Луч и угол 7 класс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Пусть $a$ – некоторая прямая. Начертите её произвольно.

Пусть $A$ – некоторая точка, принадлежащая прямой $a$.

Мы видим, что точка разделила прямую на две части – две полупрямые. Мы ничего не можем о них сказать, кроме того, что их две. Мы не можем их сравнить, поскольку не знаем ничего о длине прямой, кроме того, что она бесконечна. Мы знаем только, что обе полупрямые начинаются в точке $A$.

Сотрите участок прямой с одной стороны от точки $A$, а с другой – оставьте. Получится луч.

Луч – это полупрямая, которая начинается в известной точке и продолжается бесконечно в некотором направлении

В геометрии луч может обозначаться одной маленькой латинской буквой, чем намеренно подчёркивается его сходство с прямой. Но гораздо более информативно называть луч именем отрезка, через который этот луч проходит, при том, что и отрезок и луч имеют общую начальную точку. Имя этой точки всегда должно быть первым в имени луча.

Дополнительный луч (полупрямая) – это луч (полупрямая) которая лежит на одной прямой с лучом, который она дополняет, и исходит с ним из одной точки

Из одной точки можно провести бесконечно большое количество лучей, если это нужно. Каждый из лучей, исходящих из точки, может иметь дополнительный луч.

Лучи $AD, AC, AB, AE, e, h$ исходят из точки $A$;
Луч $h$ является дополнительным к лучу $AB$;
Луч $AE$ является дополнительным к лучу $e$.)

Задача 1

Условие: даны прямая $a$ и четыре точки: $A, B, C, E$. Все четыре данные точки принадлежат прямой $a$. Tочка $A$ делит прямую $a$ на два луча. Известно, что точки $B, C$ принадлежат одному лучу. Известно также, что точки $B, E$ тоже принадлежат одному лучу.

Вопрос: принадлежат ли одному лучу точки $C, E$?

Краткая запись условия:

$A, B, C, E \in a$;
$A \in а= а_1+а_2$;
$В, С \in а_1$;
$В, Е \in а_1$.

Решение и чертеж

Начертим прямую $a$. В этот раз её имя указано в условии, и мы не будем его менять;
Известно, что точка $A$ принадлежит прямой $a$ и делит её на два луча: $a_1$ и $a_2$. Отметим точку $A$ на прямой и присвоим лучам имена в произвольном порядке.
Известно, что точки $B$ и $C$ принадлежат одному лучу. Но не сказано, какому. Отметим эти точки на одном из лучей, исходящих из точки $A$. Пусть это будет луч $a_1$.
Известно, что точки $B$ и $E$ также принадлежат одному лучу. Точка $B$ у нас уже есть, отметим точку $E$ так, чтобы она принадлежала тому же лучу, что и $B$. То есть, $E \in a_1$.
Мы видим, что все три точки оказались на одном луче.

Ответ: точки $C$ и $E$ принадлежат одному и тому же лучу.

Задача 2

Условие: Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Известно, что $AC$ = 5 см, $BC$=7 см.

Вопрос: принадлежит ли точка $B$ отрезку $AC$?

Решение и чертеж

Если $B \in AC$, то $BC+AB=AC$ (аксиома 3).

$AC = 5 см$, $BC = 7 см$.

Oтрезок не может иметь длину, выраженную отрицательным числом. Потому $B \notin AC$.

Луч – часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились с некоторыми геометрическими понятиями: прямая, точка, отрезок. Сегодня мы рассмотрим ещё два понятия, часто встречающиеся в геометрии – это луч и угол.

Для начала, вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведём прямую а, отметим на ней точкуО, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч принято обозначать как одной малой латинской буквой, например, а.

Или двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая– это любая точка на луче.

Теперь рассмотрим понятие угол.

Начнём с определения.

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Лучи – это стороны угла.

В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон, в данном случае О – это вершина угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk,

так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее введём понятия, связанные с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развёрнутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развёрнутый.

В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развёрнутого.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Во-вторых, плоскость, на которой изображён любой угол, кроме развёрнутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю.

В развёрнутом углу, любая часть считается внутренней.

На рисунке изображён угол. Какие из точек лежат внутри угла и вне его?

Внутри угла лежат точки: М, Е, К.

Вне угла лежат точки: Р, D, N.

Отметим, что точкиВ и С лежат на сторонах углаО.

Продолжая изучать углы, отметим, что если внутри угла из его вершины провести луч, то он разделит угол на два угла.

Например, луч ОС делит ∠АОВ на два угла – ∠ВОС и ∠АОС.

Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.

Материал для углубленного изучения

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но как отмечалось ранее, у геометрии есть ещё один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур–двугранный угол. Дадим ему определение: двугранный угол – пространственнаягеометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ. Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

Тренировочные задания.

№ 1. Какие из точек лежат на стороне угла?

Посмотрите на рисунок. На нём изображён угол ВОС, соответственно точки B и C лежат на сторонах угла, других точек нет.

№ 2. Сколько углов изображено на рисунке?

Решение. Перечислим все углы, изображённые на рисунке.

СОВ, ВОА, АОD, DОС и развёрнутые углы СОА и DОВ. Получается 8 углов.

Луч — это часть прямой, у которой есть
начало, но нет конца.

Проведём прямую с и отметим на ней точку F. Точка F разделяет прямую c на две части.
Каждая из этих частей называется лучом, исходящим из точки F. Пример двух лучей,
исходящих из точки F на рисунке 1.

Точка F — начало каждого из лучей. Луч обычно обозначают малой латинской буквой,
либо двумя большими латинскими буквами (первая буква обозначает начало луча,
а вторая буква обозначает какую-нибудь точку на луче). Примеры лучей на рисунке 2.

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и
двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучами называются стороны угла, а точка называется вершиной угла.
Угол обозначают математическим символом ∠.

На рисунке 1 изображен угол с вершиной С и сторонами a и b. На сторонах отмечены
точки E и F. Угол в данном случае обозначают вот так: ∠ab, или ∠ECF, или еще проще ∠О.
Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то угол развернутый, иначе угол неразвернутый.
На рисунке 2 изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами a и b.

Любой угол разделяет плоскость на две части. Существует внешняя
и внутренняя область угла рисунок 3.

Если плоскость разделяет развернутый угол, то каждую из двух частей
можно считать внутренней областью угла. Фигуру также называют углом,
если она состоит из угла и его внутренней области. Если луч исходящий из
вершины неразвернутого угла и проходящий внутри угла, делит угол на два угла.

Знания школьной геометрии пригодятся в самых неожиданных ситуациях: во время ремонта, при рисовании граффити или чтобы нарезать пирог. В этой статье узнаем все про углы.

О чем эта статья:

2 класс, 5 класс

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точка O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

Что такое вершина и стороны угла

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA. Также можно назвать угол одной большой буквой, которая указывает на его вершину, например: ∠O.

Иногда встречается обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

острый
прямой
тупой
развернутый
выпуклый
полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть

Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол равен 180°.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:

Вершину 𝐵 одного угла совмещаем с вершиной 𝑁 другого угла.
Сторону 𝐵𝐴 одного угла накладываем на сторону 𝑁𝑀 другого угла так, чтобы стороны 𝐵𝐶 и 𝑁𝐾 располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Он обозначается так: °.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60´ = 3600´´.

Как происходит измерение угла: сначала измеряют стороны угла, а после — его внутреннюю область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать углы и прочие фигуры, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными, и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.

На чертеже отмечены три неравных угла:

Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом не обязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Читайте также: