:24 = 28:48. Некоторые планшеты, такие как CBS1215, используют методы факторизации, чтобы найти обратное значение комплексных регулярных чисел.
Напротив, обратные, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. Д. не имеют конечного представления в шестидесятеричном письме. Иногда в задачах планшета появляется деление на эти неправильные числа. Например, при делении на 13 писец замечает, что число 13 не имеет обратного, и задает себе вопрос: «В таком количестве, сколько раз 13? Поскольку эти задачи являются заранее подготовленными, в образовательных целях ответ в точной форме предоставляется без объяснения причин. Всего две таблички (M10 и YBC 10529) показывают примерные значения обратных знаков неправильных чисел.
Расчет процентов
Расчет сложных процентов используется для расчета времени, необходимого для удвоения капитала , но это требует решения экспоненциальных уравнений . Мы находим только приблизительное решение с помощью линейной интерполяции .
Алгебра
Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики также разработали алгоритмы для решения определенных алгебраических уравнений . Опять же, они использовали цифровые таблицы.
Чтобы решить квадратное уравнение , вавилоняне в основном привели себя к канонической форме
Икс 2 + б Икс знак равно против + bx = c>
где коэффициенты b и c не обязательно являются целыми числами, но где c всегда положительно. Они знали, что положительное решение (единственное, которое имело для них смысл) уравнения такого вида получается по формуле
и использовал таблицы квадратов, чтобы найти квадратные корни, входящие в эту формулу. Среди конкретных утверждений, которые можно свести к этому типу вычислений, было утверждение, в котором просили найти размеры прямоугольника, зная его поверхность и превышение его длины над его шириной.
Некоторые уравнения третьей степени могут быть решены с использованием таблиц n 3 + n 2 . Например, пусть уравнение
в Икс 3 + б Икс 2 знак равно против . + bx ^ = c.>
Умножив уравнение на a 2 и разделив его на b 3 , получим
Подставляя y = ax / b , это дает
уравнение, которое можно решить, обратившись к таблице n 3 + n 2, чтобы найти значение, ближайшее ко второму члену. Вавилоняне выполнили эти вычисления, не прибегая к алгебраическим операциям, что свидетельствует о замечательной способности к концентрации. Однако у них не было общего алгоритма решения какого-либо уравнения третьей степени .
Геометрия
Вавилоняне измеряли расстояния в вавилонской миле , что составляло около 10 км . Эта единица измерения имела почасовой эквивалент [Какой?] , Что позволяло переводить положение солнца на небе во время дня.
Тригонометрия
Если древние вавилоняне на протяжении веков знали о равенстве соотношений сторон одинаковых треугольников , то понятие угла им было чуждо: поэтому они ограничились рассмотрением длин сторон.
В вавилонские астрономы провели точную хронику восхода и захода из звезд , движение планет и затмениях Солнца и Луны, так как многие детали , которые берут на себя знакомство с расстояния угла , измеренного на небесной сфере .
Плимптон 322 таблетки , которая имеет таблицу чисел , расположенных в клинообразных 4 столбцов на 15 строк.
Вавилоняне , по всей видимости, были первыми , чтобы использовать тригонометрические линии , о чем свидетельствует таблица чисел на планшете в клинописи , то Плимптон 322 Tablet (около 1900 г. до н.э.), который можно интерпретировать как тригонометрические таблицы из секущих .
С повторным открытием вавилонской цивилизации оказалось, что греческие математики и астрономы классического и эллинистического периода , особенно Гиппарх Никейский , в значительной степени заимствовали у халдеев .
- 223 месяца ( синодический ) = 239 проходов в перигее ( аномальный месяц ) = 242 прохода по линии узлов ( драконитический месяц ). Этот период называется периодом сароса : он очень полезен для расчета периодов наступления затмений .
- 251 месяц ( синодический ) = 269 пассажей в перигее
- 5 458 месяцев ( синодический ) = 5 923 пересечения узловой линии
- 1 синодический месяц = 29; 31: 50: 08: 20 дней (в шестидесятеричной системе; 29,53059413… дней в десятичных числах = 29 дней 12 часов 44 мин 3⅓ с)
Вавилоняне выражали все периоды в синодических месяцах , вероятно, потому, что они использовали лунно-солнечный календарь . Выбор интервалов между периодическими небесными явлениями, происходящими в пространстве года, дал разные значения для продолжительности года.
Точно так же было известно несколько соотношений между периодами планет . Связи, которые Птолемей приписывает Гиппарху, уже использовались для предсказаний, найденных на вавилонских таблицах.
Как бы то ни было, перевод этих астрономических записей требовал глубоких знаний клинописи , языка и методов, поэтому вполне вероятно, что эта задача была поручена халдею, чье имя было, до нас не дошло. Фактически вавилоняне датировали свои наблюдения по своему лунно-солнечному календарю, в котором продолжительность месяцев и лет не фиксирована (29 или 30 дней для месяцев; 12 или 13 месяцев для лет). Более того, в то время они еще не использовали обычный календарь (основанный, например, на цикле, как цикл Метона ), а начинали месяц с каждого новолуния . Эта практика сделала утомительным вычисление времени, разделяющего два события.
Вот и другие следы вавилонских практик в творчестве Гиппарха:
Вавилонская и александрийская математика
Математика в Месопотамии после мусульманского завоевания
Примечания и ссылки
«Со времен Александра Великого, по крайней мере, до упадка классической цивилизации, несомненно, происходили интенсивные обмены между Грецией и Месопотамией, и кажется очевидным, что вавилонская арифметика и геометрическая алгебра продолжали оказывать значительное влияние на эллинистический мир. Таким образом, эта грань математики настолько ярко просвечивается в Героне Александрийском (чья вершина - около 100 г. н.э.), что мы можем считать его египтянином или финикийцем, а не греком. Сегодня считается, что Герон олицетворяет математику, которая всегда практиковалась в Греции, но не имела представителя среди великих деятелей, за исключением, возможно, Птолемея из Тетрабиблоса . "
ša3 niĝ2-kas7 nu-zu ša3 igi-ĝal2 tuku
Обладает ли мудростью душа, которая не овладела искусством счета?
Шумерская пословица,
Alster B. Proverbs of Ancient Sumer, 1997, 54, 116
Обычно, когда мы говорим о математике в древней Месопотамии, мы имеем в виду старовавилонский период (1800–1595) или вторую половину I тыс. до н. э. От этих периодов сохранилось множество табличек математического содержания, которые опубликованы и хорошо изучены. Но вообще-то математика в Месопотамии родилась раньше письменности. Более того, она послужила толчком для развития последней.
Сначала для учета продукции храмовых хозяйств использовались счетные фишки, изображавшие тот или иной вид продукта. К IV тыс. до н. э. вместо фишек стали использоваться глиняные таблички с их изображениями или рядами чисел. Уже первые таблички с расчетами количества зерна для пива или с вычислением площади поля демонстрируют нам, что жители Месопотамии неплохо разбирались в прикладной математике. Немногочисленные математические таблички, дошедшие до нас от III тыс. до н. э., показывают, что население Междуречья (сначала шумеры, позже — сменившие их аккадцы) умножали и делили, оперировали дробями, вычисляли площадь полей — в том числе полей нерегулярной формы, — а также объем стен и количество кирпичей, необходимое для их возведения.
Многие первые математические таблички, как, например, описанная во врезке, явно представляют собой упражнения, а не практические вычисления — они оперируют очень большими или очень малыми числами, описывают идеальную ситуацию, в них отсутствует маркеры хозяйственных документов. В III тыс. до н. э. в ходу было несколько разных систем счисления и разных систем мер и весов. Благодаря ряду бюрократических реформ к концу III тыс. — началу II тыс. до н. э. они были в значительной степени унифицированы. Шире всего стала применяться шестидесятеричная система счисления — появились первые таблицы с парами взаимно обратных чисел, произведение которых равно 60.
Надписи на глиняном цилиндре рассказывают о строительных операциях, в том числе о восстановлении храма бога Шамаша в Ларсе. Расчеты для строительства требовали хорошей математики
К старовавилонскому периоду все жанры математических текстов, а также круг решаемых задач (арифметических, алгебраических и геометрических) уже существовали. Но от этого времени, в отличие от предыдущего, до нас дошли тысячи табличек математического характера. Среди них таблицы на умножение, таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней, квадратов последовательных целых чисел, сумм кубов и квадратов и сотни словесных алгебраических и геометрических задач. Поэтому при описании месопотамской математики принято опираться именно на этот период.
На основе источников можно сделать вывод, что вавилоняне умели решать линейные и квадратные уравнения, системы линейных уравнений, использовали правила суммирования прогрессий, в задачах применяли пропорции, проценты; оперировали числом π, вычисляли площадь сегмента круга и объем усеченного конуса, площадь правильных многоугольников и неправильных четырехугольников; на практике применяли теорему Пифагора (без доказательства самой теоремы). Умели в древнем Вавилоне решать и некоторые более сложные уравнения, которые с помощью линейной замены переменной сводились к уравнению с целым корнем, который искали перебором.
Математике начинали обучать в старовавилонской школе сразу после того, как ученики осваивали основной репертуар клинописных знаков. Начинали с изучения прикладной метрологии и арифметики, потом переходили к словесным задачам по алгебре и геометрии.
Существует пример алгоритмического расчета роста поголовья скота на протяжении десяти лет (табличка TCL 2, 5499; CDLI: P131589): в начале дано 4 коровы и два разнополых теленка. Каждая вторая корова приносит каждый год по теленку. Каждый первый теленок — мужского пола, каждый второй — женского. На четвертый год каждый теленок становится быком или коровой. В течение года каждая корова приносит определенное количество сыворотки и сыра. Заданы также цены на сыворотку и сыр. В конце подсчитывается количество коров, быков и телят в стаде через десять лет; общее количество сыворотки и молока, полученных в течение десяти лет, и их стоимость в серебре.
Plimpton 322
Пожалуй, самым известным математическим текстом, написанным на глиняной табличке в старовавилонскую эпоху, является табличка Plimpton 322. Джордж Артур Плимптон, по имени которого она названа, был издателем учебной литературы в Нью-Йорке — и частным коллекционером. Он приобрел эту табличку около 1922 года за 10 долларов у американского дипломата и антиквара Эдварда Банкса, который в свободное от работы время занимался раскопками, а также покупал и перепродавал глиняные таблички (считается, что он был прототипом Индианы Джонса). В 1936 году Плимптон передал эту табличку в дар Колумбийскому университету, где она хранится и сейчас в библиотеке редких рукописей и манускриптов.
Судя по особенностям письма, табличка была написана в конце XIX или XVIII веке до н. э. и относится, следовательно, к старовавилонскому периоду. Э. Банкс утверждал, что табличка была найдена в руинах города Ларсы, расположенного в Южной Месопотамии. Действительно, своим горизонтальным форматом табличка напоминает административные документы из Ларсы, хотя этот формат и не свойственен другим математическим табличкам из этого города.
Считается, что примерно треть от первоначального размера таблички слева утрачена. Размеры сохранившейся части таблички составляют 13×9×2 см. Лицевая сторона таблички поделена на четыре колонки по пятнадцать строк каждая. Разделительные линии колонок продолжаются и на обратной стороне таблички, но текст на ней отсутствует. Над каждой из четырех колонок на лицевой стороне сделаны пояснения на аккадском языке с использованием шумерских логограмм.
Вавилонская табличка Plimpton 322. Найдена в Нижнем Междуречье, предположительно на месте древнего города Ларса
Первыми (в 1940-х годах) табличкой заинтересовались профессор Брауновского университета, математик и историк науки Отто Нейгебауэр и ассириолог Абрахам Закс (Abraham Sachs). Они интерпретировали табличку как запись пифагоровых чисел. Долгое время табличка считалась уникальной. Действительно, нам неизвестны другие подобные таблицы с пифагоровыми тройками. Но задачи на пифагоровы треугольники — обычное дело для старовавилонской школы. Так, Элеанора Робсон [6], специалист по месопотамской математике, изучала табличку Plimpton 322 в контексте других вавилонских математических табличек и показала их сходство. Кроме того, она попыталась реконструировать отсутствующую часть текста. По ней ( [6]: 116), в утерянной части таблички были записаны пары взаимно обратных чисел. Они были использованы для нахождения короткой стороны и гипотенузы прямоугольного треугольника с длинной стороной, равной единице, с помощью метода дополнения квадрата. Один из промежуточных результатов записан в первой сохранившейся колонке. Существуют и другие попытки как реконструкции, так и интерпретации таблички [5]. Хайосси в своей статье не только предлагает свою интерпретацию различных аспектов, связанных с этим текстом, но и кратко перечисляет теории других исследователей.
Литература для дополнительного чтения
1. Friberg, J. Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322. Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations // Historia Mathematica, 8 (1981), pp. 277–318.
2. Friberg, J. A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts: Manuscripts in the Schøyen Collection, Cuneiform Texts I, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin: Springer.
3. Proust, C. On the nature of the table Plimpton 322. Mathematisches Forschungsinstitut.
4. Oberwolfach, Oberwolfach Report 12/2011, pp. 664–666.
5. Robson, E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 // Historia Math., 28 (2001), pp. 167–206.
Продолжение. Начало тут:
1. Я всматриваюсь в вас, о числа - поэтическое вступление
2. Раз, два, три, четыре, пять. Как человек научился считать? - Возникновение счета в первобытном мире
Вавилонская клинописная табличка с математическим текстом
Геометрия в Месопотамии, как и в Египте, развивалась исходя из практических задач измерения земельных участков или емкостей сосудов, но, в отличие от Египта, более тяготела к алгебраическим принципам решения. Вавилонянам была известна теорема Пифагора и обратная к ней, они умели вычислять приближенное значение квадратного корня. Существует предположение, что решение таких отвлеченных, не связанные с практической деятельностью задачи, возникло в вавилонских школах писцов - готовясь у хозяйственной деятельности, они учились решать типовые задачи и в процессе обучения сами могли совершать математические открытия. По другой версии, математическими задачами занимались жрецы – для этого у них было достаточное количество знаний и свободного времени. Я думаю, эти версии не противоречат друг другу и вполне могут оказаться верными обе.
От этих индийских значков произошли современные цифры
Математика в девяти книгах (начало)
На этом с Древним Востоком всё. Ну а завтра ещё кое-что напишу по поводу математики))
Когда в течение последнего столетия ученые начали постигать письменную систему счета в древнем месопотамском мире двух последних тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Прежде всего, месопотамцы воспользовались уникальной системой, в основе которой было положено число 60. Во-вторых, они отличаются от других известных древних народов употреблением позиционной системы счета, как это делаем мы, для выражения чисел на письме. Были предложены самые разные объяснения этих двух странных черт. Некоторые думали, что они могли иметь какое-то отношение к шумерскому календарю; другие – что они были обязаны своему существованию удобству числа 60, такому богатому на делители; третьи – что они были порождены психологическими особенностями шумерского народа. Теперь мы, однако, знаем, что ответ лежит в развитии месопотамской письменности или, точнее, в зависимости письменности от счетоводства (ведь это факт, что первоначальным назначением письменности было счетоводство) и мы имеем дело со следствием тысячелетнего процесса.
Поскольку месопотамцы использовали для ведения счетов глиняные материалы, фактически неподвластные разрушению, мы можем прослеживать развитие письменности в Месопотамии (и в соседнем Сузи) еще в конце четвертого и в начале третьего тысячелетия. Сначала счетоводство проводили, пользуясь пустыми черепичными шарами с мелкими предметными знаками разных размеров и разной формы внутри них и отпечатками цилиндрических печатей на их поверхности. Форма и размер предметных знаков представляли объект и (или) применяемую единицу счета или меры. Отпечатки печати на внешней поверхности указывали то на владельца, то на участников заключенного соглашения, то на чиновника, осуществляющего контроль.
В течение следующих нескольких сотен лет эта система развилась дальше. Во-первых, перед тем, как прятать предметные знаки в шары, на ее поверхности стали делать их отпечатки; во-вторых, со временем отказались от самых предметных знаков, оставив только их отпечатки на поверхности теперь уже сплющенного шара или таблички; и наконец, для того, чтобы сделать отметки на поверхности, начали вместо предметных знаков пользоваться тростью.
Около 3200 года до нашей эры система письменности так развилась, что уже пользовалась целым набором знаков (примерно тридцатью числовыми и восьмисот нечисловыми) для обозначения предметов счета и географических названий и названий, связанных с официальной сферой жизни.
В Месопотамии этого периода (3200-2800 годы до н.э.) пользовались множеством способов или систем счета. Одна предназначалась для счета дискретных объектов и длины, другая – для измерения поверхностей, третья – для определения количества зерна (разбита на многочисленные подсистемы для разных сортов зерна!), третья – для мер времени. Таких метрологических систем насчитывалось, вероятно, целая дюжина.
Чтобы выразить число в любой из этих систем, применяли аддитивную технику; другими словами, числовой знак использовали столько раз, сколько было единиц, представленных этим знаком.
Именно поэтому эту малость знаков употребляли по-разному в разных системах: маленький кружок равнялся 10 маленьким зубцам в системе, предназначенной для мер дискретных объектов, 6 маленьких зубцов в системе, предназначенной для измерения объемов, и 18 в системе, предназначенной для измерений поверхности. “Числовые знаки”, следовательно, не означают действительной величины, а только ту, которой наделяет их система, где они выступают. К тому же соотношение между знаками, размещенными в последовательном порядке, – их “относительные величины”, – варьируются от одной системы к другой. Следовательно, нет общей идеи числа, есть только способы счета.
В течение 500 лет, начиная с 3200 до н.э., сфера использования текстов в Месопотамии остается очень узкой. Это преимущественно счет из чисел, заимствованных из разных метрологических систем и обогащенных знаками объектов, подлежащих этому счету, а также географических названий и титулов должностных лиц. Есть также мизерное количество школьных текстов, реестров знаков и слов, как числовых, так и нечисловых, которые молодой ученик писца должен изучать, чтобы овладеть своим ремеслом. Основополагающую роль в писарской науке играло постижение основ счетоводства. Мнение, что письменность может “уклониться” от счетоводства и использоваться для записи языка, – такая естественная в нашем восприятии роль, – вызревало очень медленно: на это ушло аж 500 лет.
Где-то около 2600 года до н.э. все более крепчавшие города-государства, образовывающие древний Шумер, достигли достаточных размеров и достаточного богатства для того, чтобы письменность, до сих пор сосредоточенная лишь в немногих местах, получила всеобщее распространение по всей южной Месопотамии.
Одной из реформ, проведенных в этот период консолидации, была реформа метрологических систем. Число таких систем сократилось от двенадцати до считанного количества: одна – мер дискретных объектов и мер длины, одна – площади и одна – мер объема. К этим трем присоединилась новая система: мер веса. Вместо того, чтобы создавать новые числа для определения величин этой системы, было решено пользоваться числами из системы, применяемой для измерения дискретных объектов, сопровождая те числа названиями единиц веса. Такая система оказалась чрезвычайно практичной – и названия единиц веса и их относительные величины были заимствованы метрологической системой мер поверхности и использовались в ней для определения малых площадей.
Эта идея – называть единицы – была одной из двух важнейших новаций тогдашнего периода, и сфера ее влияния не ограничивалась только системой веса. Даже крупные единицы длины или объема теперь получили себе названия. Писец нарисовал числовой знак + “бурь” для мер поверхности, а также числовой знак + “ниндан” для мер длины. Конечно, поскольку названия единиц писаны, сразу можно увидеть, приведенную разновидность мер. Месопотамские переписчики привели к все более широкому использованию эту новую систему.
Другое важное изменение в этот период связано с написанием цифр. Когда речь идет о площади, знак (А) заступает место прежнего (В), внешнее из двух концентрических кругов заменяется четырьмя перекрещенными клинообразном палочками. Это только один пример типичного в тот период все более широкого внедрения клинописи в письменной системе, включая числовые знаки. Искривленные резные линии древней формы письма, которые было нелегко оставлять на глине, все чаще заменялись быстрыми и простыми знаками, написанными тростью. Развитие письменной системы, смутно наблюдавшееся еще в предыдущий период, в этот период бурно прогрессировало, и на конец тысячелетия, по сути, вытеснило старые округлые числа.
Период с 2350 до 2200 г. до н.э. сказался образованием первой в Месопотамии великой империи аккадцев, говоривших семитским языком. Новая централизованная администрация Аккадской империи, в расцвете своего могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана и играла решающую роль в метрологии и письменности, она же ввела две новации.
Системы единиц, унаследованные от предыдущего периода, были рационализированы и отсортированы таким образом, чтобы они как-то соотносились между собой. Хотя сложность древних способов счета никогда не устранялась полностью, соотношение единиц тяготело к стабилизации вокруг постоянных величин. Кроме того, числовая система мер дискретных объектов теперь стала широко прикладываться к мерам, связанным с употреблением названий для различных единиц.
В то же время древние числа, такие как [С] и [Д] были заменены [Е] и [И7]. Долгое наступление клинописи не прекращалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью наиболее эффективно выполнять все большее число бюрократических задач в аккадской империи, было палкой о двух концах. Разумеется, новые клинообразные числа писать было проще и быстрее, чем старые округлые, но скорость обходится дорого. Разница между маленькой единицей и единицей в шестьдесят раз больше была совсем незначительной – она определялась немного большим размером “головки” на конце обычной вертикальной черты. Поскольку легко можно было перепутать, например, числа 61 и 2, когда быстро пишешь (и читаешь), возникала острая проблема двусмысленности. Решение этой проблемы, совершенное месопотамскими состояло как раз в том, чтобы ликвидировать такую двусмысленность, создав позиционную систему.
РОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧЕТА
После периода руины, вызванной падением аккадской империи, в Месопотамии снова было заложено централизованное государство; город государство Ур успешно основал новую империю, так называемую Третью династию Ур, или Ур III.
Среди более 100 000 текстов этого периода один оставил нам след технической и концептуальной революции; имевшей место во времена Ура III, и в предыдущую аккадскую эпоху. Этот текст со счетами, связанными с доставкой серебра, вполне обычный, за исключением одной детали: переписчик забыл стереть математические подсчеты, сделанные при составлении текста. Запись подсчетов показывает нам, что, по крайней мере, во времена Ура III, уже имела место позиционная система с положенным в ее основу числом 60. В первых четырех строках переписчик записал вес четырех отдельных партий серебра, прибегнув к традиционной шестидесятеричной системе счета. В такой системе каждое место представляет степень от 60, а числа на каждом из них образуют последовательный ряд от 1 до 59.
Для образования письменных знаков этих 59 цифр используются первые два знака теперь уже полностью клинописной системы мер дискретных объектов: клин для величины 10 и палочка для 1. Пустое пространство, появляющееся в числе, служит как месопотамский “ноль”. В последней строке писец переводит сумму четырех записей в традиционную систему мер веса.
Как видно из этого примера, вышеупомянутая двусмысленность чисел 61 и 2 легко устраняется, когда перейти на такую систему. Нет больше никакой разницы в написании знаков, образующих, скажем, числа 11 и 61. Оба числа дважды пользуются тем же знаком. Разница между числами передается исключительно пробелом между ними, то есть предоставлением значения тому, как размещены два знака друг относительно друга. Так в месопотамской математике родилась позиционная система. Система эта была шестидесятеричная; месопотамцы предпочли именно ей из всех, что имели к своим услугам.
Поэтому к месопотамской шестидесятеричной позиционной системе вела не психологическая особенность шумерцев с аккадцами, не мистический и религиозный ритуал и не осложненный математический критерий делимости. Это скорее два одновременных процесса, подталкиваемые экономическими и социальными потребностями все более централизованного государства, функционировавшего в течение тысячелетнего периода – рост доверия к числам, заимствованным из простой метрологической системы и все большее расширение сферы применения клинописи и неизбежный риск двусмысленности в написании цифр, – взаимодействуя, создали разновидность числовой системы, которой суждено было жить в Месопотамии в течение следующих 2000 лет. Как мы видели, то все большее доминирование одной специфической метрологической системы с ее специфическим выбором относительных величин, дало жизнь числовой системе, в основе которой лежит число 60, и это расширение сферы применения клинописи породило позиционную систему счета.
В этом, пожалуй, самое важное неожиданное последствие этих двух процессов. Те же числовые знаки могли использоваться – и использовались – для написания цифр в вычислениях всех метрологических систем. Эта новая система не была привязана к одному традиционному способу счета; числа приобрели способность “свободно плавать” и разрыв между числом и мерой стал полнейшим. Конец третьего тысячелетия до н.э. стал свидетелем рождения концепции числа, отвлеченного от любой отдельной единицы.
Автор: Джеймс Риттер.
P. S. Старинные летописи рассказывают: А вообще развитие математического мышления помимо всего прочего повышает способности человека к изучению иностранных языков, даже если вы собрались английский язык в Химках изучать, склонность к математике сможет вам в этом помочь.
Читайте также: