Кинетическая энергия вращательного движения кратко

Обновлено: 18.05.2024

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Кинетическая энергиявращательногодвижения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловаяскорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения —момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I_z — моментинерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главнымиосямиинерции I₁, I₂ и I₃. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловойскорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где — тензоринерции.

Теорема Штейнера.

ТеоремаГюйгенса—Штейнера, или просто теоремаШтейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Кинетическая энергиявращательногодвижения — энергия тела, связанная с его вращением.

и кинетическая энергия

где I_z — моментинерции тела относительно оси вращения.

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловойскорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где — тензоринерции.

Теорема Штейнера.

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω₂ - ω₁) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

ΔL = 0, L = const.

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.

Законы сохранения в механике - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Энергия – это способность к совершению работы. Поскольку существует много способов совершения работы, существуют разные виды энергии. Рассмотрим один из таких видов – кинетическую энергию вращательного движения.

Баланс энергии при совершении работы

Если тело имеет некоторую энергию, то существуют возможности передачи этой энергии другим телам. В частности, если тело обладает потенциальной энергией (например, пружина в сжатом состоянии), то оно может передать эту энергию другим телам, изменяя их положение, и совершая работу.

Согласно законам сохранения энергии, общая сумма энергии в изолированной системе остается постоянной. А значит, если вся энергия тела уйдет на совершение работы, то, определив эту работу, мы можем вычислить энергию, которой обладало тело перед совершением работы.

Рис. 1. Закон сохранения механической энергии.

Формула кинетической энергии при вращении

Кинетической называют энергию движения.

Рис. 2. Кинетическая энергия.

Найдем кинетическую энергию вращающейся материальной точки.

Пусть изначально материальная точка с моментом инерции $J = mR^2$ вращается по траектории радиусом $R$ c угловой скоростью $omega$. Начнем равномерно тормозить вращение, чтобы до полной остановки точка повернулась на угол $alpha$.

При равномерном торможении сила торможения $F$ и момент этой силы $M=FR$ будут постоянными. А значит, согласно Второму Закону Ньютона, угловое ускорение, получаемое материальной точкой, тоже будет постоянным, и равным:

Для равноускоренного вращения угол поворота и угловая скорость и угловое ускорение связаны соотношением:

Учитывая полную остановку вращения, и формулу ускорения, получаем:

Во время поворота на этот угол на тело постоянно действовал момент силы торможения $M$, а значит была совершена работа:

Поскольку материальная точка остановилась – то вся первоначальная кинетическая энергия $E_k$ была направлена на совершение работы, и, таким образом, эта энергия равна совершенной работе.

В итоге мы получили формулу полной кинетической энергий вращательного движения материальной точки:

Особенности кинетической энергии при вращении

Сравним формулу кинетической энергии при вращении с формулой кинетической энергии тела для прямолинейного движения:

Можно видеть их близость. Но, в формуле для вращения для материальной точки присутствует дополнительный множитель – радиус. Его необходимость объясняется тем, что при повороте на один и тот же угол, материальная точка, расположенная на более далеком расстоянии от центра вращения, проходит больший путь, по сравнению с более близкой точкой. Поэтому и ее мгновенная линейная скорость, а значит, и кинетическая энергия получается больше. Для твердых тел различной формы радиус вращения также учитывается при определении момента инерции.

В том, что у материальной точки с большим радиусом вращения кинетическая энергия больше, легко убедиться, раскручивая груз на шнуре. Если раскручивать груз с постоянной частотой (скажем, один оборот в секунду), то при малой длине шнура это сделать легко, однако, чем длиннее шнур, тем приходится прилагать больше усилий, хотя масса шнура остается постоянной.

Именно поэтому с помощью пращи камень можно метнуть дальше, чем просто рукой. Больший радиус вращения позволяет сообщить камню большую энергию.

Рис. 3. Метание камня с помощью пращи.

Что мы узнали?

Формула кинетической энергии вращающейся материальной точки аналогична формуле кинетической энергии поступательного движения материальной точки. Вместо линейной скорости используется угловая скорость, а вместо массы – момент инерции. Поскольку момент инерции материальной точки зависит от радиуса вращения, кинетическая энергия вращения материальной точки зависит не только от угловой скорости, но и от радиуса вращения.

Читайте также: