Математические модели принятия решений кратко

Обновлено: 05.07.2024

Развитие математического моделирования. Эта область научно-практической деятельности получила мощный стимул к развитию во время и сразу после второй мировой войны в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами "кибернетика", "исследование операций", а позже - "системный анализ", "информатика".

Впрочем, имелись и вполне практические задачи. Одна из них - контроль качества боеприпасов, вышедшая на первый план именно в годы второй мировой войны. Модели и основанные на них методы статистического контроля качества приносят (по западной оценке, и по нашему мнению, основанному на опыте СССР и России, в частности, на анализе организационно-экономических результатов работы служб технического контроля на промышленных предприятиях) наибольший экономический эффект среди всех экономико-математических методов и моделей принятия решений. Только дополнительный доход от их применения в промышленности США оценивается как 0,8 % валового национального продукта США, т.е. 24 миллиарда долларов (в ценах 2004 г.).

Для ориентации в практически необозримом море математических моделей экономических явлений и процессов (короче: экономико-математических моделей), необходима их классификация. Первым основанием для классификации служит отношение к практической деятельности. Экономико-математические модели делятся на:

ориентированные на практическое использование (примерами служат модели статистического контроля, с помощью которых принимается решение о приемке или забраковании партии конкретной продукции),
модели, которые пригодны для теоретических рассуждений, однако в практике их использовать невозможно.

Экономико-математическое моделирование. Отметим большое практическое значение моделей логистики или, в другой терминологии, управления запасами. В последние годы интерес вызывает моделирование финансового рынка.

Важная проблема - учет неопределенности. Основное место она занимает в вероятностно-статистических моделях экономических и социально-экономических явлений и процессов. Проблемы устойчивости (к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели) для социально-экономических моделей рассматриваются в.

Имитационное моделирование. Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: "Что будет, если. ", "любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность".) Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ экономического явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель. Напомним, что имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит, как правило, из следующих 6 этапов:

формулировка задачи,
построение математической модели,
составление программы для ЭВМ,
оценка пригодности модели,
планирование эксперимента,
обработка результатов эксперимента.

Имитационное моделирование ( simulation modelling ) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике. Наиболее перспективным представляется синтез экспертных оценок и математических моделей, впервые осуществленный в нашей стране еще в 70-е годы.

Экономико-математические модели. При построении, изучении и применении процедур принятия решений используются различные математические модели, именуемые в данном контексте экономико-математическими (хотя они, как правило, могут с успехом использоваться вне экономики, как, в частности, эконометрические методы анализа эмпирических экономических данных). Экономико-математические модели можно разделить на несколько групп:

модели оптимизации ,
модели, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические,
имитационные модели,
модели, предназначенные для анализа конфликтных ситуаций (модели теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы.

Рассмотрим перечисленные группы моделей по отдельности.

Модели оптимизации. Со времен классических работ нобелевского лауреата по экономике академика АН СССР Л.В.Канторовича один из основных классов экономико-математических моделей - это модели оптимизации . Оптимальному управлению на основе экономико-математических моделей посвящена обширная литература, в ней используются такие термины, как оптимальное программирование и оптимальное планирование. В случае одного критерия принципиальных сложностей нет - применяют диалоговые компьютерные системы. Сложные проблемы - это выбор целевых функций, оценка устойчивости свойств оптимальности, многокритериальность. Для построения моделей с целью принятия решений используют теорию полезности.

Вероятностно-статистические модели. Исходная научная база таких моделей - теория вероятностей и математическая статистика. Выделяют как самостоятельное направление прикладную статистику. Она включает в себя прикладную математическую статистику, ее программное обеспечение и методы сбора статистических данных и интерпретации результатов расчетов. Только первая из этих трех областей одновременно входит и в математическую статистику. Последняя включает в себя, кроме прикладной математической статистики, также чисто математическую область, в которой статистические структуры рассматриваются как математические объекты. Они изучаются внутриматематическими методами. Эту область научных исследований в ряде публикаций называют "аналитической статистикой". Таким образом, математическая статистика состоит из прикладной математической статистики, ориентированной на практическое применение, и ветви чистой математики под названием "аналитическая статистика", полезность которой для применений не подтверждена. Можно всю жизнь доказывать теоремы в аналитической статистике, ни разу не обработав реальные данные и даже не думая об этом. В настоящее время аналитическая статистика постепенно вытесняет прикладную математическую статистику из научных журналов и учебных курсов. Так, в основном в России журнале по теории вероятностей и математической статистике "Теория вероятностей и ее применения" уже почти не встретишь статей, имеющих отношение к работе с реальными данными.

Статистические методы активно применяются в различных областях экономики, причем в России - уже более 150 лет. Как известно, эконометрика (или эконометрия) - это статистические методы анализа эмпирических экономических данных. Однако в ХХ в. этот термин употреблялся в нашей стране почти исключительно в переводной литературе.

Выполнены многочисленные исследования по различным конкретным разделам прикладной статистики и эконометрики:

по регрессионному анализу (методам восстановления зависимости и построения моделей, прежде всего линейных);
по планированию эксперимента;
по методам классификации (дискриминантного анализа, кластер-анализа, автоматической классификации, распознавания образов, систематики и типологии, теории группировок);
по многомерному статистическому анализу экономической информации;
по методам анализа и прогнозирования временных рядов;
по теории робастности ( robustness ), т.е. устойчивости статистических процедур к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели,
по использованию различных индексов, в частности, индекса инфляции.

Основной журнал в России, в котором публикуются исследования по прикладной статистике и, особенно, по планированию эксперимента, - это "Заводская лаборатория" (раздел "Математические методы исследования").

Теория конфликтных ситуаций (теория игр). Теория игр (более подходящее название - теория конфликта, или теория конфликтных ситуаций) зародилась как теория рационального поведения двух игроков с противоположными интересами. Она наиболее проста, когда каждый из них стремится минимизировать свой средний проигрыш, т.е. максимизировать свой средний выигрыш. Отсюда ясно, что теория игр склонна излишне упрощать реальное поведение в ситуации конфликта. Интересы реальных экономических агентов не всегда являются антагонистическими. Участники конфликта могут оценивать свой риск по иным критериям. В случае нескольких игроков возможны коалиции. Большое значение имеет устойчивость точек равновесия и коалиций.

В экономике еще 150 лет назад теория дуополии (конкуренции двух фирм) О.Курно была развита на основе соображений, которые мы сейчас относим к теории игр. Новый толчок дан классической монографией Дж. фон Неймана и О. Моргенштейна, вышедшей вскоре после второй мировой войны. В учебниках по экономике обычно разбирается "дилемма заключенного" и точка равновесия по Нэшу (ему присуждена Нобелевская премия по экономике за 1994 г.).

По теории игр имеется обширная литература, часть из которой непосредственно адресована экономистам. Однако в практической работе теория игр почти не используется. Если же это происходит, то она обычно выступает как часть более широкого подхода, ассоциированного с терминами "принятие решений", "конфликтная ситуация".

Критика математической экономики. Второе из указанных выше направлений экономико-математического моделирования, т.е. посвященное моделям, которые непосредственно использовать в практической работе невозможно, обычно связывается с термином "математическая экономика". О нем акад. РАН Н.Н. Моисеев писал:

". Имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей - доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех или иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т.д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали и помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими. В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями. ".

Математические модели реальных экономических явлений и процессов, разумеется, полезны и необходимы для успешной работы менеджеров, экономистов и инженеров, как на предприятиях, так и на государственной службе. Но нужны только те математические результаты, которые помогают экономисту в работе, в частности, методы теории принятия решений, эконометрики, прикладной математической статистики, экспертных оценок.

Нельзя не согласиться с тем очевидным утверждением, что некоторые теоретические работы, которые в настоящее время не удается связать с практикой, в будущем могут оказаться полезными для решения реальных задач. Лучший пример - история ядерной физики. Однако нельзя одновременно не указать на многочисленные монографии и сборники статей, в которых чисто математические рассуждения даны "под экономическим соусом".

Проверки практикой некоторые экономико-математические модели не выдерживают. В качестве примера рассмотрим модель поведения потребителей, которую обычно включают в учебники по микроэкономике. В ней потребитель предполагается совершенно рациональным, точно знающим, что он хочет максимизировать (т.е. знающим свою функцию полезности), а также полностью игнорирующим всех остальных потребителей, т.е. действующим совершенно самостоятельно. Общество состоит из эгоистичных индивидуумов-атомов, отстаивающих только свои интересы, т.е. живущих по принципу "человек человеку - волк". Законы правового государства удерживают такое общество от самоуничтожения.

Возможно, такая экономико-математическая модель годится для части жителей западных стран, прежде всего США. Бесспорно совершенно, что она не годится для нас, для русских. Мы плохо знаем, что нам нужно, действуем под влиянием друзей, общественного мнения, моды, привыкли жить в коллективе, общине, семье, говорим о соборности, игнорируем экономические стимулы. Несмотря на снижение реальных доходов в несколько раз, пока нет бунтов. Хотя значительная часть предприятий стоит, работники не уходят, а менеджеры (директора) их не увольняют. Сейчас зарплата профессора сравнима с зарплатой уборщицы в метро и в несколько раз меньше дохода продавца коммерческого киоска. Но, вопреки монетаристским экономическим теориям, профессора не рвутся в продавцы. И рабочие зачастую выпускают продукцию, не получая зарплату. И потому Россия жива. Западные экономические теории не годятся не только для России. Они не подходят для исламских стран, для Индии и Китая, и т.д.

Нобелевская премия по экономике за 2002 год была присуждена В. Смиту и Д. Кингману за экспериментальное изучение поведения потребителей. Установлено, что лица, чье потребительское поведение может быть описано функцией полезности, реально составляют очень незначительную часть человеческих популяций. Остальные (в части экономики) действуют преимущественно иррационально, точнее, их действия являются рациональными на другом (более высоком) уровне. Подавляющая часть людей вполне осознанно может пойти на ограничение личных потребностей ради общественного блага.

Итак, работы В.Смита и Д.Кингмана показывают, что рассматриваемая микроэкономическая теория поведения потребителей не соответствует реальности.

Другой пример относится к прикладной статистике. Установлено, что распределения результатов реальных измерений (наблюдений, испытаний, опытов), как правило, не являются нормальными. Поэтому любые вероятностно-статистические модели, опирающиеся на гипотезу нормальности, не могут быть адекватны реальности.

В некоторых публикациях с помощью экономико-математических моделей сознательно вводят читателей в заблуждение. В качестве примера возьмем учебник Р. Лэйарда. В нем "доказывается", что "инфляционный налог" равен дефициту бюджета. Отсюда рекомендация - для снижения инфляции необходимо ограничивать поступление новых денежных масс в оборот (например, не выдавать зарплату). Однако это утверждение выводится в предположении, что суммарный выпуск постоянен, чего не было у нас - до 1997 г. объем производства монотонно падал. При этом Р. Лэйарда отнюдь не смущает, что в другой главе, говоря о "мультипликаторе Кейнса", он рекомендует увеличивать государственные расходы в период спада производства. Принципиально ошибочно рассмотрение Р. Лэйардом спирали "заработная плата - цены", основанное на математической ошибке (функция принимается за константу). Но вывод-то каков: чтобы снизить инфляцию, надо, якобы, увеличить безработицу!

Необходимо отметить, что название "Математическая экономика" носят и многие публикации, лишенные указанных выше недостатков, например, отличный учебник К. Ланкастера.

Методологический анализ - первый этап моделирования задач принятия решений, да и вообще любого исследования. Он определяет исходные постановки для теоретической проработки, а потому во многом и успех всего исследования.

Подчеркнем, что анализ динамики развития методов моделирования позволяет выделить наиболее перспективные методы. В частности, для целей вероятностно-статистического моделирования наиболее перспективными оказались подходы нечисловой статистики.

В теории принятия решений наиболее применяемы следующие типы моделей:

– теоретические модели, опирающиеся на какую-то теорию (экономические, вероятностные, теоретико-игровые, модели исследования операций и другие);

– словесные (вербальные) модели типа сценария развития ситуаций;

– математические (алгоритмические) модели, которые в настоящее время являются основой для компьютерного моделирования и с помощью которых могут быть воплощены модели первого и второго типа.

Поэтому остановимся именно на этих моделях.

Согласно приведенному выше определению Н.Н. Моисеева построение математической модели обеспечивает существенное сжатие информации, но при этом какие-то грани изучаемого процесса отбрасываются как несущественные, а другие — как бы проявляются. Важно только уметь выявлять именно значимую информацию. В этом состоит одна из основных сложностей процесса моделирования.

Появление компьютеров сделало возможным использование математических моделей для решений проблемных задач. А разработка вычислительных методов теории принятия решений[31] стала основой для их реализации. В этом направлении было проведено много исследований. Группой специалистов под руководством академика Н.Н. Моисеева еще в 70-е гг. прошлого столетия, на базе вычислительного центра Академии Наук была разработана и реализована имитационная модель оценки последствий ядерной войны[32]. Полученные с использованием этой модели результаты потрясли всю научную общественность и политиков, заставив их задуматься о последствиях принимаемых ими решений. На основе другой известной модели Дж. Форрестора и Д. Медоуза, имитирующей мировую динамику, были сделаны выводы о кризисных ситуациях, которые ожидают мир в конце XX века. Работы Дж. Форрестора и Д. Медоуза оказались важны также тем, что привлекли общественное внимание к опасным процессам, происходящим в окружающем нас мире и к взаимосвязанности этих процессов[33].

Моделирование процесса принятия решения позволяет придать ему качественно новый уровень и внедрить компьютерные технологии в практику принятия решений. Применение моделей процесса принятия решений позволяет ЛПР проверить интуитивные соображения при принятии решений, обеспечить системность, адекватность, непротиворечивость, надежность и оптимальность решений. С другой стороны, модель позволяет ЛПР более полно реализовать знания, опыт и интуицию.

Конечно, надо понимать, что модель помогает найти рациональное решения только для модельного варианта, который, как правило, является упрощением реальной ситуации. Варианты решений, которые могут быть получены с помощью компьютерной модели, могут носить лишь рекомендательный характер, но именно модель способствует выработке реального решения. Если в процессе окончательного выбора решения обнаруживаются дополнительные факторы, влияющие на результат, то их проверяют на модели или корректируют модель надлежащим образом для учета этих факторов.

При принятии важных и ответственных решений целесообразно независимо применять несколько типов моделей, описывающих реальную ситуацию с разных точек зрения. Например, использование методов количественного прогноза должно быть дополнено методами экспертного прогнозирования. Разные модели позволяют повысить надежность получаемых с их помощью рекомендаций. Для сложного решения можно создать комплекс моделей, описывающих различные аспекты решения. На завершающем этапе принятия решения существенное влияние оказывает личность принимающего решение, его или их решительность, дальновидность, мастерство и искусство реализации решения.

Наибольший эффект при принятии ответственных решений дает интеграция знаний, опыта, интуиции и современных компьютерных технологий принятия решений.

Применение компьютерных моделей, основу которых составляют именно математические модели, предполагает создание базы данных для повторяющихся и типовых решений. Такие модели позволяют быстро и многократно варьировать условия принятия решения и проверять рекомендованные результаты. Иначе говоря, компьютерная модель решения позволяет довольно просто экспериментировать с моделью, применяемыми методами и процедурами решения и проверять запланированные результаты.

Наряду с требованиями соответствия модели объекту управления важно также, чтобы модель соответствовала профессиональным навыкам, системе ценностей и предпочтений ЛПР и обеспечивала определенный уровень доверия к результатам моделирования.

Качество модели определяется, с одной стороны, тем, насколько полно и точно удается отразить основные свойства ситуации, а с другой стороны, тем, насколько удобно можно работать, экспериментировать с моделью и получать результаты, вызывающие доверие. Последнее свойство модели требует адекватного анализа и соответствующего упрощения ситуации.

Анализ ситуации может приводить к необходимости использования вероятностной или детерминированной модели решения. Вероятностные модели учитывают возможное вероятностное распределение событий и условий, определяющих решения. Детерминированные модели, фиксирующие вероятность события и условия решений, позволяют учесть другие характеристики и элементы задачи принятия решения, недоступные вероятностным моделям решения. Поэтому важно для исследователя применять разные типы моделей. Следует учитывать тот факт, что как бы ни была хороша разработанная модель, она никогда не может учесть абсолютно все события и условия реальной ситуации принятия решения.

Моделирование состоит из двух взаимосвязанных этапов: формулирования модели и ее изучения. Методологической основой разработки и исследования моделей является системный анализ.

В теории принятия решений наиболее применяемы следующие типы моделей:

– словесные (вербальные) модели типа сценария развития ситуаций;

Поэтому остановимся именно на этих моделях.

Читайте также: