Математика в древней индии кратко

Обновлено: 07.07.2024

Первые индийские математические тексты относятся к VII-V вв. до н.э. ,крупнейшие индийские математики V-XII вв.н.э. – Ариабхата (V-VI вв), Врахмагупта(VIIв)., Бхаскара(XIIв). Уже с первых веков нашей эры прослеживается связь математики Индии с математикой Китая. Она особенно усиливается в период распространения буддизма. В это время индийская математика распространяется на территории стран ислама.

Работа содержит 1 файл

история математики индия.docx

Важнейшими достижениями индийской математики являются создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригонометрии, создание развитой алгебраической символики.

В наше время многие открытия тех веков получили наивысшее признание. Многие школьные пособия полностью строятся на основании тех знаний, которые были выявлены тогда.

Сама по себе история индийской математики очень интересна и захватывающая. Так как в расцвет науки параллельно шли различные войны и сражения, но ученых того времени ничего не останавливало и они навсегда запечатлели свои фамилии в истории науки всего мира.

История появления в Индии математики.

В V в. до н. э. в Индии возникает новая религия —буддизм, отражавшая недовольство угнетенных слоев. Не позже IX в. до н. э. была установлена связь Индии с Вавилоном. Долгое время идет борьба за власть. Не смотря ни на что, люди ученые пытаются делать научные открытия, писать книги, выводить различные предположения в разных областях.

В VIII в. многовековая борьба между буддизмом и древней индийской религией заканчивается победой последней. Буддисты изгоняются из Индии и уходят в другие страны.

В это же время Северная Индия подвергается нападениям мусульманских завоевателей. В XI в. Северную Индию захватывает Махмуд Газневи.

После опустошительных войн в Северной Индии центр науки и культуры переносится в Южную Индию. Здесь работают математики и астрономы Магавира (IX в.), Шридхара (IX—X вв.), Бхаскара (XII в.), На-райана (XIV в.), Нилаканта (XV—XVI вв.).

Последним ярким событием научной жизни Индии перед ее завоеванием европейцами была деятельность правителя Раджпутаны (ныне Раджастан) Савай Джай Сингха (1686—1743), основавшего несколько астрономических обсерваторий в Северной и Центральной Индии и составившего астрономические таблицы.

Следует отметить, что первые три знака в обеих нумерациях совпадают с китайскими; встречалась в Китае и четверка в виде креста. Важным отличием цифр брахми от карошти было (как и в китайских цифрах) наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков.

Сказал Алхоризми: ''Когда увидел я, что индийцы составляли из 9 букв любое свое число, благодаря расположению, какое они установили, я пожелал раскрыть, если будет угодно Богу, что получается из этих букв для облегчения изучающему.''

Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

Но в это же время на судьбу нумерации значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г., в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270. Одни исследователи (Г. Фрейденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву о в шестидесятеричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. В Vb. в Индии появилась переводная греческая астрономическая литература. Освоение ее индийцами, возможно, повлияло и на перемену порядка следования цифр (от старших к младшим, как это было у вавилонян и греков) и на запись дробей, аналогичную их записи в эллинистическом Египте.

Другие (Дж. Иидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686 гг. в нынешних Камбодже и Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Те же доводы, что и у Фрейденталя (порядок следования разрядов, запись дробей, переводная литература), могут быть приведены в пользу не греческого, а китайского происхождения нуля.

Первым свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: ''Я не стану касаться науки индийцев. их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков''.

Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, . 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе —''индийским счетом'' (хисаб ал-Хинд).

Индийские цифры в западноевропейских странах.

С течением времени, так сложилось, у арабов образовались две системы цифр: у западных арабов, культурным центром которых был испанский город Кордова, цифры гобар или пылевые цифры; у восточных арабов, столицей которых являлся город Багдад на реке Тигре (в нынешнем Ираке, вблизи древнего Вавилона), развилась своя цифровая система, близкая к индийской.

Цифровая система западных арабов через университеты и обширные библиотеки в Кордове, Толедо и других испанских городах оказала на развитие арифметической культуры у западноевропейских народов больше влияния, чем восточноарабская нумерация. Западноарабская система письменной нумерации, опиравшаяся на употребление абака, долго обходилась без знака 0. По всей вероятности, от западноарабских цифр возникли апексы Герберта, названия которых: 1—igin, 2— andras, 3—ormis и т. д. — не нашли до сих пор удовлетворительного разъяснения. Немецкий востоковед Руска считает их результатом многократного искажения арабских корней, а профессор Н. М. Бубнов— происшедшими из языка некоего уралоалтайского народа, пришедшего в глубоком прошлом через Кавказ в междуречье Евфрата и Тигра.

В мусульманские университеты Испании проникали сначала единицы, а с XII в. всё большее число студентов евреев и христиан. Они знакомились с существовавшими там арабскими руководствами и составляли по ним и под их влиянием свои, а также переводили арабские руководства на латинский язык.

Крупнейшим переводчиком в XII в. был Герард из Кремоны (Италия). Он 50 лет своей жизни посвятил переводам с арабского на латинский трудов по математике и астрономии, среди которых была алгебра ал-Хорезми.В то же время были сделаны два перевода на латинский язык арифметики ал-Хорезми столь же известными в истории европейской математики переводчиками Аделардом из Бата (Англия) и Иоанном Луна, или Иоанном Севельским (Испания).

Из этих переводов и из переведённых на латинский язык других арабских руководств европейские учёные круги, соприкасавшиеся с мусульманскими научными центрами в Испании, знакомились с индийской математикой.

Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр (которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни), заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Содержание

Древнейший период

Развитие индийской математики началось, вероятно, достаточно давно, но документальные сведения о начальном её периоде практически отсутствуют. Среди наиболее древних из сохранившихся индийских текстов, содержащих математические сведения, выделяется серия религиозно-философских книг Шульба-сутры (дополнение к Ведам). Эти сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые старые редакции этих книг относятся к VI веку до н. э., позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским [1] :

Нумерация

Около 500 г. н. э. неизвестные нам индийские учёные в Индии изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как у вавилонян.

В VII веке сведения об этом замечательном изобретении дошли до христианского епископа Сирии Севера Себохта, который писал [4] :

Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков.

Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков). Действия с дробями ничем не отличались от современных.

Математики средневековой Индии

Ряд открытий был сделан в области решения неопределённых уравнений в натуральных числах. Вершиной стало решение в общем виде уравнения . В 1769 г. индийский метод переоткрыл Лагранж.

В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся на арабский. Десятичная система проникает в страны ислама, а через них, со временем — и в Европу.

$\pi\,$

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа .

От математиков Древней Индии мы унаследовали не только цифры от 0 до 9, но и первую в мире десятичную позиционную систему счисления. Она значительно упростила арифметические и алгебраические вычисления и повлияла на развитие математики во всем мире. Skyeng Math рассказывает, как устроена десятичная система, как она появилась, развивалась и стала общеупотребимой.

Как считали древние цивилизации

Математика начиналась с прикладных задач: сосчитать предметы, определить площадь земли, вести учет деньгам. Чем сложнее становились вычисления, тем дальше математики древности уходили от утилитарного к сакральному — размышлениям о природе чисел. Между религией и наукой не было такого четкого противопоставления, как сейчас, — наоборот, они тесно переплетались, обогащая друг друга. Так и в Индии первые упоминания чисел встречаются в комментариях к Ведам. Это были числа от 1 до 9, записанные буквами санскрита. Самый древний текст датируется VI веком до н. э., однако эти комментарии многократно переписывались и дополнялись.

Цивилизации древнего мира накапливали математические знания одновременно друг с другом — достижения Индии ничуть не уступали египетским, греческим или китайским. В сиддхаантах — ранних научных трактатах — уже были описаны дроби и рациональные числа, методы извлечения корней и решения неопределенных уравнений. Примерно в 500-х годах нашей эры индийские математики начали записывать числа в десятичной позиционной системе — более простой и удобной, чем греческие буквенная или вавилонская шестидесятеричная. Ее позднее дополнил Арьябхата, выдающийся индийский математик и астроном: добавил к основным арифметическим операциям правила извлечения корней, решения уравнений, вычисления сложных процентов.

В чем особенность десятичной позиционной системы счисления?

В десятичной системе мы считаем разрядами: десятками, сотнями и так далее. Это значительно упрощает расчеты в уме и на письме: когда числа обозначались разными знаками, математикам составляли таблицы сложения и вычитания, потому что запомнить числа и найти сумму или разность было очень сложно. А при использовании десятичной системы любой человек может использовать простейший калькулятор — собственные ладони: к примеру, загнуть количество пальцев по числу десятков на левой руке и по числу единиц — на правой.

Древнейшая десятичная система появилась уже в Египте, но египетские математики записывали числа как суммы разрядов: единиц, десятков, сотен. Сумма обозначалась не через знак сложения, как мы привыкли, а через перечисление знаков разрядов. Это называется непозиционной системой счисления.

В отличие от нее, в позиционной системе количество разрядов определяется через позицию цифры в числе. В зависимости от того, на каком месте стоит цифра, мы понимаем, сколько в нем десятков, сотен. Позиционная система компактна: для записи числа 2 934 нам понадобится только 4 знака, а не 18.

От эллинов к европейцам: как индийские цифры стали арабскими

На смену эпохе эллинизма пришел сперва расцвет, а затем и падение Римской империи — и европейские государства унаследовали часть ее культуры, в том числе непозиционную систему счисления с римскими цифрами. Индию в это время постепенно подчинили себе мусульмане — тюрки и арабы. Исламский период в истории Индии продлился вплоть до европейской колонизации и частично совпал с ней.

В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, – пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они обогнали даже древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, – на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.

Генеалогия современных цифр.

Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и обьясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.

Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.

Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей.

В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c.

Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах.

Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук - это "Сиддханты", часть которых, "Сурья", дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, там обнаружены эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе "Алмагеста". Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, "Сиддханты" содержат многочисленные типично индийские особенности. "Сурья Сидд-ханта" содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.

Результаты, изложенные в "Сиддхантах", систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия) . Известны имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны в английских переводах.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный "первым", около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, можно только предполагать, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.

Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения "Маха-Бхаскария", содержащего математические разделы

За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметико-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для π значение 3,1416.

Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). Известны также трактаты Шридхары (IX - X вв.), Ариабхаты II (около950г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, жил и работал другой выдающийся математик, Бхаскара П.

Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах + bу = с (а, b, с - целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 - 45х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = -5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его "Лилавати" в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.

В древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори-Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).

И ндия имеет большую и богатую самобытную культуру, начало которой уходит в седую древность. Много тысяч лет тому наза, еще до нашей эры, в Индии городские водосточные системы и оросительные каналы, строились многоэтажные здания из хорошо обожженного кирпича. В далеком прошлом индийцы владели искусством керамического производства (производство изделий обожженной глины), умело пользовались гончарным кругом, успешно развивали ювелирное дело (изготовление изделий из драгоценных камней и металлов).

Еще в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук.

Наибольших успехов Индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греков.

Наиболее известными индийскими математиками являются Ариабхата (конец 1 века) , Брахмагупта (7 век) и Бхаскара (12 век).

Заметим, что все указания и решения к индийским задачам даются сейчас в современной символике.

Задачи древней Индии:

1) Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого. Третий дал втрое больше первого, четвертый в четверо больше первого, а все вместе они дали 132 монеты. Сколько монет дал первый.

Эта задача взята из бахшалийской рукописи, найденной в 1881 году при раскопках в Бахшали в северо-западной Индии. Рукопись выполнена на березовой коре и относиться к 3-му или 4-му веку нашей эры. Ученые-математики установили, что эта рукопись является неполной копией боле древних математических рукописей.

2) Пятая часть пчелиного роя села на цветок кадамба, Треть — на цветокх силиндха. Утроенная разность последних двух чисел пчел направилась к цветам кутая и осталась еще одна маленькая пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандуса. Спрашивается, сколько всего пчел.

3) Два светила находятся на данном расстоянии (d) друг от друга, движутся одно к другому с данными скоростями и . Определить точку их встречи.

Подборка задач и оформление:
Колпаков Александр, репетитор по математике.

Александр. Спасибо огромное за интересную статью по истории математики.
Все очень понятно, доступно. Мы с сыном, учащимся 6 класса готовим презентацию на эту тему.
Очень Вам благодарны!

Читайте также: