Физический смысл производной второго порядка кратко
Обновлено: 30.06.2024
На прошлом уроке мы узнали, что такое производная. Оказывается, это понятие имеет несколько смыслов, которые и определяют сферу ее использования.
План урока:
Физический смысл производной
Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t). Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t. Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.
Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t). Но если поменять букву t на х, а s на t, то окажется, что поиск мгновенной скорости в момент времени t0 – это тоже самое, что и поиск производной функции s(t) в точке t0. Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):
Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле
где v – скорость.
Значит, закон движения тела будет выглядеть так:
Найдем производную в произвольный момент времени t0. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t0 производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке t0 значение функции равно
Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t0 + ∆t функция будет равна
Найдем приращение функции ∆s:
Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t0. Далее найдем отношение ∆s/∆t:
Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:
Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.
Геометрический смысл производной
Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х0 (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х0 + ∆х, которую обозначим буквой В. Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей. Проведем также касательную к графику функции в точке А:
Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:
Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.
Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:
Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:
Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):
Отсюда следует, что значение производной в точке х0 совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.
С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:
Поэтому касательную к графику в точке х0 определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.
Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику
в точке х0 = 2.
Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х0:
Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х0 + ∆х):
Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х0:
Отношение ∆у/∆х можно определить так:
Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:
Значит, и производная в точке х0 = 2 будет равна 1:
Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть
Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:
Связь производной с возрастанием и убыванием функций
Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:
Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα > 0.
Однако это тангенс равен значению производной. Значит, она также положительна, если функция возрастает.
Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:
Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.
Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х0 = 3π/4, не вычисляя её.
Решение. График у = sinx выглядит так:
Точка х0 = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: Производная отрицательна.
Производная как функция
До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х0). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х0 соответствует какое-то число у′(х0). Но если есть соответствие между числами х0 или у′(х0), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.
Объясним, чем отличаются обозначения у′(х0) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х0) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = с osx или у = х 3 . Подставив в выражение у′(х) значение х0, можно узнать и у′(х0).
Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х0). Только вместо значения х0 не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.
Пусть есть функция у = х 2 . Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение ∆ х. В результате попадем в новую точку (х + ∆ х). Вычислим значения функции у = х 2 в точках х и (х + ∆ х):
Далее находим величину ∆ у:
Следующий шаг – вычисляем отношение ∆ у/ ∆ х:
Осталось найти предел отношения ∆ у/ ∆ х при ∆ х → 0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?
Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:
Итак, мы получили, что (х 2 )′ = 2 x . Эту формулу производной для функции у =х 2 стоит запомнить.
Скажем сразу, что пока мы будем в основном рассматривать примеры, где необходимо продифференцировать функцию у = х 2 , так как ее производная имеет простой вид и уже найдена нами. В следующих уроках мы научимся дифференцировать другие, значительно более сложные функции.
Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках. Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение ∆ x , искали соответствующее ему значение ∆ у, вычисляли бы отношение ∆ у/ ∆ х, а потом находили бы предел этого отношения. То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х0 и сразу находить производную.
Задание. Найдите производную функции у = х 2 в точке х0 = 100.
Решение. Известно, что (х 2 )′ = 2 x , то есть для функции у = х 2 производная равна
Подставим значение х0 = 100 в производную:
Задание. К графику у = х 2 в точках х1 = 0,5 и х2 = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?
Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:
Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х 2 в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то
Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:
Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.
Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:
Мы нашли, что ∠ ВСЕ = 45° и ∠ А DC = 135°. Тогда
Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас ∠ DOC . Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:
В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.
Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s ( t ) = t 2 . Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.
Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s ( t ) = t 2 имеет вид s ′( t ) = 2 t . Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:
Так как s ′( t ) = 2 t , а скорость равна производной, то есть v ( t ) = s ′( t ), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v ( t ) = 2 t . Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):
Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.
Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s ( t ), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s ′( t ) совпадает с графиком скорости v ( t )
Вторая производная функции и ее физический смысл
Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.
Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.
Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v ( t ), то есть а( t ) = v ′( t ). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s ( t ), то есть v ( t ) = s ′( t ). Тогда получается, что
То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s ′′( t ) в момент t 0 равна ускорению тела в этот самый момент.
Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s ( t ) = t 2 . Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v ( t ) = 2 t . Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.
Для этого возьмем производную от функции v ( t ) = 2 t . Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆ t , в результате получим новый аргумент ( t + ∆ t ). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:
Теперь мы можем найти приращение функции ∆ v , соответствующее приращению ∆ t
Далее находим отношение ∆ v / ∆ t :
Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:
Итак, получили, что производная v ′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с 2 .
Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:
где F – это сила, действующая на тело;
Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде
И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.
Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x), задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x).
Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,
14) дифференциал функции Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
 |
| Модель 3.3. Дифференциал функции |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изм
15) признания возрастания и убывания функции
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков:
если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
найти область определения функции; найти производную функции;
решить неравенства и на области определения;
к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.
16)Экстре́мум функции (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
исследование функции на экстремум При изучении явлений природы и общества мы постоянно имеем дело с изменяемостью различных величин (движение тела, наращивание растительной массы, финансовые потоки и др.), а также с зависимостью одних величин от других. Поэтому одним из основных понятий в математике является понятие о переменной величине, которой является любая величина, принимающая хотя бы два различных значения. Закон, согласно которому одной переменной приведено в соответствие значение другой переменной называется функцией.
Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
17)выпуклости графика функции точки перегиба
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x)отрицательная, т.е. f ''(x) 0 – вогнутый.
Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) [1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как или … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции можно обозначить как , где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с не непрерывна при , но имеет первообразную с .
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
20) вычисление неопределенным интегралов непосредственно и подстановкой
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Примеры.
21) Пусть функция монотонна на отрезке , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда интегрируема на .
Пусть функция не ограничена на отрезке . Тогда эта функция не может быть интегрируемой на , то есть не существует предела интегральных сумм для функции при условии . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.
Пусть интегрируемые на отрезке функции и таковы, что при всех . Тогда
Геометрический смысл Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Рассмотрим график функции y= f ( x):
22) вычисление определенного интеграла непосредственно методом подстановки
Теорема 1.Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.
Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:
Теорема 2.Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,
На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
Теорема 3.Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
Теорема 4.Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.
Теорема 5.Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если
Теорема 6.При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.
Теорема 7(теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.
Теорема 8.Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
Теорема 9.Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать, т.е.
23 Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на страницеОпределенный интеграл. Примеры решений.
Физический смысл производной — понятие в математике
Производная функции является понятием дифференциального исчисления, определяющее скорость изменения функции в конкретной точке.
Производную функции рассчитывают, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулевому значению при условии наличия такого предела. Функция, которая обладает конечной производной в какой-то точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Дифференцирование — процесс расчета производной.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Интегрирование — процесс, обратный дифференцированию, заключается в нахождении первообразной.
Физический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки в конкретное время \(t_\) определяется, как производная закона движения \(s(t_)\) данной точки в определенный момент времени \(t_: v(t_)=s^(t_)\)
В чем заключается для производной функции первого и второго порядка
Производная первого порядка функции \(y=f(x)\) которая задана явно, определяется по таблице производных. Используют следующие данные:
Также в расчетах применяют правила дифференцирования или нахождения производных:
- Константа может быть вынесена за знак производной: \((c*u(x))^=c*(u(x))^\)
- Производная суммы или разности определяется таким образом: \((u\pm v)^=u^\pm v^\)
- Производная произведения: \((u* v)^=u^*v+ v^*u\)
- Производная частного двух функций: \((\frac)^=\frac
В том случае, когда функция y = y(x) задана параметрически в виде:
Где t является параметром, то первая производная данной функции будет определяться, согласно уравнению:
В том случае, когда функция y = y(x) задана неявно, уравнение F(x;y(x)) = 0 или F(x;y(x)) = G(x;y(x)), для определения первой производной \(y=y^(x)\) необходимо руководствоваться правилами. Вначале следует выполнить дифференцирование левой и правой части заданного равенства:
Затем требуется найти производные от каждой из частей уравнения с помощью таблице производных и правил дифференцирования с учетом, что y является сложной функцией. Далее из полученного равенства выражают \((y)^\)
Если рассмотреть дифференцируемую на (а;b) функцию y = f(x), то можно отметить, что ее производная \((y)^\) также является функцией аргумента х. После повторного дифференцирования данной функции получится вторая производная функции y = f(x):
Таким образом, производная второго порядка представляет собой первую производную от производной первого порядка.
Как решать, примеры задач с пояснениями
Требуется определить мгновенную скорость перемещения материальной точки в момент времени \(t_=2\) с, когда ее движение описывает закон \(s(t)=4t^+2t+1\)
Скорость точки определяется производной пути по времени:
Мгновенная скорость точки в момент времени \(t_=2\) с равна:
Ответ: мгновенная скорость движения материальной точки равна 18 м/с.
Прямолинейное движение очки описано законом \(s(t)=3t^-3t-5.\) Требуется определить момент времени, в который скорость точки достигнет значения v = 3 м/с.
С помощью физического смысла производной, можно определить закон изменения скорости материальной точки:
Для того чтобы рассчитать момент времени \(t_\) со скорость в 3 м/с, требуется записать и найти решение уравнения \(v(t_)=3\)
Ответ: момент времени равен 1 с.
Требуется найти производную функции, которая задана явно:
Искомая производная имеет следующий вид:
Производная суммы или разности функций определяется, как сумма или разность их производных:
Производную первого слагаемого можно определить с помощью таблицы производных, как производную степенной функции \((x^)^=nx^\)
Во втором слагаемом, исходя из свойства производных, требуется вынести константу 3 за знак производной:
Далее необходимо найти производную по ранее записанной формуле производной степенной функции:
Производную третьего слагаемого можно определить в виде производной частного по формуле:
В случае заданной функции получается:
Требуется найти первую производную функции, которая задана параметрически:
Исходя из формулы, требуется определить производные для каждой функции относительно параметра t:
В таком случае, искомая производная равна:
Требуется определить производную второго порядка функции:
Определить вторую производную можно, если вначале найти производную второго порядка:
Исходя из свойства линейности, получим:
В таком случае, искомая вторая производная будет равна:
Требуется определить производную \(y^\) функции, которая задана неявно с помощью уравнения:
Необходимо дифференцировать две части заданного равнения:
Исходя из правил дифференцирования и таблице производных, получим следующее уравнение:
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Читайте также: