Элементы теории процентов кратко

Обновлено: 06.07.2024

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

1) современное значение денег (PV);

2) будущее значение денег (FV);

3) время, выраженное в днях t или количестве периодов п;

4) норма доходности (процентная ставка).

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят — процентов.

Простые проценты. В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счете 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не станет снимать деньги со своего счета, через год он будет иметь:

FV= 1000 + 400 — 1400 грн.,

а через два года:

ЕУ — 1000 + 400 + 400 * 1800 грн.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид: ч

В формуле (4.3) п может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на г дней, а в году 365 дней, то: у \

; РУ, = РУ(\-н1365 г). | (4.31)

Кредитная сделкаТюжет производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки:

и наращение производиться по формуле:

где N — обшее количество значений в решетке;

- общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка г

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, которая получается путем обращения (4.3):

Проиллюстрируем феномен дисконтирования на таком примере.

Вы собираетесь накопить 50000 грн. в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо.положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует:

РУ = 50000 = 31250грн.

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки. В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.?

Формулу для учетной ставки получим по аналогии с формулой для про-центной ставки.

Для процентной ставки из Формулы (4.3) подучим:

По аналогии определим учетную станку Н. как следующее отношение:

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простыхдаалЕШПв:

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дискомтирвваиця:

Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму 100 тыс. грн. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя, и сумму, которую получил держатель векселя.

Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит:

О — 100000 73 / 365 • 0.12 — 2400 грн.,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит:

РУ100000 — 2400 — 97600 грн.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок.

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

для процентной ставки:

для учетной ставки:?

Результаты сравнения представлены в таблице.

я 1/12 1/4 1А 1 2 5.>7Г_

1 + лг 0,99174 0,9756 0.9524 0,9091 0.833 0,667 0.5

1У(п)=\-п-а 0.99167 0.975 0,95 0.9 0.8 0,5 0

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, поскольку вексель — исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

Сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности г получаем:

-в первый год: = Р^(1 + г);

- во второй год: /^2 = РУ1 (1 + г)= РУ([ + гУ и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид:

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

Если процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т. е.

В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом: /='Г, = />К (1 + г1>(1 + г2>..(1 + г.) пли

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов. С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

-если п (1+гу инвестировать при простых процентах более выгодно;

-если п ит*"'у ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление Процентов происходит только 1 раз в конпе гола и это равносильно по конечному результату конкретноисхеме начислениа прги^цтпв, дно юттп. рой определяется эффективн^ст чррмрцтиаа ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных;?

- при начислении процентов от раз в году при номинальной процентной ставке г,

- при начислении процентов один раз в году при процентной ставке гэ: РУщ=РУ (\ + гУ.

Влиянне числа начислений процентов на эффективность инвестирова-ния денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже.

30% 32,3% 33,6% 34.5% 35%

Наращение и дисконтирование с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные фор-мулы отличаются. С помощью простых рассуждении можно доказать, что: "

РУ = РУя(1-аУ \ (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид:?

Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта. Воспользовавшись формулой (4.12’), получим:

В основе концепции стоимости денег во времени лежит следующий основной принцип: Доллар сейчас стоит больше, чем доллар, который будет получен в будущем, например через год, так как он может быть инвестирован и это принесет дополнительную прибыль. Данный принцип является наиболее важным положением во всей теории финансов и анализе инвестиций. На этом принципе основан подход к оценке экономической эффективности инвестиционных проектов.

Данный принцип порождает концепцию оценки стоимости денег во времени. Суть концепции заключается в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыльности на денежном рынке и рынке ценных бумаг. В качестве нормы прибыльности выступает норма ссудного процента или норма выплаты дивидендов по обыкновенным и привилегированным акциям.

Учитывая, что инвестирование представляет собой обычно длительный процесс, в инвестиционной практике обычно приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли. В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения (compounding) начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей. В инвестиционных расчетах процентная ставка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования (discounting), будущей стоимости, который (процесс) представляет собой операцию обратную наращению. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций. Типичной в данном случае является следующая: определить какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить например, $1,000 через 5 лет.

Таким образом, одну и ту же сумму денег можно рассматривать с двух позиций:

а) с позиции ее настоящей стоимости

б) с позиции ее будущей стоимости

Причем, арифметически стоимость денег в будущем всегда выше.

4. 2. Элементы теории процентов

В процессе анализа инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

, (4.1)

где P - настоящее значение вложенной суммы денег,

F - будущее значение стоимости денег,

n - количество периодов времени, на которое производится вложение,

r - норма доходности (прибыльности) от вложения.

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Существо процесса наращения денег не изменяется, если деньги инвестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложение денег обеспечивало доход, то есть увеличение вложенной суммы.

Пример 1. Банк выплачивает 5 процентов годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле (4.1) $100, вложенные сейчас, через год станут

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит

или по формуле (4.1)

Процесс наращения стоимости $100 по годам можно представить в виде таблицы или диаграммы:

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

где P - настоящее значение вложенной суммы денег,

F - будущее значение стоимости денег,

n - количество периодов времени, на которое производится вложение,

r - норма доходности (прибыльности) от вложения.

или по формуле (4.1)

Процесс наращения стоимости $100 по годам можно представить в виде таблицы или диаграммы:

Год	Обозначение	Стоимость денег
P	$100
F₁	$105
F₂	$110.25
F₃	$115.76
F₄	$121.55
F₅	$127.63

Следует отметить, что процесс наращения не является линейным.

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег определяется с помощью формулы

которая является простым обращением формулы (4.1).

Пример 2. Пусть инвестор хочет получить $200 через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%.

С помощью формулы (4.2) легко определить

Понятно, что формула (4.2) лежит в основе процесса дисконтирования. И в этом смысле величина r интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.

Рассмотренный в примере (4.2) случай можно интерпретировать следующим образом:

$181.40 и $200 - это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени - $200 через два года равносилен $181.40 сейчас.

Процесс дисконтирования наглядно можно продемонстрировать с помощью следующего графика:

В анализе инвестиции величины (1+r) n и (1+r) -n часто называют соответственно множителями наращения и дисконтирования. Наращение и дисконтирование единичных денежных сумм удобно производить с помощью финансовых таблиц 1 и 3, помещенных в приложении. В этих таблицах содержатся множители наращения и дисконтирования, соответственно.

4. 3. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег

В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных средств. Это связано с тем, что инфляционный рост индекса средних цен вызывает соответствующее снижение покупательной способности денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных понятия

номинальная сумма денежных средств,
реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств - это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

В финансово-экономических расчетах, связанных с инвестиционной деятельностью, инфляция учитывается в следующих случаях:

при корректировке наращенной стоимости денежных средств,
при формировании ставки процента (с учетом инфляции), используемой для наращения и дисконтирования,
при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитывающих темпы инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:

темп инфляции Т, характеризующий прирост среднего уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной дробью,
индекс инфляции I (изменение индекса потребительских цен), который равен 1+Т.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле

где - реальная будущая стоимость денег,

F_n - номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r - номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальной суммы денег производится по формуле:

то есть номинальная сумма денежных средств снижается в (1+Т) n раза в соответствии со снижением покупательной способности денег.

Пример 3. Пусть номинальная ставка процента с учетом инфляции составляет 50%, а ожидаемый темп инфляции в год 40%. Необходимо определить реальную будущую стоимость объема инвестиций 200,000 грн.

Подставляем данные в формулу (4.4), получаем

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55%, то

Таким образом, инфляция “съедает” и прибыльность и часть основной суммы инвестиции, и процесс инвестирования становится убыточным.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

r = T : наращение реальной стоимости денежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимости ПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией
r > T: реальная будущая стоимость денежных средств возрастает несмотря на инфляцию
r n и (1+r) -n часто называют соответственно множителями наращения и дисконтирования. Наращение и дисконтирование единичных денежных сумм удобно производить с помощью финансовых таблиц 1 и 3, помещенных в приложении. В этих таблицах содержатся множители наращения и дисконтирования, соответственно.

4. 3. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег

номинальная сумма денежных средств,
реальная сумма денежных средств.

при корректировке наращенной стоимости денежных средств,
при формировании ставки процента (с учетом инфляции), используемой для наращения и дисконтирования,
при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитывающих темпы инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:

темп инфляции Т, характеризующий прирост среднего уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной дробью,
индекс инфляции I (изменение индекса потребительских цен), который равен 1+Т.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле

где - реальная будущая стоимость денег,

F_n - номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Подставляем данные в формулу (4.4), получаем

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55%, то

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

r = T : наращение реальной стоимости денежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимости ПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией
r > T: реальная будущая стоимость денежных средств возрастает несмотря на инфляцию
r

Учебные материалы для обучающихся по специальности Менеджмент

Элементы теории процентов

где P - настоящее значение вложенной суммы денег,
F - будущее значение стоимости денег,
n - количество периодов времени, на которое производится вложение,
r - норма доходности (прибыльности) от вложения.
Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).
Существо процесса наращения денег не изменяется, если деньги инвестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложение денег обеспечивало доход, то есть увеличение вложенной суммы.
Пример 1. Банк выплачивает 5 процентов годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле $100, вложенные сейчас, через год станут

или по формуле
Процесс наращения стоимости $100 по годам можно представить в виде таблицы или диаграммы:

Следует отметить, что процесс наращения не является линейным.

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег определяется с помощью формулы :

которая является простым обращением формулы.
Пример 2. Пусть инвестор хочет получить $200 через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%.
С помощью формулы легко определить
Понятно, что формула лежит в основе процесса дисконтирования. И в этом смысле величина r интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.
Рассмотренный в примере ) случай можно интерпретировать следующим образом:
$181.40 и $200 - это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени - $200 через два года равносилен $181.40 сейчас.
Процесс дисконтирования наглядно можно продемонстрировать с помощью следующего графика:

В анализе инвестиции величины (1+r)n и (1+r)-n часто называют соответственно множителями наращения и дисконтирования. Наращение и дисконтирование единичных денежных сумм удобно производить с помощью финансовых таблиц 1 и 3, помещенных в приложении. В этих таблицах содержатся множители наращения и дисконтирования, соответственно.

Понравился данный материал?
Не стесняйся, поставь лайк, расскажи о нас своим друзьям, однокурсникам, короче, всем, кому был бы полезнен наш сайт! Тебе ничего не стоит, а нам приятно, что не зря стараемся ;)

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

1) современное значение денег (PV)_y

2) будущее значение Ъенег

3) время, выраженное в днях / или количестве периодов п,

4) норма доходности (процентная ставка) г.

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят— процентов. Различают две схемы начисления процентов: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты. В схеме простых процентов начисление дохода на трестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счете $ 1,000 при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год, он будет иметь

FV- 1,000 + 400 = 51,400,

а через два года

FV = 1,000 + 400 + 400 = 51,800.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид:

В формуле (4.3) п может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на / дней, а в году 365 дней, то

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

и наращение производится по формуле

FV_m =PV

где N- общее количество значений в решетке;

щ — общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка г,.

PV =------ 2- = FVJ 1 + л ■ г)" 1 .

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собираетесь накопить 550,000 в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки, В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной став- кой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срої^ кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу д ія учетной ставки получим по аналогии с формулой для процентной ставки.

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение:

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов:

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму S100 тыс. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя, и сумму, которую получил держатель векселя.

Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100,000 • 73 / 365 • 0.12 = $2,400,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV= 100,000 - 2,400 = 597,600.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок.

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

• для процентной ставки

• для учетной ставки

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать нулевым или даже отрицательным. На практике такого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

При норме доходности г имеем:

• в первый год: РУ\ = &У( 1 ■+■ г),

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид:

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

Если процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.

то в этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

РУ_п = РУ• (I + г 0 *(1 + г_г). (I + г_я) или

(4.7') (4.8')

• если п (I + г) п . Инвестировать при простых процентах более выгодно;

• если п > 1 года, то 1 + п • г 1 т) ' '/-ц

(4.10)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

РУ = РУЛ 1 + - V пі)

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года: процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схеме начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же веліпшну будущего значения денег, полученных • при начислении процентов т раз в году при номинальной процентной ставке г.

• при начислении процентов один раз в году при процентной ставке г_э:

(і= откуда легко следует:

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке 30% иллюстрируется ниже.

м	1	2	Г 4	12	365
Г 1	30.0%	32.3%	33.6%	34.5%	35.0%

Наращение и дисконтирование с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что:

РУ = ГУ„(1-4) а . (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (4.12) будет иметь

РУ = ГУ„

(4.12')

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

Пример. Вексель на $500 тыс. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

Читайте также: