Идеальный приемник котельникова кратко
Обновлено: 05.07.2024
Для оптимального когерентного приема необходимо выполнение следующих условий: передаваемые сигналы полностью известны и могут быть точно воспроизведены в приемном устройстве;
канал связи гауссов с постоянными параметрами, искажения сигналов в канале отсутствуют; спектральная плотность аддитивной помехи известна; синхронизация принимаемых и опорных сигналов, является идеальной.
Постановка задачи оптимального когерентного приема дискретных сигналов следующая. Передаваемые сигналы поступают на вход гауссова канала с флуктуационной помехой принимаемый сигнал
Требуется построить оптимальный алгоритм различения сигналов приемником и оценить потенциальную помехоустойчивость оптимального когерентного приема.
6.3.1. Оптимальный алгоритм когерентного приема. Для построения оптимального алгоритма используем критерий максимального правдоподобия (6.29). Так как передаваемые детерминированные сигналы в месте приема известны, то функция правдоподобия как плотность распределения принятого сигнала полностью определяется -мерной плотностью распределения помехи Поэтому
Воспользуемся (2.43), тогда
где спектральная плотность помехи; полоса, пропускания приемника. Выразим функцию правдоподобия (6.32) через разность принятого и передаваемого сигналов.
Значения можно рассматривать как отсчеты помехи в орто тональном разложении Котельникова. В соответствии с равенством: Парсеваля (2.14) энергия помехи, выделенная за время действия сигнала,
Отсюда следует, что
Следовательно, алгоритм оптимального когерентного приема (оптимального различения) сигналов
Очевидно, что операция (6.36) имеет место тогда, когда обеспечивается
Анализируя алгоритм (6.37), можно заметить, что идеальный приемник Котельникова определяет в гильбертовом пространстве сигналов расстояние между принятым сигналом и всеми сигналами из ансамбля передаваемых и принимает решение, что передавался тот сигнал, к которому принятый ближе всего. В основе различных структурных схем оптимального приемника обычно лежит рассмотренная в § 6.1 схема линейной обработки сигналов. Отличие схем состоит в том, что используется различная аппаратурная реализация схем линейной обработки.
6.3.2. Оптимальный корреляционный приемник. Рассмотрим построение структурной схемы оптимального корреляционного приемника двоичных сигналов, в котором вычисляют взаимокорреляционные функции принятых и передаваемых сигналов. Для двоичных сигналов алгоритм (6.37) приводит к неравенству
Если (6.38) справедливо, принимается оптимальное решение о том, что передавался сигнал если нет, то сигнал
Преобразуем неравенство (6.38) к виду, более удобному для аппаратурной реализации без применения сумматоров и
квадраторов. После возведения разностей в квадрат и сокращения подобных членов получим
В левой части неравенства (6.39) взаимные энергии (6.40) принятого и опорных сигналов пропорциональны взаимокорреляционным функциям
принятого сигнала с передаваемыми. Правая часть неравенства равна половине разности энергий передаваемых сигналов Если энергии сигналов одинаковы, то неравенство 6.39) принимает простой вид
Следовательно, при оптимальном различении сигналов решающая схема выделяет сигнал более коррелированный с принятым. Функционалы (6.40) полностью совпадают с функционалом (6.1).
Рис. 6.3. Оптимальная структурная схема корреляционного приемника
Рис. 6.4. Графики сигнала и характеристики согласованного фильтра
Поэтому схема корреляционного приемника включает две схемы линейной обработки сигналов, нагрузкой которых является решающая схема, реализующая условие (6.41). Структурная схема оптимального корреляционного приемника показана на рис. 6.3.
6.3.3. Оптимальный приемник на согласованных фильтрах. Недостатком схемы корреляционного приемника является необходимость использования опорных сигналов. Этот недостаток можно
устранить, если при построении структурной схемы приемника использовать согласованные фильтры.
Фильтр, импульсная характеристика которого
называют согласованным с сигналом Импульсной реакцией его является сигнал в обратной временной последовательности (начиная с момента времени и кончая График (рис. 6.4) получается как зеркальное отражение графика относительно вертикали, которая делит интервал пополам (штрих-пунктирная прямая на рис. 6.4). При так как отклик фильтра не может предшествовать воздействию. При может иметь произвольное значение, так как после взятия отсчета в момент времени выполняется сброс накопленного на фильтре значения сигнала, схема обработки возвращается в исходное состояние и готова к следующему циклу работы.
Рис. 6.5. Оптимальный приемник на согласованном фильтре
При воздействии сигнала на вход согласованного фильтра значение сигнала на выходе фильтра в момент отсчета равно
Сигналы (6.43) полностью совпадают с сигналами (6.40), что подтверждает возможность использования согласованных фильтров в схеме оптимального приемника. На первый взгляд кажется, что схема оптимального приемника двоичных сигналов должна включать два согласованных фильтра. Однако схему можно упростить, если неравенство (6.41) представить в виде
и выбрать согласованный фильтр с характеристикой
На рис. 6.5 показана структурная схема оптимального приемника двоичных сигналов в одном согласованном фильтре. Устройство синхронизации обеспечивает запуск схемы в момент прихода сигнала и отсчет значения сигнала на выходе фильтра в момент Линейная обработка сигналов согласованным фильтром существенно упрощает схему приемника. Задача синтеза оптимального приемника сводится к задаче синтеза оптимального линейного фильтра с постоянными параметрами. Для ее решения
можно применить разложение (6.45) по ортогональным полиномам И методы теории аппроксимации функций. Согласованный фильтр для сигналов произвольной формы можно построить и на основе неискажающей длинной линии.
6.3.4. Частотная и фазовая характеристики согласованного фильтра. Частотная характеристика
Определим связь амплитудно-частотной характеристики фильтра со спектральной плотностью сигнала Введем промежуточную переменную тогда
где функция, комплексно-сопряженная со спектром сигнала
Сравнение (6.47) и (6.48) показывает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра
Выходной сигнал фильтра при действии на его входе сигнала
В соответствии с теоремой Релея при выходной сигнал
При все спектральные составляющие выходного сигнала совпадают по фазе и в сумме образуют максимальное значение рйнпое энергии входного сигнала. Во все другие моменты времени фягш спектральных составляющих различны
Для некоторых сигналов согласованные фильтры оказываются сложными в настройке и регулировке. Поэтому находят применение квазиоптимальные фильтры, которые согласованы с сигналами только по полосе пропускания. Например, для радиоимпульса прямоугольной формы длительностью оптимальная полоса фильтра с прямоугольной частотной характеристикой Отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра на 15—20% меньше по сравнению с согласованным фильтром [2, 9].
Если помеха не является белым шумом, то для получения минимальной мощности помехи на выходе согласованного фильтра значения коэффициента передачи фильтра должны быть прямо пропорциональны спектральной плотности входного сигнала и обратно пропорциональны спектральной плотности помехи. В этом случае
6.3.5. Потенциальная помехоустойчивость оптимального когерентного приемника. Для определения потенциальной помехоустойчивости необходимо определить эквивалентное отношение сигнал/шум (6.12) для различения сигналов и использовать соотношение (4.31). Ошибка в различении двоичных сигналов происходит, когда
а неравенство (6.39) не выполняется из-за действия помехи. Подставим (6.54) в (6.39) и учтем, что неравенство не выполняется. После алгебраических преобразований получим
Вероятность выполнения неравенства (6.55) является, очевидно, минимальной вероятностью появления ошибки.
Левая часть неравенства представляет помеху на выходе согласованного фильтра, а правая — полезный сигнал, энергия
которого равна половине энергии разности сигналов. Используя (6.4), (6.9) и (6.15), получаем отношение сигнал/шум на выходефильтра
С учетом (4.31) вероятность появления ошибки
где функция Крампа (2.88).
Из (6.57) следует, что минимальная вероятность ошибки при оптимальном когерентном приеме определяется энергией разности сигналов и спектральной плотностью помехи.
С учетом (2.100) представим отношение сигнал/шум в виде
где - расстояние между сигналами в гильбертовом пространстве. Анализ (6.58) показывает, что минимальная вероятность ошибки падает с ростом расстояния между сигналами и длительности сигналов и растет, если увеличивается спектральная плотность помехи. Следовательно, потенциальная помехоустойчивость зависит не только от энергии сигналов, но и от их взаимной энергии (2.11).
6.3.6. Потенциальная помехоустойчивость систем с фазовой телеграфией (ФТ), частотной телеграфной (ЧТ) и с амплитудной манипуляцией (АМн). Рассмотрим, как влияет выбор разности энергии сигналов на потенциальную помехоустойчивость различных систем. Выразим через энергию отдельных сигналов и Нормированную взаимокорреляционную функцию сигналов, тогда
Для систем с активной паузой, к которым относятся системы с ФТ и ЧТ, сигналы имеют одинаковую энергию поэтому
Если сигналы одинаковы по форме, но противоположны, например
Такие сигналы используют в системе с ФТ, когда разность фаз сигналов равна . Если сигналы ортогональны, что соответствует ЧТ, то и
В системах с пассивной паузой, к которым относится система с амплитудной манипуляцией, поэтому а
Условно можно полагать, что для таких систем
Сравнение потенциальной помехоустойчивости различных систем показывает, что наибольшую помехоустойчивость
обеспечивает ФТ. При одинаковой минимальной вероятности ошибки энергия сигналов ФТ может быть в четыре раза меньше энергии АМн сигналов и в два раза меньше энергии сигналов ЧТ.
Следовательно, режим обратной работы устраняется путем увеличения (примерно вдвое) вероятности появления ошибки. Таким образом, при ОФМ вероятность ошибки
6.3.8. Потенциальная помехоустойчивость многопозиционных систем. При различении сигналов для получения вероятности ошибки необходимо анализировать условия совместного выполнения неравенства типа (6.38). Для симметричного канала с аддитивной помехой вероятность совместного выполнения этих неравенств
где вероятность ошибки в системе с активной паузой и противоположными сигналами. Так как используя формулу бинома Ньютона, получим
Из формулы (6.67) следует, что при одинаковых энергиях сигналов в системах с разными вероятность ошибки растет линейно с ростом Однако отсюда не следует, что -ичные системы обладают меньшей потенциальной помехоустойчивостью, чем двоичные. Необходимо учесть, что один -ичный равновероятный символ несет в раз большее количество информации. Поэтому сравнение -ичных и двоичных систем необходимо производить при одинаковой скорости передачи информации и при одинаковых энергиях сигналов.
Энергия сигналов -ичной системы где энергия двоичных сигналов. Вероятность ошибки при различении сигналов приближенно определяется соотношением
Анализ выражения для вероятности ошибки удобнее производить, используя асимптотическую формулу для функции Крампа [1], справедливую при больших значениях х
Из формулы (6.70) следует, что при Это соответствует выводу, следующему из основной теоремы Шеннона о существовании оптимального кодирования для канала с шумом. Из (6.68) как частный случай при следует (6.57).
Сравнение (6.68), (6.70) и (6.57) показывает, что -ичные системы имеют более высокую потенциальную помехоустойчивость, однако техническая реализация многопозиционного кодирования сложнее. Поэтому многопозиционные сигналы еще не нашли широкого практического применения, а для повышения помехоустойчивости бинарных систем используют корректирующие коды.
Оптимальный когерентный прием сигналов имеет следующие особенности: при равновероятных сигналах работа оптимального приемника не зависит от интенсивности помех — приемник переходит в инвариантный режим; при флуктуационных помехах не требуется фильтрация входных сигналов; помехоустойчивость оптимального приемника не зависит от ширины полосы пропускания.
Рассмотрим систем у передачи информации, в которой передаются два сигнала и одинаковой длительности , произвольной (но известной) формы, априорные вероятности и ; помехи в канале флуктуационные, ФВП которых имеет вид гауссовского закона
где – дисперсия (мощность) помех.
Задан критерий оптимального приема: идеальный наблюдатель (или наблюдатель В.А.Котельникова), который минимизирует среднюю вероятность ошибки
Найдем оптимальное правило решения и структурную схему оптимального приемника (оптимального РУ) для указанных выше условий передачи сигналов и .
Для решения задачи используем общее для приемников двоичных сигналов правило решения (9.7). В рассматриваемом случае
Если , то принимается решение в пользу сигнала , иначе .
Для упрощения решения положим вначале, что ; тогда . В этом случае критерий идеального наблюдателя совпадает с критерием максимального правдоподобия.
Для определения функции правдоподобия и , которые при произвольной длительности сигналов будут многомерными. Предположим, что на вход приемника поступает сигнал
например, рис. 9.4.
Возьмем отсчетов сигнала через одинаковые интервалы , равные интервалу корреляции помехи .
В первом сечении ;
Во втором случае ;
В k-ом сечении .
Рисунок 9.4. Сигнал на входе приемника
Рассмотрим отсчетные значения суммы сигнала и помехи в различных сечениях . Т.к. расстояние между сечениями равно интервалу корреляции помехи, эти сечения не коррелированны. А т.к. помеха распределена по гауссовскому закону, то эти сечения также и независимы.
Плотность вероятности случайной величины в k-ом сечении при известном сигнале определяется выражением
а k-мерная плотность вероятности благодаря независимости сечения будет равна произведению одномерных плотностей вероятностей различных сечений.
Аналогичное выражение можно записать для сигнала , заменив в последнем выражении на .
Тогда отношение правдоподобия
и, согласно правилу решения (9.8), если вычисленное значение (у нас ), то приемник должен выдать сигнал , в противоположном случае – сигнал . Отсюда получаем оптимальное правило решения в виде неравенства
Прологарифмируем это выражение:
или в другом виде
Таким образом, оптимальный приемник (идеальный приемник Котельни-кова) работает следующим образом: определяется среднеквадратическое отклонение поступившего на его вход сигнала от обоих ожидаемых сигна-лов и выносится решение пользу того сигнала, где это среднеквадратическое отклонение меньше.
Если при вычислении условных вероятностей расстояние между сечениями устремить к нулю, т.е. сделать меньше интервала корреляции помехи, работа приемника не улучшиться, т.к. соседние сечения будут сильно коррелированы, но и не ухудшится. Поэтому в правиле решения (9.19) можно заменить суммирование интегрированием.
В интегральной форме получим
или более компактно (черта означает усреднение по времени)
В соответствии с полученным правилом решения структурная схема приемника будет иметь вид, приведенный на рис. 9.5. Схема содержит два генератора опорных сигналов: и , которые генерируют точно такие же сигналы, которые могут поступить на вход приемника, а также два вычитающих устройства, два квадратора, два интегратора и схему сравнения, которая, в соответствии с неравенством (9.21), выдает сигналы и .
При этом следует подчеркнуть, что приемник Котельникова, как и многие другие приемники дискретных сигналов, выдает на выходе сигналы (решения), форма которых обычно отличается от формы сигналов в линии связи и . Например, в линии связи эти сигналы могут представлять собой импульсы дискретной частотной модуляции, а на выходе приемника получаем импульсы постоянного тока прямоугольной формы.
Если вероятности передачи сигналов и не одинаковы, т.е. , то неравенство (9.21) принимает несколько другой вид
а в структурной схеме перед схемой сравнения добавляются выравнивающие устройства – В (показаны пунктиром).
Может показаться, что приведенная на рисунке схема приемника достаточно проста. Однако применяющиеся в схеме местные генераторы и должны выдавать сигналы, по форме идентичные передаваемым сигналам, ожидаемым на входе приемника; поэтому эти генераторы должны синхронизироваться приходящими сигналами, а это сделать довольно трудно.
27 Оптимальный приемник Котельникова для полностью известных сигналов.
Оптимальный приемник – приемник, который обеспечивает максимум помехоустойчивости при заданных сигналах и заданной помехи. Потенциальная помехоустойчивость – тот предел помехоустойчивости приема при заданном методе передачи и заданном уровне помехи. Оптимальный приемник наилучшим образом обрабатывает поступающий на его вход сигнал. Он обеспечивает большое отношение сигнал/шум и маленькую вероятность ошибки одновременно. Такой приемник называется приемником Котельникова. Приемник Котельникова называется еще когерентным, то есть нужно знать все параметры сигнала и когда он передавался.
Существует две схемы приемника Котельникова:
1/ T ∫( z ( t )- x 1( t )) 2 dt T ∫( z ( t )- x 2( t )) 2 dt => x 1
1/ T ∫( z ( t )- x 1( t )) 2 dt > 1/ T ∫( z ( t )- x 2( t )) 2 dt => x 2
В идеальном приемнике Котельникова решение принимается в пользу того сигнала, для которого минимально среднеквадратическое отклонение от смеси сигнала и шума приходящего на вход.
Оптимальный приемник обеспечивает максимальную помехоустойчивость при данном способе передачи и данном виде помех.Оптимальный приемник-это приемник, наилучшим образом с точки зрения заданного критерия качества использующий известные параметры сигнала для определения (измерения) неизвестного параметра сигнала.
Оптимальный приемник в отличие от неоптимального - это когерентный приемник, в котором применяется интегратор (в приемнике Котельникова) или оптимальный фильтр.
Критерии качества помехоустойчивости приемников
S1(t), S2(t)-передаваемые сигналы.
y(t)=Si(t)+п(t)-сигналы на входе приемника; п(t)-помеха.
а) Критерий минимального среднего риска:
Оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска Rср=П12·Р(S1)·Р(y2/S1)+П21·Р(S2)·Р(y1/S2). Приемник должен принимать решение таким образом, чтобы получить минимум Rср при заданных весовых коэффициентах П12 и П21.
б) Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)
Данный критерий минимизирует среднюю вероятность ошибки. При П12=П21
в) Критерий Неймана-Пирсона
Решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность пропуска сигнала
Задается вероятность пропуска сигнала S1, т.е. P(y2/S1)=a. Tогда минимизируется условная вероятность P(y1/S2) при обеспечении заданного значения а.
г) Критерий максимального правдоподобия. Этот критерий минимизирует потери информации lп=Р(y1/S2)+Р(y2/S1). Получается из критерия минимального среднего риска при условии
Применяется, когда необходимо уменьшить вероятность искажения того сигнала, вероятность передачи которого меньше, а также при неизвестных априорных вероятностях P(S1) и P(S2).
Оптимальный приемник полностью известных сигналов
Алгоритм работы оптимального приемника
Оптимальный приемник – это такой приемник, который обеспечивает максимальную помехоустойчивость при данном способе передачи (данном виде сигнала) и данном виде помех. Оптимальный приемник полностью известных сигналов использует все параметры сигнала, не несущие информацию. Пусть S1(t)=Acos w1t, S2(t)=Acos w2t, 0 λo, то принимается решение в пользу сигнала S1, иначе S2. Для упрощения решения полагаем, что P(S1)=P(S2)=0,5. Тогда λо=1. В этом случае критерий максимального правдоподобия и критерий идеального наблюдателя совпадают.
2. Предполагаем, что на вход приемника поступает сигнал x(t)=S1(t)+п(t). Берется k отсчетов сигнала через одинаковые интервалы Δt, равные интервалу корреляции помехи τoп и рассматриваются отсчетные значения суммы сигнала S1(t) и помехи п(t) в различных сечениях ti. Получаем, что оптимальное правило решения имеет вид:
то S1.
В интегральной форме это выражение:
то S1.)
В компактной форме:
если то S1. Если вероятности передачи сигналов S1(t) и S2(t) не одинаковы, то неравенство принимает вид:
то S1.
Полученному правилу соответствует структурная схема приемника:
-2σП 2 LnP(S2)
Рис.5. Структурная схема оптимального приемника
Сложность реализации в том, что генераторы S1(t) и S2(t) должны выдавать сигналы, идентичные по форме сигналам, ожидаемым на входе приемника, поэтому эти генераторы должны синхронизироваться приходящими сигналами.
Оптимальный некогерентный ОФМ приемник содержит вместо ФНЧ оптимальный фильтр.
Вероятность ошибки в оптимальном приемнике
В приемнике Котельникова вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Для оптимального ОФМ приемника
Читайте также: