Индуктивное и дедуктивное умозаключение кратко
Обновлено: 02.07.2024
Умозаключение – логическая операция,цель которой – получить новое суждение (высказывание, вывод, заключение) из нескольких уже имеющихся суждений (посылок).
В самом общем виде разница между дедуктивными и индуктивными умозаключениями состоит в том, что первые – умозаключения от общего к частному, а вторые – от частного к общему. Однако они имеют более значимую разницу.
1. Дедуктивное умозаключение связано с формальной структурой посылок и следствия, а для индуктивного умозаключения принципиальным является содержание.
Если число делится на 2, то оно четно.
Число 10 делится на 2.
Следовательно, число 10 делится на два
Ромашка – цветок с лепестками.
Роза – цветок с лепестками.
Василек – цветок с лепестками
Следовательно, все цветки имеют лепестки
Дуб – лиственное дерево.
Береза – лиственное дерево.
Рябина – лиственное дерево.
Следовательно, все деревья – лиственные.
Последние два примера относятся к индуктивным умозаключениям и для каждого из них содержание является принципиально важным.
2. Дедуктивное умозаключение в выводе содержит информацию, которая в скрытом виде присутствует в посылках. Индуктивные рассуждения приводят к получению принципиально нового знания, на основе того знания, которое содержится в посылках и используется как своего рода подсказка для получения нового знания.
3. В дедуктивных умозаключениях вывод следует логически из посылок, а посылки и форма рассуждения (дедуктивная) обосновывают вывод. В индуктивных – заключение подтверждается посылками в той или иной степени, а вывод носит вероятностный характер.
4. Следующий пункт различия между дедуктивными и индуктивными умозаключениями следует из предшествующего. В дедуктивных умозаключениях истинность вывода гарантируется при условии истинности посылок. В индуктивных – гарантия истины отсутствует.
Индуктивные умозаключения.
Индуктивные рассуждения обобщают опыт человечества. Упрощенно процесс индуктивного рассуждения можно представить следующим образом. Человек, внимательно присматривается к окружающему миру, выделяет повторяющиеся события и процессы, замечает некий общий признак, который их характеризует. Возрастание накопленного знания о повторяющемся признаке приводит к предположению о том, что данный признак является существенным и обязательным для повторяющихся событий. Рассуждая дальше, делается вывод о том, что для всех событий данного рода данный признак является обязательным. Знание, полученное на примере ограниченного количества примеров, распространяется на все без исключения примеры данного рода.
Индукция – процесс получения вывода на основе суждений об отдельных фактах, событиях, процессах. Делая эксперименты, проводя наблюдения, человек получает информацию о происходящем, выделяет общие характеристики и фиксирует это в суждениях. Процесс индуктивного рассуждения движется от единичного, частного, менее общего, к общему. Вывод или заключение, которые получены в конечном итоге, обладают большей степенью общности, чем суждения, из которых они выведены.
Индуктивные рассуждения выстраиваются по общей схеме: на основе знаний, полученных об отдельных вещах, делается вывод обо всех вещах подобного рода. Если в различных обстоятельствах наблюдается большое количество вещей (событий, явлений, процессов) Х, и если все они обладают свойством У, тогда все без исключения Х (в том числе и те, которые не наблюдаются) также обладают свойством У.
Первый банан из этого ящика – вкусный и сладкий
Второй банан из этого ящика – вкусный и сладкий
Третий банан из этого ящика – вкусный и сладкий
Следовательно, все бананы из этого ящика – вкусные и сладкие.
Скорее всего, так и будет, но полностью исключить вероятность, что остальные бананы будут горькими и невкусными – нельзя. Знание об отдельных вещах и его повышение до общего уровня никогда не исключает возможность ошибиться.
История человечества неразрывно связана со знанием, полученным индуктивным путем: полезные и вредные свойства растений и грибов, привычки животных, погодные приметы и многое другое. Индуктивные рассуждения привычны и понятны настолько, что зачастую они делаются автоматически. Однако, как уже было сказано выше, у них есть огромный недостаток – вероятностный характер. Всегда существует возможность ошибиться, не учесть пример, которые отличается от анализируемых, и сделать в результате неправильное заключение.
Обобщающая индукция – вид рассуждения в котором осуществляется переход от знания об отдельных предметах данного класса к знанию обо всех предметах данного класса без исключения. Обобщающая индукция бывает двух типов:
- полная обобщающая индукция
- неполная обобщающая индукция.
Неполная обобщающая индукция свою очередь делится на популярную (случайную) и селективную (научную) индукции.
Полная обобщающая индукция
Полная обобщающая индукция – умозаключение, в котором на основании знания об отдельных предметах некоторого класса, соблюдая условие изучение каждого предмета, входящего в данный класс, делается заключение обо всех без исключения предметов данного класса. Полная обобщающая индукция дает достоверный вывод, ибо в ней рассматриваются все без исключения предметы данного класса. Это отличает ее от других видов правдоподобных рассуждений.
В понедельник на прошлой неделе ярко светило солнце.
Во вторник на прошлой неделе ярко светило солнце.
В среду на прошлой неделе ярко светило солнце.
В четверг на прошлой неделе ярко светило солнце.
В пятницу на прошлой неделе ярко светило солнце.
В субботу на прошлой неделе ярко светило солнце.
В воскресенье на прошлой неделе ярко светило солнце.
Вывод: Во все дни на прошлой неделе ярко светило солнце.
Анализ примера
В неделе семь дней и про каждый из них известно, что ярко светило солнце, следовательно, вывод о том, что во все дни неделе ярко светило солнце является достоверным.
Журналист берет интервью у одной из футбольных команд и узнает, что каждый игрок команды учится в высшем учебном заведении на заочной форме обучения. Вывод о том, что все игроки данной команды учатся в высшем учебном заведении на заочной форме обучения будет истинным.
Формула полной индукции:
S1 есть (не есть) Р;
S2 есть (не есть) Р;
S3 есть (не есть) Р;
Все S есть (Ни одно S не есть ) P .
К недостаткам полной индукции относится ограниченная сфера ее применения. Далеко не в каждой ситуации можно получить информацию о каждом предмет рассматриваемого класса. И если опросить каждого игрока одной команды не представляет сложностей, то для того, чтобы опросить всех футболистов мира, придется потратить гораздо больше усилий. Еще более сложная ситуация возникает, если вместо футболистов речь пойдет обо всех спортсменах мира. И если проанализировать как сдали зимнюю сессию студенты одной группы не представляет сложности, то проанализировать студентов всех вузов во всем мире достаточно проблематично. Ситуацию можно усложнить, и задать вопрос о неисчислимых в принципе вещах, т.е. тех, которые не могут быть подсчитаны: количество бабочек на планете, звезд во Вселенной.
Вывод, который получается в результате полной индукции имеет достоверный характер. Однако полная индукция не дает знание о тех предметах, которые не встречаются/рассматриваются в посылках. Значение полной индукции в том, что мы приобретаем новое знание о полной совокупности рассматриваемых предметов. Рассмотренные в посылках предметы предстают в новом качестве. Если в посылках мы имеем знание об отдельных предметах, то в выводе получаем знание обо всем классе предметов.
Ряд авторов предлагает рассматривать полную обобщающую индукция как вид дедуктивных умозаключений, а не индуктивных. Аргументом выступает то, что заключение в полной логической индукции логически следует из посылок, а этот признак характеризует именно дедуктивные умозаключения.
Сравнительно редко, особенно если речь идет о научном познании, удается охватить все предметы исследуемого класса. В тех случаях, когда такой возможности нет, и заключение делается на основе некоторых предметов, используется неполная обобщающая индукция. По своему механизму неполная индукция похожа на полную индукцию. Сначала в суждениях рассматриваются подобные вещи (события, явления, процессы), потом на основании их делается вывод. Отличие состоит в том, что перечисление не охватывает все объекты данного класса. Если надо выяснить все или не все спортсмены футболисты учатся в высших учебных заведениях, то опрашиваются не все существующие на данный момент спортсмены футболиста, а определенное их количество.
Неполная обобщающая индукцияделится на популярную (случайную, народную) и селективную (научную). В отличие от полной обобщающей индукции, рассмотренной выше, неполная обобщающая индукция дает новое знание о тех предметах, которые не были рассмотрены в качестве примеров. В заключении содержится новое знание по сравнению с тем, которое было в посылках, поэтому неполная обобщающая индукция играет важную роль в научном и обыденном познании.
Популярная индукция по своей сути есть неполная индукция путем перечисления, причем такого перечисления в котором отсутствуют противоречащие примеры. Опасность популярной индукции заключается в том, что какой-либо противоречащий случай не будет учтен, и заключение окажется не верным. Причиной такой ситуации может служить недостаточное знание или редкость проявления противоречащего случая.
Железо — твердое тело;
Медь — твердое тело;
Цинк — твердое тело;
Золото — твердое тело;
Алюминий — твердое тело;
Железо, медь, цинк, золото, алюминий — металлы;
Все металлы — твердые тела.
В данном пример вывод сделан путем неполной индукции случайным способом, через простое перечисление. Проанализировано свойство (твердость) ряда металлов и сделан вывод обо всех металлах. Учитывая, что ртуть, которая также является металлом, не является твердым телом, полученный вывод – ложный. Повторяемость каких-либо свойств у ряда предметов данного класса не является гарантией его наличия у всех предметов, поэтому вывод имеет вероятностный характер.
Необходимо выяснить знают ли студенты университета логику. Если провести опрос среди студентов юридического, философского факультетов и факультета журналистики ответ будет положительным. Если на основе полученных данных сформулировать вывод о том, что все студенты Новосибирского университета знают логику, он будет ложным, т.е. не соответствующим действительности.
Анализ примера
Изучение логики является обязательным для студентов юридического, философского факультетов и факультета журналистики. Они, соответственно, отвечают положительно на вопрос о знании логики. Однако студенты других факультетов, например, факультета естественных наук, не изучают логику. И если бы опрашивали их, то ответ, соответственно, был бы отрицательный.
Опасность индуктивных рассуждений заключается в том, что отсутствует гарантия учета возможных противоречащих случаев. Поспешное обобщение, рассмотренное на вышеприведенном примере, является достаточно распространенной ошибкой.
Научная индукция
- анализ характера связи между исследуемым свойством и предметом, что позволяет выявить является ли исследуемый признак существенным либо случайным для данного предмета;
- обоснование неслучайного характера повторяемости исследуемого свойства, что позволяет дополнительно обосновать значимость исследуемого признака;
- увеличение количества рассматриваемых случаев, что позволяет уменьшить вероятность того, что противоречащий пример не будет замечен;
- увеличение разнообразия исследуемых примеров, что позволяет также, как и предыдущий способ уменьшить вероятность того, что пример, который не соответствует полученному заключению, будет пропущен.
Класс предметов, который исследуются, называют генеральной совокупностью, а те предметы (множество предметов), которые отобраны для анализа – выборкой. Саму неполную индукция, в которой применяются различные способы повышения правдоподобности вывода называют научной индукцией.
Необходимо выяснить, все ли жители г. Новосибирска хотя бы один раз побывали на центральной площади города – площади им. Ленина. Для увеличения степени правдоподобности вывода следует опрашивать жителей г. Новосибирска из разного возраста, пола, социального статуса и т.д.
Необходимо выяснить мнение жителей Российской Федерации о введении прогрессивного налога. Для увеличения степени правдоподобности вывода следует опрашивать представителей разнообразных профессиональных, возрастных, религиозных, национальных и т.д. социальных групп.
Если необходимо выяснить, что все жители г. Новосибирска хотя бы раз в своей жизни побывали на центральной площади г. Новосибирска – площади Ленина, то следует опрашивать жителей г. Новосибирска разного возраста, пола, социального статуса и т.д. Если необходимо выяснить мнение всех жителей Российской федерации о необходимости введения прогрессивного налога, то в числе опрашиваемых также должны входить люди,
Еще одним способом повышения правдоподобности является поиск и проверка гипотезы о том, по какой причине у некоторых предметов данного класса исследуемое свойство может отсутствовать. Акцент в данном случае делается не на подтверждении, а именно на опровержении, т.е. поиске тех возможных случаев и их причин, которые могут опровергнуть полученное заключение. Если необходимо проверить соблюдение временного графика движения автобуса по общественному маршруту в течение года, то необходимо выдвинуть гипотезу о том, когда вероятнее всего могут произойти сбои во времени: сильный мороз и лед, дожди и грязь, часы пик и пробки.
Для того чтобы повысить степень вероятности вывода, полученного с помощью индуктивных рассуждений необходимо рассмотреть следующие вопросы:
1. Достаточно ли суждений, на основе которых делается вывод, т.е. какую часть от всех событий, процессов они составляют.
2. Есть ли уверенность, в том, что суждения о событиях, процессах и предметах являются истинными, т.е соответствуют действительности и отражают то, что имело место быть.
3. Является ли выбор репрезентативным, насколько типичные случаи были выбраны для того, чтобы на их основе сделать вывод.
4. Можно ли найти пример, и нужно очень постараться его найти, который не соответствует полученному выводу.
5. Есть ли альтернативные выводы, т.е. те, которые отличаются от полученного вывода и достовернее, чем он. Или, как минимум равновероятны с ним.
На первые три вопроса следует ответить положительно, на четвертый и пятый – отрицательно.
Несмотря на то, что способы повышения правдоподобности, рассмотренный выше, не дают стопроцентной гарантии правильного результата, они, тем не менее, позволяют делать выводы более обоснованно.
Рассмотренные выше примеры индукции относились к научной (селективной). Особый случай представляют правдоподобные умозаключения на основе причинных связей.
Умозаключения бывают непосредственные и опосредованные. Непосредственные умозаключения делаются из одной посылки, и являют собой уже известные нам действия над суждениями (обращения, превращения, противоставления предикату), а так же преобразование суждений по логическому квадрату. Опосредованные умозаключения делаются из нескольких посылок, о них мы и будем говорить в данной главе.
Существуют такие виды опосредованных умозаключений, их еще называют методами мышления:
Чаще всего не полные индуктивные выводы – неверные. Их преимущество состоит в том, что они направленны на расширения знаний о предмете, могут указать на новые их свойства, в то время как индуктивный метод чаще всего направлен на выяснения уже известных фактов.
Я с некоторыми другими логиками выделяю еще такой вид умозаключения как Абдукция. Абдукция – это вид умозаключения, при котором на основе общего, делается вывод о причине частного, проще говоря – это вывод от общего к причине частного.
Я считаю, на отмену от общепринятого мнения, что именно этот вид умозаключений использовал на самом деле Шерлок Холмс, а так же другие реальные и не реальные детективы.
Чтобы понять, в чем заключается суть Абдукции, ее лучше рассматривать в сравнении с другими видами умозаключения.
Вернемся к дедукции. Мы предположили, что дедуктивный вид умозаключения имеет достоверный характер. Но, тем не менее, надо выделить некоторые правила простого силлогизм, чтобы это было действительно так. Итак, рассмотрим общие правила силлогизма.
1. В силлогизме должно быть только три термина или не должно быть термина, который употребляется в двух значениях. Если такой есть считается, что в силлогизме больше трех терминов, так как четвертый подразумевается. К примеру:
Движение – вечно.
Хождение в университет – это движение.
Хождение в университет – вечно.
3. Термин, который не распределён в одной из посылки, не может быть распределён в выводе. Например:
Все кошки (+) – живые существа (-).
Все собаки (+) – это не кошки (+).
Все собаки (+) – это не живые существа (+).
Как видим следствие такого умозаключения - ложно.
4. Посылки силлогизма не могут быть только отрицательными. Вывод в таком силлогизме в лучшем случае будет вероятностным, но чаще всего его либо вообще невозможно сделать, либо он ложен.
5.Посылки силлогизма не могут быть только частными. Хотя бы одна посылка из силлогизма должна быть общая. В силлогизме, в котором две посылки частные сделать вывод не возможно.
6.Если в силлогизме одна посылка отрицательная, то и вывод будет отрицательным.
7.Если в силлогизме одна посылка частная, вывод из него следует так же только частный.
Следующий вид сокращенного умозаключения – Эпихейрема. Оно являет собой простой силлогизм, в которой две посылки – энтимемы.
Сначала сделаем из двух силлогизмов энтимемы:
Силлогизм №1.
Все то, что ограничивает человеческую свободу, делает его рабом.
Социальная необходимость ограничивает человеческую свободу
Социальная необходимость делает человека рабом.
Теперь сделаем силлогизм из двух энтимем, который и будет нашей эпихейремой:
Социальная необходимость делает человека рабом, потому, что ограничивает человеческую свободу.
Работа – это социальная необходимость, так как является действием, которое дает возможность существовать в социуме.
Работа – делает человека рабом.
Сорит – полисиллогизм, в котором пропущено суждение, связывающее два простых силлогизма, то есть вывод первого силлогизма, который стал первой посылкой второго, попросту упускается.
Все что развивает память и мышления – полезно.
Изучения наук – развивает память и мышления.
Логика – это наука.
Изучения логики – полезно.
Как видим суть силлогизма от того, что оно из полисиллогизма превратилось в сорит, не поменялась.
На этом этапе весьма целесообразно рассмотреть вопрос о том, что представляют собой рассуждения, умозаключения, каковы их структура, виды и критерии правильности, какие умозаключения изучает логика и, в частности, математическая логика.
Умозаключение есть логическая (мыслительная) операция (процедура), состоящая в получении нового суждения (высказывания, утверждения) из одного или нескольких ранее известных суждений. Ранее известные суждения, входящие в состав умозаключения, называются его посылками, а новое суждение называется его следствием (или заключением). С содержательной точки зрения умозаключение есть переход от уже имеющегося (наличного) знания к новому знанию. С формальной точки зрения умозаключение есть переход от посылок к следствию. В логике умозаключение принято представлять в виде фигуры, в которой посылки записаны одна под другой и отделены горизонтальной чертой, под которой записано следствие. Рассуждение есть последовательность умозаключений, причем посылками последующих умозаключений служат следствия предыдущих умозаключений данной последовательности.
Умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Расхожим является мнение о том, что дедуктивные умозаключения — это "умозаключения от общего к частному", а индуктивные — "от частного к общему". Эти "определения" лишь в самых общих чертах характеризуют, в частности, дедуктивные умозаключения. Это одно приведенное свойство еще не является для них определяющим. Дедуктивное умозаключение , прежде всего, основано на анализе формальной (логической) структуры посылок и следствия, индуктивное умозаключение основано на анализе их содержания.
Рассмотрим и проанализируем следующие примеры.
"Если четырехугольник является квадратом, то его диагонали равны"; "Четырехугольник ____________________________________________________________
"Диагонали четырехугольника
"Если число делится на 6, то оно четное"; "Число 18 делится на 6".
____________________________________
"Число 18 четное".
"Дуб — лиственное дерево"; "Береза — лиственное дерево"; "Липа — лиственное дерево".
______________________________________________________________________________
"Все деревья — лиственные.
"Обь замерзает зимой"; "Енисей замерзает зимой"; "Лена замерзает зимой".
_________________________________________________________________
"Все сибирские реки замерзают зимой".
В примерах 7.3 и 7.4 сделаем соответствующие выводы исходя из анализа формальной структуры посылок и следствия, фактически не обращая внимания на их содержание. Более того, с точки зрения логики эти умозаключения представляются одинаковыми, несмотря на то что не имеют между собой ничего общего по содержанию. Это типичные примеры дедуктивных умозаключений. В то же время, переходя от посылок к следствиям в умозаключениях примеров 7.5 и 7.6, мы не можем отвлечься от их содержания. И хотя эти умозаключения также имеют одинаковую структуру, анализ их содержания приводит нас к построению неверного умозаключения. Дело в том, что все посылки каждого из этих умозаключений истинны, но вывод истинен только в примере 7.6, а в примере 7.5 он ложен. Таким образом, умозаключения примеров 7.5 и 7.6 не носят дедуктивный характер, они не основаны на анализе формальной структуры умозаключения, на строгих законах формальной логики. Это — индуктивные умозаключения. Их изучение не входит в задачу формальной логики. Еще более ярким примером индуктивного умозаключения, в котором связь между посылками и следствием является связью не по логической форме, а по содержанию, является следующее умозаключение.
"Спичка зажжена"; "Зажженная спичка поднесена к бумаге".
____________________________________________________
"Бумага воспламеняется".
В нем связь между посылками и следствием носит и вовсе некий физический причинно-следственный характер.
Важнейшим методологическим вопросом, связанным с дедуктивными умозаключениями, является вопрос об определении правильности (верности) умозаключения. Распространенная ошибка здесь состоит в том, что правильность умозаключения отождествляется с истинностью получаемого на основании этого умозаключения вывода: умозаключение считается правильным, если "в результате мы приходим к истине". Это не так. Правильность дедуктивного умозаключения означает, что оно приводит к истинному выводу не всегда, но всякий раз, когда оно исходит из всех истинных посылок. Другими словами, умозаключение считается правильным, если мы, имея посылки и следствия данной структуры (как определено в умозаключении), при условии истинности всех посылок непременно будем получать истинность следствия. Таким образом, чтобы доказать неправильность умозаключения, нужно указать такую его конкретизацию (пример), в которой все посылки были бы истинными, а следствие было бы ложным. Такой пример называется опровергающим (или контрпримером).
Итак, в правильном дедуктивном умозаключении следствие должно быть истинным при условии истинности всех посылок. Отсюда не следует делать вывод, что если среди посылок имеются ложные, то следствие должно быть ложным, хотя и такая ситуация возможна. Следующий пример показывает, что даже при всех ложных посылках правильное умозаключение может дать истинное следствие.
"Если треугольник равносторонний, то он прямоугольный";
"Если треугольник прямоугольный, то его внутренние углы равны".
___________________________________________________________
"Если треугольник равносторонний, то его внутренние углы равны".
Данное умозаключение правильное, так как основано на схеме: фактической ошибки ; если же неправильным является само дедуктивное умозаключение, то говорят о логической ошибке .
В заключение обратим внимание на то, что в отличие от высказываний (суждений), которые делятся на истинные и ложные, умозаключения делятся на правильные и неправильные. Это терминологическое различие не является случайным. Дело в том, что каждое высказывание утверждает наличие или отсутствие у предметов или явлений тех или иных свойств или отношений между ними. Поэтому каждое высказывание имеет в качестве своего "прообраза" некоторые связи и отношения между предметами и явлениями реального мира и допускает, хотя бы в принципе, проверку на истинность. Именно это обстоятельство подчеркивают, говоря, что данное высказывание является истинным или ложным. В то же время в реальном мире не происходит никаких реальных процессов и явлений, которые можно было бы считать "прообразами" логической операции перехода от одних высказываний к другим. Эта логическая операция является чисто умственной, она происходит лишь в нашем сознании и даже в принципе не допускает "проверки на истинность". Выделение правильных умозаключений является одним из видов познавательной деятельности, который связан с другими видами познания и основан в конечном итоге на громадном практическом опыте человечества.
Правильные и неправильные дедуктивные умозаключения
Ранее была разработана теория, позволяющая давать ответ на вопрос, является ли та или иная формула логическим следствием данной совокупности формул или нет, а также находить все логические следствия из данных формул. Применим ее к рассуждениям, представляющим собой последовательности высказываний (суждений), для того чтобы определить, правильно рассуждение или нет, т.е. правильное или неправильное умозаключение сделано с помощью данного рассуждения из данных посылок.
Пример 7.9. Рассмотрим следующее рассуждение: "Если четырехугольник , а структура заключения — формулой подставить в формулы высказывание "Четырехугольник . Поэтому приведенное рассуждение является правильным, и сделанное заключение действительно следует из посылок.
Рассуждения такой формы нередки в математике. Приведем еще одно подобное рассуждение: "Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3. 10 делится на 3. Следовательно, 100 делится на 3". Проведенное рассуждение правильно, но его заключение ложно. Это обстоятельство не должно нас смущать: ведь правильное рассуждение приводит к истинному утверждению при условии, что все посылки рассуждения были истинными. В данном случае из двух посылок одна не является истинной.
Пример 7.10. Рассмотрим следующее рассуждение: "Если курс математической логики неинтересен, то он полезен. Курс математической логики бесполезен или нетруден. Курс математической логики труден. Следовательно, этот курс интересен". Введем обозначения:
"Курс математической логики интересен";
Тогда для ответа на вопрос, правильно ли приведенное рассуждение, нужно выяснить, справедливо ли следующее логическое следование:
Покажем, что оно справедливо. На основании равносильности из теоремы 4.4, у вторую посылку можно заменить на . Далее по правилу 6.14 имеем . Затем по правилу 6.13 . Последняя формула, на основании равносильности из теоремы 4.4, пункт а), равносильна формуле . Учитывая свойство выводимости, установленное в теореме 6.5, пункт б), заключаем, что рассматриваемое логическое следование справедливо, и, таким образом, данное рассуждение правильно.
Обратим особое внимание на два типа наиболее часто встречающихся неправильных рассуждений. Первое рассуждение выглядит так. Мы исходим из некоторого предположения и, правильно рассуждая, приходим к правильному выводу. Отсюда делаем вывод, что сделанное предположение верно. С точки зрения математической логики схема этого рассуждения такова: из истинности утверждений
Пример 7.11. "Если число натуральное, то оно рациональное . Число 17 рациональное . Следовательно, число 17 натуральное ".
Пример 7.12. "Если число натуральное, то оно рациональное . Число рациональное . Следовательно, число натуральное ".
В каждом из этих рассуждений обе посылки являются истинными утверждениями. Но в первом случае мы приходим к истинному заключению (число 17 — натуральное), а во втором — к ложному (число не натуральное). Это означает, что неверной является сама схема построения умозаключения, примененная в этих примерах. Неверность, неправомочность схемы означает, что между посылками и заключением нет отношения логического следования. Здесь еще раз уместно подчеркнуть, что правильность умозаключения определяется формой умозаключения, а не истинностью входящих в него утверждений. Иначе говоря, анализируя правильность рассуждения, нужно помнить о том, что его правильность не совпадает с истинностью полученного заключения. Схема умозаключения — это и есть то, что изучает логика, а истинность утверждений, входящих в рассуждение, — это прерогатива той науки (или практики), откуда взяты эти утверждения. Развивая эту мысль, можно заметить, что и термин "следует" употребляется в разных смыслах. Важно понимать существенное различие между следованиями:
Первое — утверждение логики, т.е. логическое следование, второе — как свойство отношения порядка в каком-то числовом множестве, есть некое математическое следование (т. е. следование в рамках некоторой математической теории). Мы придем к подробному рассмотрению этой связи в гл. 6 при уточнении понятия доказательства.
Итак, неправильность рассмотренной схемы рассуждений приводит к тому, что относительно исходного предположения нельзя сделать вывод о его истинности: оно может быть как истинным, так и неистинным, причем его истинность или ложность никак не связаны с проведенным рассуждением. Этот же вывод подтверждает математическая логика: логическое следование несправедливо, потому что формула не является тавтологией (проверьте!).
Тем не менее рассуждения по указанной схеме нередко встречаются в школьной практике, особенно в алгебре и тригонометрии. Так, при доказательстве тождества рассуждения начинаются именно с этого тождества: обе его части преобразуют так, что оно превращается в некоторое очевидное тождество. После этого делается заключение о том, что исходное тождество верно. Узнаете рассмотренную схему? Например, при доказательстве тригонометрического тождества
можно встретить такие рассуждения. "Умножим обе его части на . Получим:
Сгруппируем слагаемые в правой части:
Продолжим группировку в правой части:
Поделим обе части на
В данном случае правильным доказательством будет проведение рассуждений в обратном направлении, от известного (очевидного) тождества к исходному, данному тождеству. Эти рассуждения-преобразования здесь проделать можно и тем самым действительно доказать данное тождество. Но нередко умозаключение по такой неверной схеме приводит к ошибкам, т.е. к ложным утверждениям. Такие рассуждения иногда относят к разряду занимательной математики, где они получили название "парадоксов" или "софизмов".
Пример 7.13. Рассмотрим пример софизма. Докажем, что . Из чисел 3 и 7 вычтем одно и то же число 5. Получим: и .
Ясно, что полученное заключение ложно. Проанализируем проведенное рассуждение, чтобы обнаружить допущенную ошибку. Рассуждение состоит из трех шагов. Выделим эти шаги более отчетливо.
Первый шаг (вычитание из целых чисел 3 и 7 целого числа 5). Первая посылка "Если и и ".
Данное умозаключение сделано по правилу modus ponens : и потому является правильным.
Второй шаг (возведение чисел –2 и 2 в квадрат). Первая посылка и
Умозаключение и здесь сделано по правилу modus ponens : , и потому и на этом шаге рассуждения ошибка не допущена.
Третий шаг (заключение о равенстве чисел 3 и 7). Первая посылка ".
На данном этапе рассуждения умозаключение сделано по схеме: , которая не является правильной. Следовательно, в этом умозаключении сделана логическая ошибка, которая и привела к ложному выводу, несмотря на то что исходили мы из всех истинных посылок.
Второй распространенный тип неправильных рассуждений выглядит так. Мы исходим из некоторого неверного предположения и, правильно рассуждая, приходим к некоторому выводу. Отсюда делаем заключение, что полученный вывод неверен. С точки зрения математической логики схема этого рассуждения такова: из истинности утверждений . Следующие два примера рассуждений, основанных на этой схеме, позволяют ответить на вопрос о ее правомочности.
Пример 7.14. "Если число натуральное, то оно рациональное . Число не натуральное . Следовательно, число не рациональное ".
Пример 7.15. "Если число натуральное, то оно рациональное . Число . Следовательно, число ".
В каждом из этих рассуждений обе посылки являются истинными утверждениями. Но в первом случае мы приходим к ложному заключению (число — рациональное), а во втором — к истинному (число , в чем нетрудно убедиться, проверив, что формула не является тавтологией.
Дедукция или Дедуктивное умозаключение – это одна из двух основных форм логического рассуждения основанная на идеи о том, что если что-то справедливо для целого класса вещей, то это является справедливым и для всех членов данного класса.
Что такое ДЕДУКЦИЯ – простыми словами. МЕТОД ДЕДУКЦИИ
Простыми словами, Дедукция – это вариант мышления, при котором человек делает определенные логические выводы, основываясь на знаниях о классе вещей в целом, и переносит определенные черты на конкретную вещь. Другими словами, можно сказать что дедукция, это вариант логических рассуждений, направленных от общего к частному.
Несмотря на витиеватость определения, само понятие дедукции является весьма простым, особенно если понимать принцип работы дедуктивного метода. Итак, Дедуктивный метод работает следующим образом: Если мы знаем, что все представители определенного класса обладают каким-то свойством, то при рассмотрении одного из представителей этого класса, справедливо будет предположить, что и он обладает этим свойством. Так к примеру: Если мы знаем, что все люди смертны, а гипотетический Сережа — человек, то, следовательно, он тоже смертен.
Пример ДЕДУКЦИИ
- У всех птиц есть перья. Попугай – это птица, следовательно, у попугая есть перья;
- В красном мясе содержится железо. Говядина — красное мясо, поэтому в говядине есть железо;
- Рептилии – холоднокровные, а змеи, это рептилии. Следовательно, змеи – холоднокровные;
- Если A = B и B = C, то A = C;
Что такое ИНДУКЦИЯ – простыми словами определение, значение.
Индукция или Индуктивное рассуждение — это метод построения логического умозаключения основанный на принципе: от частного к общему. Так к примеру, если мы видим, что гипотетический Сережа умер, и он является человеком, то можно предположить, что все люди смертны .
Подведя итог, про дедукцию и индукцию можно сказать что:
Индуктивные и дедуктивные рассуждения — это два противоположных, но не исключающих друг друга подхода, которые можно использовать для оценки выводов. Дедуктивное рассуждение предполагает наличие общего утверждения, из которого в дальнейшем и строится вывод о частном случае. С другой стороны, индуктивное рассуждение берет за основу серию частных случаев из которых и формируется общая теория. Подходы имеют различия, но важно понимать, что как индуктивное, так и дедуктивное рассуждение может оказаться ложным особенно если исходная предпосылка аргументации неверна. Оптимальным вариантом при построении логических выводов является использование комбинации этих методов.
На заметку: Шерлок Холмс ( литературный персонаж, созданный Артуром Конан Дойлом ) – не использовал только дедуктивный метод. В большинстве случаев он строил свои выводы используя модель индуктивных рассуждений.
Читайте также: