Исторические сведения о многогранниках кратко
Обновлено: 05.07.2024
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
И поэтому целью моей работы стало своеобразное исследование неожиданных сторон привычного для нас школьного предмета.
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел, и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии.
• В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников.
• В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского.
• В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским.
• А в VI книге она прилагается к теории подобных фигур.
• VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам.
• Автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел.
• В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский.
• XI книга содержит основы стереометрии.
• В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец,
• XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.
Не смотря на это, продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой.
Лишь в IXX в. благодаря, в первую очередь, трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского, было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной.
К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.
В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы:
Рассмотрим более подробно один из разделов геометрии – стереометрия.
Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Наряду с этими простейшими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дает нам окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников.
Многогранники. История открытия правильных многогранников.
Существует пять правильных многогранников:
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
Правильные многогранники характерны для философии
Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины:
• жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);
• воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать;
• вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);
• в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно сравнить их с известными нам четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.
Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из n (n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками.
Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.
Правильный многогранник — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.
Придумывать правильный куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы. Например: куб – монокристалл поваренной соли, октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов. Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.
Многогранник называется правильным, если:
2. Все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли , где: p — число сторон каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли тетраэдр 4 6 4
додекаэдр 20 30 12
икосаэдр 12 30 20
Так, лилии и ирисы имеют по три лепестка; лютик – пять лепестков; некоторые дельфиниумы – восемь лепестков; златоцвет – тринадцать, у некоторых астр их двадцать один, а у маргариток почти всегда тридцать четыре, пятьдесят пять или восемьдесят девять лепестков.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
История развития учения о правильных многогранниках
Многогранник называется правильным (рис. 1), если выполняется ряд условий:
грани - равные друг другу правильные многоугольники;
в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер;
все двугранные углы равны.
Рис. 1. Правильные многогранники
История многогранников уходит в глубокую древность и связана с именами таких учёных как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон и Кеплер . Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагор и его ученики занимались изучением правильных многогранников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур [12,с.171].
Они полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов: огня, земли, воздуха, воды. И каждому элементу придавалась соответствующая форма.
Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учёный, философ – идеалист Платон.
Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел (рис.4).
земля гексаэдр
вселенная додекаэдр
Рис. 4. Соотнесение элементов материи и Платоновых тел
Объяснение этих ассоциаций дается таким образом:
жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры );
воздух состоит из октаэдров : его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать;
вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (самая обтекаемая форма у икосаэдров );
в противоположность воде, совершенно непохожие на шар гексаэдры составляют землю, куб ассоциируется с устойчивостью и проводится аналогия тому, что земля рассыпается в руках, а не течет плавно, как вода.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.
за Евклидом изучением многогранников занимался . Убедившись в том, что нельзя шестой , Архимед стал многогранники, у которых являются правильные, но не многоугольники. 13 полуправильных многогранников, которых приписывается .
Рис.6. Архимед ( 287 . — 212 до н. э.) — математик, физик и из Сиракуз. Сделал открытий в геометрии. основы , гидростатики, автор важных изобретений [35, с. 29].
Но 5-ти Платоновых тел было еще раз на небосводе естествознания.
к Европе XVI – XVII вв., жил и творил замечательный астроном, Иоганн Кеплер.
.7 Иоганн Кеплер немецкий математик, астроном , , оптик, законов движения Солнечной системы [15, 19].
Рис 8. Космический кубок .
Сегодня можно с утверждать, что расстояния планетами и их никак не связаны с . Конечно, структура системы не является , но истинные , по которым она устроена так, а не , до сих пор не известны. Идеи оказались ошибочными, но без , иногда неожиданных, не может наука.
Кроме многогранников, из правильных – Платоновых тел получить так называемые звездчатые многогранники. Их четыре. Первые два открыты И. (1571 – 1630 гг.), а два были построены двести лет спустя математиком и Луи Пуансо (1777 – гг.). Именно поэтому звездчатые многогранники название тел – Пуансо. [15 с. 20-25].
Идеи и Кеплера о связи многогранников с гармоничным мира и в время нашли продолжение в интересной гипотезе, которую в 80-х гг. московские инженеры Н. , В. Макаров и В. Морозов [14, с.
Они считают, что ядро имеет и свойства растущего , оказывающего воздействие на всех природных , идущих на .
Рис.9. Слева : Морозов-Гончаров-Макаров.
Лучи кристалла, а точнее, его поле, икосаэдро-додекаэдровую структуру (рис.10). Она проявляется в том, что в коре как бы проступают вписанных в шар правильных многогранников: и додекаэдра.
Рис 10. Икосаэдро-додекаэдровая Земли.
Многие полезных тянутся вдоль сетки; 62 вершины и рёбер многогранников, авторами , обладают рядом свойств, позволяющих некоторые непонятные . Если на глобус очаги крупных и примечательных и цивилизаций Древнего , можно закономерность в их расположении географических полюсов и планеты. Многие полезных тянутся вдоль сетки. Еще более вещи происходят в пересечения ребер. Здесь очаги древнейших и цивилизаций: Перу, Монголия, , Обская культура и . В этих точках максимумы и минимумы давления, завихрения Мирового . В этих узлах озеро Лох-Несс, треугольник. исследования Земли, , определят отношение к научной гипотезе, в , как видно, многогранники занимают место. Итак, изучали учёные , средних , и их идеи оказались современными – это были попытки систематизации нас мира. предвидение Пифагора о том, что откроет человечеству к тайне Мироздания, , хотя пришлось более 2-х .
Александров А.Д. Выпуклые многогранники, М.—Л., Гостехиздат, 1950.
Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.
Александров А.Д. Что такое многогранник? // Математика в школе. – 1981 ,
Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2006.
Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (Геометрия), М:Физматгиз, 1963..
Белим С.Н., Белим С.В. Конструктор оригами. Многогранники. Омск – 2003.
Белим С.Н., Белим С.В. Правильные многоугольники в оригами. Омск – 2003.
Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. - 1966, № 3.
Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985..
Веннинджер М. Модели многогранников. — М. : Мир, 1974.
Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.
Глейзер Г.И. История математики в школе IX–X классы – М.: Просвещение, 1983.
На сегодняшний день стремительно идет развитие строительства городского мегаполиса, поэтому архитекторы стараются разнообразить внешний вид зданий и сооружений. Исследование многогранников может расширить область их применения в современной архитектуре.
Для меня, как для будущего абитуриента института Архитектуры и Дизайна, эта работа может быть перспективна в предстоящем обучении.
Тема моей работы это геометрическаяформа в архитектуре. Я хочу рассмотреть взаимосвязь математики, природы и искусства, и более конкретно исследовать использование многогранников в архитектуре.
Основная цель работы:
Используя правильные геометрические тела, создать макет современного здания.
Задачи:
v Изучить теоретический материал по теме использования многогранников в архитектуре.
v Рассмотреть применение многогранников в мировой архитектуре.
v Рассмотреть применение многогранников в красноярской архитектуре.
v Создать макет современного здания с использованием многогранников.
История и понятие многогранников
Геометрия – наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур.
Разные формы материальных тел с древних времен наблюдал человек в природе: формы растений
и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. В процессе изучения человеком формы и практической деятельности накапливались геометрические сведения, вследствие чего, постепенно создавалась геометрическая наука.
Геометрические знания были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. В этой работе Евклид дал полное математическое описание правильных
многогранников. Он описывает структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и
Многогранником называется тело, граница которого является объединением
конечного числа многоугольников.
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело.
С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией.
Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Мы можем наблюдать, что многогранники окружают нас повсюду, как в природе, так и в искусстве человечества. Использовать многогранники в архитектуре люди стали еще до новой эры, так как форма куба и параллелепипеда является наиболее органичной и удобряй для строительства сооружений
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до
нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские
пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная
пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой
достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат
по геометрии. Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные
модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего
неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях,
которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создаются философские
школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью
которых удалось получать новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в
честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях:
первоосновам бытия - огню, воде земле, воздуху, придавалась форма
соответственно тетраэдра, икосаэдра, куба, октаэдра, а вся Вселенная имела
форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках
изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист
Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями
вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник
- додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Правильным многогранником называется многогранник, у которого все
грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.
Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны,
а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники.
Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными
многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им
подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого
были названы телами Архимеда. Архимедовы тела частично получаются из
Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело есть не что иное, как
тело с отрезанной верхушкой. Так могут быть получены первые пять
архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр,
усеченный куб, усеченный додекаэдр. Вторая группа архимедовых тел
представлена двумя многогранниками, являющимися результатом пересечения
двух платоновх тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Ученые, изучавшие многогранники. Презентация на заданную тему содержит 9 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Древний мир. Значение для наук. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления. Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Древние школы. Пифагор. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, относили к строению материи и Вселенной.
Учение Пифагора В V веке до нашей эры центром дальнейшего прогресса математики становится Южная Италия. Ведущая роль в развитии математики этого периода принадлежит Пифагору (570-470 г. до н.э.). Пифагорейцы занимались изучением правильных многоугольников. Даже отличительным знаком их братства был правильный звездчатый пятиугольник. Именно школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных выпуклых многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия – огонь, земля, воздух и вода – имели формы правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму правильного додекаэдра имела вся Вселенная
Платон Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Иоганн Кеплер Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). В начале своего научного пути И. Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, сделал мнимое открытие, которое на первых порах принесло ему много славы, но от которого впоследствии пришлось отказаться. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. По мнению Кеплера, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.
Московские инженеры Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые явления.
Читайте также: