История возникновения параллелепипеда кратко
Обновлено: 04.07.2024
Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Содержание
Типы параллелепипеда
Различается несколько типов параллелепипедов:
-
— это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
- Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
- Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основания — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.
Основные элементы
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Основные формулы
Прямой параллелепипед
Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота
Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания
Прямоугольный параллелепипед
Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)
Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности Sб=4a², где а — ребро куба
Площадь полной поверхности Sп=6a²
Произвольный параллелепипед
Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллалепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения [1] :215 .
В математическом анализе
В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида " width="" height="" />
Примечания
- ↑Гусятников П.Б., Резниченко С.В.Векторная алгебра в примерах и задачах. — М .: Высшая школа, 1985. — 232 с.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Параллелепипед" в других словарях:
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — греч., от parallelos., параллельный, и epidon, поверхность. Четырехсторонняя призма, у которой противоположные стороны параллельны между собой. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.… … Словарь иностранных слов русского языка
Параллелепипед — Параллелепипед. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (от греческого parallelos параллельный и epipedon плоскость), призма, основание которой параллелограмм. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
параллелепипед — призма, ромбоэдр, шестигранник Словарь русских синонимов. параллелепипед сущ., кол во синонимов: 4 • многогранник (38) • … Словарь синонимов
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — (от греч. parallelos параллельный и epipedon плоскость) призма, основанием которой служит параллелограмм … Большой Энциклопедический словарь
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, параллелепипеда, муж. (от греч. parallelos параллельный и epipedon поверхность) (мат.). Шестигранник, у которого противоположные грани равны и параллельны. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, а, муж. В математике: призма, основанием к рой служит параллелограмм. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Параллелепипед — шестигранник, каждая пара противоположных гранейкоторого суть параллелограммы равной величины и параллельные междусобой … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
параллелепипед — а, м. parallélépipède m. <гр. parallelos + epidepon плоскость. геом. Шестигранник, сторонами которого являются параллелограммы. Крысин 1998. Цвет его <сапфира> лазуревой, сложение листоватое; представляет шести или многоугольную призьму … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — призма, основанием которой является (см.) … Большая политехническая энциклопедия
Параллелепипед — (греч. parallelepípedon, от parállelos параллельный и epípedon плоскость) шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. П. имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы. П.… … Большая советская энциклопедия
В переводе с древнегреческого языка параллелепипед означает параллельную плоскость — призму, нишей которой является параллелограмм (многогранник с шестью сторонами). Предметы аналогичной формы находятся в окружающей жизни и быту. В математическом анализе и геометрии расчет параметров фигуры осуществляется с помощью формул.
Общая характеристика
В мире имеется множество предметов с формой параллелепипеда. Люди обычно не задумываются об этом, но архитектура и различные массивные строения состоят из нескольких граней. Выглядеть параллелепипед может по-разному в зависимости от типа.
Основные понятия и классификация
Определение параллелепипеда, пирамиды, куба и других многогранников было известно с древнейших времен. Основными характеристиками являются простота и значимость.
Выведенные формулы V и S значимы для решения различных задач с практическим содержанием и доказательства теорем (по чертежам). Виды параллелепипеда:
- Прямой. Четыре боковые грани имеют углы по 90 градусов.
- Прямоугольный. Каждая сторона фигуры является прямоугольной.
- Наклонный.
- Двугранный, трехгранный. Состоит из нескольких граней под углом 90 градусов.
- Наклонный, диагональный. Боковые грани не перпендикулярны основаниям.
- Ромбоэдр. Стороны являются одинаковыми ромбами.
- Куб. Параллелепипед с равными (квадратными) сторонами.
В 6 классе на уроке геометрии изучают планиметрию (плоские фигуры). Здесь представлена развертка плоскостей.
Две стороны параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а содержащие единую линию — смежными. С точки зрения плоскостей, расположенных параллельно, внутри пересекаются три их пары. Эти вершины соединяет отрезок — диагональ. Длина трех ребер правильного многогранника называется измерением. Главным условием является общая вершина.
При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием. Свойства параллелепипеда:
- любые стороны являются параллелограммами (с симметрией);
- стороны, расположенные друг против друга, будут параллельными и равными.
Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.
Диагонали поверхности пересекаются и этой центральной точкой делятся на несколько частей. Они равны d2=a2+b2+c2
Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.
Формулы и анализ
Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:
Расшифровка обозначений: V — объем фигуры, S — площадь поверхности, a — длина, b — ширина, c — высота.
Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.
Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.
Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.
∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.
∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.
Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.
S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:
- Sбок — площадь параллелепипеда;
- Р — периметр;
- h — высота, перпендикулярная основанию.
Объем фигуры равен величине смешанного произведения нескольких векторов, выпущенных из единой точки.
Практическое применение
Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.
Доказательство теорем
Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).
Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.
Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.
Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.
Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.
Решение задач
Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.
Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.
Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.
Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).
Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.
Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.
Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:
- 78 = корень из суммы 5508+с2
- 782 = 5508 + с2
- с2 = 6084 — 5508.
- С2 = 576.
Ответ: объем составляет 576.
Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.
KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².
Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.
В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.
Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.
Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.
В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.
Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:
- FK2 + (AC/2)2 = FC2;
- FK2 + 16 = 25;
- FK2 =25−16 = 9;
- FK = 3 см.
Высота фигуры составляет 3 см.
Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Развитие геометрии. Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития.Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены "Началами" Евклида.Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в "Началах" Евклида.
В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.
Параллелепи́пед - (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.
Основные элементы параллелепипеда: 1.Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. 2.Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. 3.Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. 4.Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
У параллелепипедов и только у них любую пару параллельных граней можно принять за основания. В зависимости от выбора оснований можно рассмотреть три высоты.
Свойства параллелепипеда: 1.Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. 2.Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 3.Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники. 4.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Теорема: У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Доказательство Возьмем любые две противолежащие грани параллелепипеда: A1A2A2`A1` и A3A4A4`A3`. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой A4A3, а прямая A1A1` параллельна прямой A4A4`. Следовательно плоскости рассматриваемых граней параллельны. Так как грани параллелепипеда – параллелограммы, то отрезки A1A4, A1`A4`, A2`A3` и A2A3 – параллельны и равны. Следовательно грань A1A2A2`A1` совмещается параллельным переносом вдоль ребра A1A4 с гранью A3A4A4`A3` и, значит, грани равны. Точно также доказывается параллельность и равенство других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
Теорема: Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. Важные свойства параллелепипеда: 1.Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Произвольный параллелепипед. Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения
В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.
Вот так параллелепипед выглядит в развертке.
Различается несколько типов параллелепипедов: 1.Прямоугольный параллелепипед. 2.Прямой параллелепипед. 3.Наклонный параллелепипед. 4.Куб.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;
Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, измерения которого выражены целыми числами: Пусть нам нужно вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 20 см, ширина — 12 см и высота параллелепипеда—5 см. Площадь основания этого параллелепипеда будет равна 20 • 12 = 240 (кв. см). Значит, на его основании в один слой можно уложить 240 кубических сантиметров. Всего таких слоев будет пять. Объём данного параллелепипеда будет равен 240 • 5 = 1200 (куб. см). Если длину основания прямоугольного параллелепипеда обозначим через а, ширину его — через b и высоту параллелепипеда— через с, то получим формулу: V = аbс, где V — объём прямоугольного параллелепипеда
Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Сумма квадратов, диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда: S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac)
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны:
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники.
Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основанию.
Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.
Свойства куба. 1.Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям. 2.В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все.шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба/ 3.В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. 4.Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. 5.В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
Диагональю куба- называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле , где d — диагональ, а — ребро куба.
В данной публикации мы рассмотрим определение, элементы, виды и основные свойства параллелепипеда, в т.ч. прямоугольного. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение параллелепипеда
Параллелепипед – это геометрическая фигура в пространстве; шестигранник, гранями которого являются параллелограммы. Фигура имеет 12 ребер и 6 граней.
Параллелепипед – это разновидность призмы с параллелограммом в качестве оснований. Основные элементы фигуры те же, что и у призмы.
Примечание: Формулы для расчета площади поверхности (для прямоугольной фигуры) и объема параллелепипеда представлены в отдельных публикациях.
Виды параллелепипедов
Свойства параллелепипеда
1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.
2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.
3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b) и высоты (c).
d 2 = a 2 + b 2 + c 2
Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.
Читайте также: