Логический квадрат в логике кратко

Обновлено: 02.07.2024

Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками.

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и вида О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и вида Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида О – частичного совпадения. Суждения вида А и вида О, а также суждения вида Е и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т.е. равнозначность – это отношение между суждениями А и А, I и I, Е и Е, О и О. Для того, чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: Все люди изучали логику и Некоторые люди не изучали логику. Видя, что первое суждение является общеутвердительным (А), а второе частноотрицательным (О), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Также суждения: Все люди ·изучали логику (А) и Некоторые люди изучали логику (I) находятся в отношении подчинения, а суждения: Все люди изучали логику (А) и Все люди не изучали логику (Е) находятся в отношении противоположности.

(контрарность)

Как уже говорилось, важным свойством суждений (в отличие от понятий является то, что они могут быть истинными или ложными. Что касается сравнимых суждении, то значения истинности каждого из них определенным образом связаны с значениями истинности остальных.

Все случаи отношений между значениями истинности простых сравнимых суждений таковы:

1. Если суждение вида А является истинным, то суждение вида I также является истинным, а суждения вида Е и О являются ложными.

3. Если Е истинно, то А ложно, I ложно, О истинно.

4. Если Е ложно, то А неопределенно по истинности, I истинно, О неопределенно по истинности.

5. Если I истинно, то А неопределенно по истинности, Е ложно, О неопределенно по истинности.

6. Если I ложно, то А ложно, Е истинно, О истинно.

7. Если О истинно, то А ложно, Е неопределенно по истинности, I неопределенно по истинности.

8. Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.

Используя рассмотренные правила, можно делать выводы об истинности простых сравнимых суждений с помощью логического квадрата (или, как часто говорят в логике, ‑ по логическому квадрату).

Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками.

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и вида О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и вида Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида О – частичного совпадения. Суждения вида А и вида О, а также суждения вида Е и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т.е. равнозначность – это отношение между суждениями А и А, I и I, Е и Е, О и О. Для того, чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: Все люди изучали логику и Некоторые люди не изучали логику. Видя, что первое суждение является общеутвердительным (А), а второе частноотрицательным (О), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Также суждения: Все люди ·изучали логику (А) и Некоторые люди изучали логику (I) находятся в отношении подчинения, а суждения: Все люди изучали логику (А) и Все люди не изучали логику (Е) находятся в отношении противоположности.

(контрарность)

Как уже говорилось, важным свойством суждений (в отличие от понятий является то, что они могут быть истинными или ложными. Что касается сравнимых суждении, то значения истинности каждого из них определенным образом связаны с значениями истинности остальных.

Все случаи отношений между значениями истинности простых сравнимых суждений таковы:

1. Если суждение вида А является истинным, то суждение вида I также является истинным, а суждения вида Е и О являются ложными.

3. Если Е истинно, то А ложно, I ложно, О истинно.

4. Если Е ложно, то А неопределенно по истинности, I истинно, О неопределенно по истинности.

5. Если I истинно, то А неопределенно по истинности, Е ложно, О неопределенно по истинности.

6. Если I ложно, то А ложно, Е истинно, О истинно.

7. Если О истинно, то А ложно, Е неопределенно по истинности, I неопределенно по истинности.

8. Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.

Используя рассмотренные правила, можно делать выводы об истинности простых сравнимых суждений с помощью логического квадрата (или, как часто говорят в логике, ‑ по логическому квадрату).

Основу отношений между суждениями составляет их сходство по смыслу и логическим значениям (истинности и ложности). В силу этого отношения устанавливаются не между любыми, а лишь между сравнимыми, т.е. имеющими общий смысл, суждениями.

Несравнимыми среди простых являются суждения, имеющие:

1. 1. различные субъекты или
   2. различные предикаты.

   Таковы, например, два суждения:

   Сравнимыми являются суждения с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой или квантором (суждения одинаковой материи):

   Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые суждения.

   Отношения между простыми суждениями обычно рассматриваются с помощью мнемонической схемы, называемой логическим квадратом.

   Логический квадрат

   Логический квадрат представляет собой диаграмму, служащую для мнемонического запоминания отношений между простыми категорическими суждениями. На нём сверху расположены общие суждения, снизу - частные, слева - утвердительные, справа - отрицательные.

   
   

   Вершины логического квадрата символизируют простые категорические суждения — А, Е, I, О; стороны и диагонали — отношения между суждениями:

   • Противоположность ( контрарность)
   • Противоречие (контрадикторность)
   • Частичная совместимость (субконтрарность)

   Отношение совместимости

   К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными .

   Виды совместимости:

   1. 1. эквивалентность (полная совместимость);
      2. частичная совместимость (субконтрарность);
      3. подчинение.

      Эквивалентные суждения имеют одинаковые логические характеристики:

      • • одинаковые субъекты и предикаты,
        • однотипную — утвердительную или отрицательную — связку,
        • одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику.

        С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются.

        Различия между высказываниями, содержащими простые эквивалентные суждения, проявляются главным образом словесно.

        Эту особенность эквивалентных суждений надо учитывать при анализе правовых контекстов, при переводах с одного языка на другой, при сравнении словесно различных утверждений в процессе дискуссии.

        Частичная совместимость характерна для суждений I и О, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

        В то же время при истинности одного из частных суждений другое может быть как истинным, так и ложным.

        Подчинение имеет место между суждениями А и I, E и О. Для них характерны следующие две зависимости:

        При подчинении остаются неопределенными следующие зависимости:

        1. 1. при ложности общего суждения подчиненное частное может быть как истинным, так и ложным;
           2. при истинности подчиненного частного общее может быть как истинным, так и ложным.

           Отношение несовместимости

           Несовместимыми являются суждения

           которые одновременно не могут быть истинными.

           Виды несовместимости:

           1. 1. противоположность;
              2. противоречие.

              Противоположными (контрарными) являются суждения А и Е, которые одновременно

              • не могут быть истинными, но
              • могут быть одновременно ложными.

              Противоречащими (контрадикторными) являются суждения А и О, Е и I, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными .

              Для противоречия характерна строгая, или альтернативная несовместимость:

              • • при истинности одного из суждений другое всегда будет ложным;
                • при ложности первого второе будет истинным.

                Отношения между такими суждениями регулируются законом исключенного третьего.

                Следует отметить, что несовместимые единичные суждения могут находиться лишь в отношении противоречия и не могут находиться в отношении противоположности, ибо каждому отдельному предмету может быть либо присущ, либо не присущ определенный признак.

                Грустно сие констатировать, но очень многие люди делают в своих суждениях вопиющие логические ошибки и не замечают этого. Если им указать на логическое противоречие их мыслей, они не понимают, в чем проблема. Не видят ее.

                А между тем существует такая философская дисциплина, как логика (признанный отец-основатель - Аристотель), которая дает четкие законы и формулирует правила мышления. Я не буду тут говорить о законах формальной логики (их четыре, три первые даны Аристотелей, четвертая - Г.Лейбницем). А покажу с помощью логического квадрата, как можно избежать логических ошибок. Для этого не надо быть сильно умным, достаточно быть просто разумным.

                Итак, перед нами логический квадрат. Мы видим по его углам какие-то буквы. Сейчас объясню, что все это означает. Каждая буква - тот или иной вид суждения, а сам квадрат показывает отношения между ними. Между А и Е это отношения противоположности, между А и I, а также Е и О - подчинения, между А и О, а также Е и I - противоречия, между I и О - частичное совпадение. На квадрате это отлично видно.

                А - общеутвердительное суждение. Например: все коты - млекопитающие. В данном случае это истинно. Но такое суждение может быть и ложным: все коты дышат жабрами.

                Е - общеотрицательные. Например: ни один карась не является млекопитающим - истинное суждение. Ни один кот не является млекопитающим - ложное.

                Поскольку между А и Е существует отношение противоположности, то значит, оба эти суждения не могут одновременно утверждать истину об одном и том же, то есть либо все коты - млекопитающие, либо ни один кот таковым не является. Но А и Е могут быть оба ложными, если это разные неверные суждения об одном объекте. Например: все коты дышат жабрами, ни один кот не является млекопитающим.

                I - частноутвердительное суждение. Оно подчиняется А - общеутвердительному. И если суждение А - истинно, то и I тоже истинно. Например: все коты - млекопитающие (А). Мой кот Васька и соседский Паська - млекопитающие ( I ).

                А если А ложно, то и I неопределенно, оно может быть как истинным, так и ложным.

                О - частноотрицательное суждение. Соответственно - подчиняется Е, общеотрицательному. Берем теперь пример ложного Е: Ни один кот не является млекопитающим. Значит, если я заявлю, что мой личный кот Васька и его дружок Паська не является млекопитающими - это будет либо ложь, либо правда.

                Теперь об отношении противоречия, то есть между А-О и Е- I. Оба противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными или ложными. И если точно известно, что одно из них, скажем, истинно, значит, другое ложно. И наоборот.

                Пример: все коты млекопитающие - истина. Некоторые коты не млекопитающие - ложно.

                Все коты не млекопитающие - ложно. Некоторые коты млекопитающие - истина.

                И, наконец, отношение частичного совпадения между I и О. Тут логика такая - они могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

                Пример: некоторые коты пушистые (I), некоторые коты не пушистые (О). Оба суждения истинны.

                А если мы скажем заведомую ложь - некоторые коты имеют крылья (I), то в любом случае суждение О истинно: некоторые коты не имеют крыльев. Оба быть ложными не могут.

                
                

                В этом уроке мы, наконец, переходим к теме, которая составляет ядро любого рассуждения и любой логической системы – умозаключениям. В четвёртом уроке мы говорили, что рассуждение – это совокупность суждений или высказываний. Очевидно, что такое определение не полно, ведь оно ничего не говорит о том, почему вдруг какие-то разные высказывания оказались рядом. Если дать более точное определение, то рассуждение – это процесс обоснования какого-либо высказывания с помощью его последовательного вывода из других высказываний. Этот вывод чаще всего осуществляется в форме умозаключений.

                Содержание:

                Умозаключение – это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний А₁, А₂, …, А_n к высказыванию В. А₁, А₂, …, А_n называют посылками. Посылка может быть одна, их может быть две, три, четыре, в принципе – сколько угодно. В посылках содержится известная нам информация. В – это заключение. В заключении находится уже новая информация, которую мы извлекли из посылок с помощью специальных процедур. Эта новая информация уже содержалась в посылках, но в скрытом виде. Так вот задача умозаключения сделать это скрытое явным. Кроме того, иногда посылки называют аргументами, а заключение – тезисом, а само умозаключение в этом случае называют обоснованием. Разница между умозаключением и обоснованием состоит в том, что в первом случае, мы не знаем, к какому заключению мы придём, а во втором – тезис нам уже известен, мы просто хотим установить его связь с посылками-аргументами.

                Логики записывают умозаключения следующим образом:

                
                

                Над чертой располагаются посылки, под чертой – заключение, а сама черта обозначает отношение логического следования.

                Критерии истинности умозаключений

                Также как и для суждений, для умозаключений существуют определённые условия их истинности. При определении, истинное умозаключение или ложное, нужно обращать внимание на два аспекта. Первый аспект – это истинность посылок. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и сделанное заключение тоже будет ложным. Поскольку заключение – это та информация, которая была скрыта в посылках и которую мы просто извлекли на свет, то из неверных посылок невозможно случайно получить верный вывод. Это можно сравнить с попыткой сделать бифштекс из моркови. Наверное, моркови можно придать цвет и форму бифштекса, но внутри всё равно будет морковь, а не мясо. Никакие кулинарные операции не преобразуют одно в другое.

                Змеи едят яйца.
                Девочки едят яйца.
                Значит, девочки – это змеи.

                Хотя посылки правильные, заключение абсурдно. Умозаключение в целом сделано неверно. Чтобы избежать подобных ошибок, логики выявили такие умозаключения, логические формы которых при истинности посылок гарантируют истинность заключения. Их принято называть правильными умозаключениями. Таким образом, чтобы умозаключение было сделано верно, нужно следить за истинностью посылок и за правильностью самой формы умозаключения.

                Мы рассмотрим различные формы правильных умозаключений на примере силлогистики. В этом уроке мы разберём самые простые однопосылочные заключения. В следующем уроке – более сложные заключения: силлогизмы, энтимемы, многопосылочные заключения.

                Умозаключения по логическому квадрату

                Чтобы было легче запомнить, какие именно типы умозаключений возможны между категорическими атрибутивными высказываниями, логики придумали специальный логический квадрат, изображающий отношения между ними. Поэтому некоторые однопосылочные умозаключения также называют умозаключениями по логическому квадрату. Посмотрим на этот квадрат:

                
                

                • Все S есть P
                • Некоторые S есть P
                • Все птицы имеют клюв. Следовательно, некоторые птицы имеют клюв.
                • Ни один S не есть P
                • Некоторые S не есть P
                • Ни один гусь не хочет быть пойман и зажарен. Следовательно, некоторые гуси не хотят быть пойманными и зажаренными.
                • Неверно, что некоторые S есть P
                • Неверно, что все S есть P
                • Неверно, что некоторые автомобили не имеют колёс. Поэтому неверно, что все автомобили не имеют колёс.
                • Неверно, что некоторые S не есть P
                • Неверно, что все S не есть P
                • Неверно, что некоторые вина не являются спиртными напитками. Таким образом, неверно, что все вина не являются спиртными напитками.

                По закону контрарного противоречия будут истинными следующие виды умозаключений:

                • Все S есть P
                • Неверно, что ни один S не есть P
                • Все яблоки – это фрукты. Следовательно, неверно, что ни одно яблоко не является фруктом.
                • Ни один S не есть P
                • Неверно, что все S есть P
                • Ни один кит не умеет летать. Поэтому неверно, что все киты умеют летать.
                • Согласно этому закону правильными будут следующие умозаключения:
                • Неверно, что некоторые S есть P
                • Некоторые S не есть P
                • Неверно, что некоторые продукты полезны для здоровья. Поэтому некоторые продукты не полезны для здоровья.
                • Неверно, что некоторые S не есть P
                • Некоторые S есть P
                • Неверно, что некоторые ученики из нашего класса не являются двоечниками. Таким образом, некоторые ученики из нашего класса являются двоечниками.

                Отношения противоречия (контрадикторности) говорят о том, что высказывания, находящиеся в них, не могут быть одновременно истинными или ложными. На основании этих отношений можно сформулировать два закона противоречия и два закона исключённого третьего. Первый закон противоречия: Неверно, что все S есть P и некоторые S не есть P. Второй закон противоречия: Неверно, что ни один S не есть P и некоторые S есть P. Первый закон исключённого третьего: Все S есть P или некоторые S не есть P. Второй закон исключённого третьего: Ни один S не есть P или некоторые S есть P.

                На этих законах строятся умозаключения следующих видов:

                • Все S есть P
                • Неверно, что некоторые S не есть P
                • Все дети нуждаются в заботе. Следовательно, неверно, что некоторые дети не нуждаются в заботе.
                • Некоторые S не есть P
                • Неверно, что все S есть P
                • Некоторые книги не являются скучными. Поэтому, неверно, что все книги являются скучными.
                • Неверно, что все S есть P
                • Некоторые S не есть P
                • Неверно, что все сотрудники нашей фирмы усердно работают. Таким образом, некоторые сотрудники нашей фирмы не работают усердно.
                • Неверно, что некоторые S не есть P
                • Все S есть P
                • Неверно, что некоторые зебры не имеют полосок на коже. Следовательно, все зебры имеют полоски на коже.
                • Ни один S не есть P
                • Неверно, что некоторые S есть P
                • Ни одна картина в этом зале не относится к XX веку. Поэтому неверно, что некоторые картины в этом зале относятся к XX веку.
                • Некоторые S есть P
                • Неверно, что ни один S не есть P
                • Некоторые студенты занимаются спортом. Таким образом, неверно, что ни один студент не занимается спортом.
                • Неверно, что ни один S не есть P
                • Некоторые S есть P
                • Неверно, что ни один учёный не интересуется искусством. Следовательно, некоторые учёные интересуются искусством.
                • Неверно, что некоторые S есть P
                • Ни один S не есть P
                • Неверно, что некоторые коты курят сигары. Таким образом, ни один кот не курит сигары.

                Как вы, скорее всего, заметили во всех этих умозаключениях, высказывания над чертой и под чертой несут одну и ту же информацию, просто поданную в разной форме. Важная деталь заключается в том, что смысл одних из этих высказываний воспринимается легко и интуитивно, в то время как смысл других тёмен, и над ними порой приходится поломать голову. Например, смысл утвердительных высказываний воспринимается легче, чем смысл отрицательных высказываний, смысл высказываний с одним отрицанием более понятен, чем смысл высказываний с двумя отрицаниями. Таким образом, основное назначение умозаключений по логическому квадрату состоит в том, чтобы привести сложные для восприятия, непонятные высказывания к наиболее простой и ясной форме.

                Операция обращения

                Ещё одним видом однопосылочных умозаключений является обращение. Это такой тип умозаключений, при которых субъект посылки совпадает с предикатом заключения, а субъект заключения совпадает с предикатом посылки. Грубо говоря, в заключении S и P просто меняются местами.

                Прежде чем перейти к умозаключениям через обращение, построим таблицу истинности для высказываний, в которых P встанет на место субъекта, а S – на место предиката.

                
                

                Сравните её с той таблицей, которую мы строили в прошлом уроке. Обращение, как и другие умозаключения, может быть правильным, только когда посылка и заключение одновременно истинны. При сравнении двух таблиц, вы увидите, что таких комбинаций не так уж и много.

                Хотя обращения, как и умозаключения по логическому квадрату, это однопосылочные умозаключения, и мы точно также извлекаем всю новую информацию из имеющейся посылки, посылку и заключение в них уже нельзя назвать просто разными формулировками одной и той же информации. Полученная информация относится уже к другому субъекту, а потому она уже не кажется такой тривиальной.

                Итак, в этом уроке мы начали рассматривать правильные виды умозаключений. Мы поговорили о самых простейших однопосылочных умозаключениях: умозаключениях по логическому квадрату и умозаключениях через обращение. Хотя эти умозаключения довольно просты и даже где-то тривиальны, люди повсеместно совершают в них ошибки. Понятно, что сложно удержать в памяти все виды правильных умозаключений, поэтому, когда вы будете выполнять упражнения или столкнётесь с необходимостью проверить или сделать однопосылочное умозаключение в реальной жизни, не бойтесь прибегать к помощи модельных схем и таблиц истинности. Они помогут вам проверить, всегда ли при истинности посылок заключение тоже истинное, а это главное для правильного умозаключения.

                Упражнения

                Сделайте все возможные умозаключения из следующих высказываний по логическому квадрату:

                • Все медведи на зиму залегают в спячку.
                • Неверно, что все люди завистливы.
                • Ни один гном не достигает роста в два метра.
                • Неверно, что ни один человек не был на Северном полюсе.
                • Некоторые люди никогда не видели снега.
                • Некоторые автобусы ходят по расписанию.
                • Неверно, что некоторые слоны летали на луну.
                • Неверно, что некоторые птицы не имеют крыльев.

                Сделайте обращения с теми, высказываниями, с которыми это возможно:

                • Никто ещё не построил машину времени.
                • Некоторые официанты очень назойливы.
                • Все профессионалы опытны в своём деле.
                • Некоторые книги не имеют твёрдой обложки.

                Проверьте, правильно ли сделаны следующие умозаключения:

                • Некоторые кролики не носят белые перчатки. Следовательно, некоторые кролики носят белые перчатки.
                • Неверно, что никто не был на Луне. Таким образом, некоторые люди были на Луне.
                • Все люди смертны. Поэтому все смертные – это люди.
                • Некоторые птицы не умеют летать. Следовательно, некоторые существа, не умеющие летать, это птицы.
                • Ни один ягнёнок не имеет пристрастия к виски. Следовательно, ни одно существо, имеющее пристрастие к виски, не является ягнёнком.
                • Некоторые морские животные млекопитающие. Таким образом, неверно, что ни одно морское животное не является млекопитающим.

                Проверьте свои знания

                Читайте также:

                  
                • Выход усср на международную арену кратко
                  
                • Этнология л н гумилева и культурология кратко
                  
                • О н ефремов биография кратко
                  
                • Европа в 18 веке кратко таблица
                  
                • Кризис и распад империи кратко история 7 класс