Критерий устойчивости рауса гурвица кратко

Обновлено: 05.07.2024

Критерий Рауса-Гурвица является аналитическим критерием, непосредственно устанавливающим условия, при которых вещественные части всех корней характеристического уравнения оказываются отрицательными. Для этого нужно написать главный определитель, пользуясь следующими правилами: первый столбец содержит коэффициенты уравнения (4.23) с нечетными индексами в порядке возрастания, а в каждом ряду вправо располагаются коэффициенты в порядке убывания их индексов

Далее из главного определителя нужно выписать определителей (здесь степень характеристического уравнения) согласно пунктирным линиям в (4.26):

первый определитель включает один столбец и одну строку

второй определитель содержит два столбца и две строки

третий — три столбца и три строки

Критерий Рауса-Гурвица устанавливает, что все корни характеристического уравнения (4.23) при имеют отрицательные вещественные части, если все определителей положительны. При составлении определителей следует считать коэффициенты если индекс е. если такие коэффициенты в (4.23) отсутствуют. Поскольку главная диагональ определителя (4.26) содержит коэффициенты в нижней строке последнего определителя слева от оказываются коэффициенты с индексами потому они должны быть заменены нулями. Рассмотрим примеры.

1. Характеристическое уравнение второй степени

Полагая получаем два условия устойчивости по критерию Рауса — Гурвица:

Если выполняется (4.31), то для выполнения (4.32) требуется, чтобы

Таким образом, из критерия Рауса — Гурвица следует, что корни уравнения (4.30) имеют отрицательные вещественные части, если все коэффициенты уравнения положительные.

Справедливость этого вывода можно проверить непосредственно из решения квадратного уравнения Если все коэффициенты уравнения положительны, то возможны два варианта: а) когда и тогда оба корня действительные и отрицательные; б) когда и тогда корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.

2. Характеристическое уравнение третьей степени

Условия устойчивости при записываются как

В случае выполнения (4.34) из (4.35) следует Если же учесть, что то для выполнения условия (4.34) необходимо, чтобы Таким образом, для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительными и, кроме того, выполнялось условие (4.34).

3. Характеристическое уравнение четвертой степени

Условия устойчивости при оказываются

Легко показать, что если эти условия выполняются, то

В общем случае для обеспечения устойчивости необходимо (хотя для недостаточно), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными

Если все коэффициенты положительны, то не все условия оказываются независимыми: из положительности определителей четного порядка следует положительность определителей нечетного порядка и наоборот. С учетом этого Льенар и Шиппар сформулировали критерий: все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательны еств части, если: а) все коэффициенты уравнения (4. 23) положительные и выполняются условия или

Читателю рекомендуем самостоятельно проверить, что при выполнении (4.37) корни характеристического уравнения третьей степени будут иметь отрицательные вещественные части, если четвертой степени, если пятой степени, если

Критерии Рауса — Гурвица и Льенара — Шиппара широко используются при теоретических исследованиях различных устройств с обратной связью.

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19 – го века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином

где полагаем , что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на - 1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положительного числа n элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а₀.

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Эти миноры отчерчены в выражении (7.9) штриховыми линиями.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

И условия устойчивости сводятся к неравенствам:

Отсюда, например, звено 1-го порядка с передаточной функцией является устойчивым, а звено с передаточной функцией - неустойчивым.

(к последнему неравенству сводится неравенство , если учесть предыдущее неравенство ).

Например, звено с передаточной функцией устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a_i.

Если определитель D_n=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая:

§ апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе;

§ колебательная граница устойчивости, если определитель D_n-1=0.

Из условия D_n-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Последнее неравенство с учетом предпоследнего условия сводится к требованию . Таким образом, в целом эти условия устойчивости заключаются в положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ₂. (Необходимость положительности а₂ вытекает из условия и положительности всех остальных коэффициентов).

Легко видеть, что условия устойчивости опять сводятся к требованию положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ₃. (Условие Δ₂ > 0 при этом вытекает из неравенства Δ₃ > 0 с учетом того, что а₄ > 0).

Условия устойчивости, если действовать аналогично, сведутся здесь к положительности всех коэффициентов и двух миноров: Δ₂ и предпоследнего Δ₄.

Можно показать в общем случае для системы n – го порядка, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров. При решении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Рауса-Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвертого порядка.

Возьмем характеристический полином

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а₀.

Эти миноры отчерчены в выражении (7.9) штриховыми линиями.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

И условия устойчивости сводятся к неравенствам:

(к последнему неравенству сводится неравенство , если учесть предыдущее неравенство ).

Например, звено с передаточной функцией устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a_i.

Если определитель D_n=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая:

§ колебательная граница устойчивости, если определитель D_n-1=0.

Из условия D_n-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:

Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные вещественные части.

Критерий Рауса—Гурвица . Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и оканчивая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими или меньшими

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

Так как , то условие может быть заменено требованием .

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Здесь . Выписываем диагональные миноры Гурвица

Итак, . Следовательно, тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры . Затем начинаем вычислять последовательно и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.

Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами

Его характеристическое уравнение

Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1). Полагая

Величину при заданном значении параметра в интервале конец этого вектора опишет некоторую кривую — так называемую кривую Михайлова (рис. 45). Так как функция четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси степени имеет поворота вектора при изменении .

Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы .

Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

1) вектор при изменении , т.е. сделал оборотов против часовой стрелки;

2) годограф при изменении .

Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо, чтобы все корни уравнений были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. между любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения.

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристический многочлен

Построим кривую (рис.46)

Угол поворота радиуса-вектора . Отсюда , т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).

Содержание

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть " width="" height="" />
— передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

$\ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^<n-1> + . + a_n$

$\Delta$

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

$\ n$

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица:

$\ n$

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

К вопросу об автоматизации метода

Метод Гурвица, который часто называют методом Рауса-Гурвица, очень удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ.

Ниже приведён автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB версии 5.3 с её синтаксисом.

Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением .m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть raus_gur.m.

Пример

Пусть дана передаточная функция:

$\text<W> \left( s \right)=\frac<Y\left( s \right)><U\left( s \right)>=\frac^>+16\cdot ^>+95\cdot ^>+260\cdot ^>+324\cdot s+144>$

Тогда вызов приведенной выше функции будет выглядеть следующим образом:

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
А результат вычислений:
A =

Так как A = 1, то система устойчива.

Вектор В содержит значения диагональных определителей от 2×2 до 4×4, первый элемент не имеет значения, а значение внешнего определителя всегда будет иметь тот же знак, что и предыдущий. Согласно методу Гурвица, чтобы система была устойчива, все эти определители должны оказаться положительными.

Матрица С - сам определитель Гурвица.

Эту функцию вполне можно использовать в математических пакетах, имеющих схожий с MATLAB синтаксис или после небольшой переделки.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если . Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.— Москва: Наука, 1965.—234 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Критерий устойчивости Гурвица" в других словарях:

Критерий устойчивости Рауса — Критерий устойчивости Рауса один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса Гурвица) является представителем семейства… … Википедия

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста — Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова — Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма… … Википедия

Гурвица критерий — Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия

Критерий Гурвица — Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия

Критерий Рауса — Критерий устойчивости Рауса один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев … Википедия

УСТОЙЧИВОСТИ КРИТЕРИИ — необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней уравнения У. к. используются, когда применяется теорема Ляпунова об устойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных… … Математическая энциклопедия

Гурвица критерий — критерий, позволяющий узнать, когда все корни многочлена р (z) = a0zn + a1zn 1 + . + an 1z + an имеют отрицательные действительные части. Например, для многочленов с действительными коэффициентами a0 > 0, a1, . an Г … Большая советская энциклопедия

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом" , если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом" , когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения , то есть уравнения с нулевой правой частью:

a o y (n) + a 1 y (n-1) + . + a _(n-1) y’ + a _(n) y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y вын (t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения , под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t) . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный . Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р . После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y вын = y(t ) . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P _o sin(t + ) , то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y вын = y _max sin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p _i корни характеристического уравнения D(p) = a ₀ p _n + a 1 p _n -1 + a 2 p _n -2 + . + a n = 0 . Корни могут быть либо вещественными p _i = a _i , либо попарно комплексно сопряженными p _i = a _i ± ji . Постоянные интегрирования А _i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y св (t) _i , каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y св (t) i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i , при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

Так как после снятия возмущения y вын (t) = 0 , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y св (t) . zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми , с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a n = 0 ), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости . Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости .

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости . Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a o p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a _n = a o (p-p ₁ )(p-p ₂ ). (p-p _n ) = 0,

где p ₁ , p ₂ , . p _n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a _i = -|a _i | . Подставим их в уравнение:

a ₀ (p + |a 1 |)(p + |a 2 | - j2)(p + |a 2 | + j2). = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a ₀ p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a ₀ ,a 1 . a n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a ₀ > 0, a 1 > 0, . , a n > 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a ₀ > 0 . В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке - с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c _k,i = c _{k+ 1,i - 2} - ric _{k + 1,i - 1} , где ri = c _{1,i - 2} /c _{1,i - 1} , i 3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Читайте также: