Достижение арабов в математике кратко

Обновлено: 04.07.2024

ГЛАВА ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
(написана редактором русского перевода)

АЛ-ХОРЕЗМИ, ОМАР ХАЙЯМ,

Арабы сообщили математи­ческим нау­кам тот осо­бый и ориги­наль­ный харак­тёр, кото­рый пере­шёл к евро­пей­цам и в ру­ках их послужил в XVI сто­летии осно­вой быст­ро раз­вивав­шего­ся пре­восход­ства перед нау­кой древ­них.

Ведущую роль в развитии математики в средние века играли учёные стран Востока. Здесь, особенно в Индии и Китае, ещё в древности сложилась своеобразная математическая культура, которая длительное время развивалась самобытно, а затем вступила во взаимодействие с культурой других стран, в том числе античной Греции.

Издавна присущий математике Востока арифметический, вычислительный характер способствовал развитию в ней приёмов выполнения действий с числами, со временем всё большими. Использовались различные системы счисления, в основном десятичные. Именно с арифметикой связано одно из самых выдающихся научных достижений — создание учёными Индии десятичной позиционной системы счисления. Она сложилась около 500 г. Решающим моментом в этом явилось изобретение нуля . Выполнение арифметических действий, особенно умножения и деления, значительно упростилось. Появилась возможность решения более сложных задач, разработки более удобных приёмов решения уравнений, формирования понятий иррационального числа, отрицательного числа, чуждых древнегреческой математике с довлевшей над ней геометрической трактовкой величин.

Преемниками научного наследия Индии и Китая, а также Древней Греции прежде всего стали учёные стран Ближнего и Среднего Востока, вошедших в состав Арабского Халифата. В основном в течение VII столетия заселявшие Аравийский полуостров племена арабов покорили соседние народы. Вскоре их господство охватило громадные территории от отрогов Гималаев до Пиренейского полуострова, от южного Средиземноморья до закаспийских 239 пустынь. Завоевания проводились под знаменем новой религии — ислама. Язык этой религии, арабский, стал и государственным и основным научным языком. На нём в VII–XV столетиях сложилась и расцвела культура и наука стран ислама. Они создавались не только арабами, но и представителями завоёванных арабами стран, прежде всего среднеазиатских. Вклад побеждённых был весьма значительным, а в некоторых направлениях определяющим.

И в Арабском Халифате, и в многочисленных мусульманских государствах, сменивших его и сменявших часто одно другого в результате завоеваний турок, монголов, а также междоусобных войн, жизненно важными были вопросы орошения, строительства, караванной и морской торговли. Решение их требовало развития астрономии и математики. Преуспевающие правители создают обсерватории, которые становятся центрами развития точных наук. В них изучаются, переводятся на арабский язык и комментируются сочинения учёных Индии и особенно Древней Греции. Наряду с этим достигаются существенные дальнейшие продвижения, прежде всего в арифметике, алгебре и тригонометрии. Многие учёные принимали в этом участие. Опишем кратко деятельность некоторых из наиболее выдающихся.

Своим сочинением «Краткая книга об исчислении и положил начало формированию того раздела математики, который получил название алгебры (от соответствующего 240 слова в наименовании книги). Операция (восполнение) означала перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть его в виде прибавляемых членов; (противопоставление) — сокращение равных членов в обеих частях. Эти операции позволяли любое уравнение первой или второй степени привести к одному из шести канонических типов, рассмотренных в книге. Для каждого типа даёт лишь правило для нахождения положительных корней уравнений. Всё излагается словесно на примерах с числовыми коэффициентами, без символики. Типы уравнений, характеризуемые такими их представителями, как

x 3 + bx = cx 2 + a

сводится к решению системы уравнений

b ) ( c – x ), x (√ b – y ) = a

Совершенствуя античную теорию отношений, Хайям и вслед за ним подошли к обобщению понятия числа на любые положительные вещественные числа, которые они трактовали как отношения величин, в том числе несоизмеримых. Это способствовало устранению установившегося после древних греков противопоставления 242 геометрических несоизмеримых величин и числовых иррациональностей, преодолённому после трудов Декарта и Ньютона.

Хайям прожил сложную, трудную жизнь. Смуты того времени заставили его много скитаться, познать и богатство и нужду. Он родился в городе Нишапур области Хорасан, исторически общей для таджиков и персов, жил и работал в разных городах Средней Азии и Ирана. Сельджукский султан и его визирь пригласили Хайяма в 1074 г. возглавить новую астрономическую обсерваторию в Исфахане. Уточнение астрономических таблиц, подготовка реформы календаря неожиданно прерываются. После убийства визиря и смерти султана обсерватория была закрыта. Блюстители догм ислама преследовали Хайяма. Спасая свою жизнь, ему пришлось в старости совершить паломничество в Мекку. Умер Хайям в своём родном городе.

Свои беды и радости Хайям воспел в бессмертных стихах. Вот одно его четверостишие:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала.
Ты лучше голодай, чем что попало ешь,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Другое он заключает стихами:

Знаменитый учёный-энциклопедист Средней Азии Мухаммед (973–~1050), современник великого родился в городе Кяте, столице Хорезма (ныне город Бируни в Узбекистане). Здесь, в крупном центре науки того времени, он учился и работал. Афганский султан Махмуд, захвативший Хорезм в 1017 г., принудил его переехать в свою столицу Газни, где возглавил работу учёных, собранных Махмудом из покорённых стран. Несколько лет жил в завоёванной султаном Северной Индии, где глубоко изучил научные работы на санскрите.

Освещая свойства треугольников и их использование при решении задач астрономии, Птолемей рассматривал величину хорды дуги окружности (эквивалент удвоенного синуса половины центрального угла, стягивающего дугу). Выражения хорд некоторых дуг через радиус окружности легко находятся как стороны соответствующих вписанных в неё правильных многоугольников (треугольника, квадрата, шестиугольника и других, что для хорд дуг в 120°, 90°, 60° и других R √ 2 /2, Птолемей составил довольно точную таблицу хорд дуг от 0 до 180° через 1° равнозначную таблице синусов углов от 0 до 90° через ½°.

Отправляясь от этих рассмотрений, учёные арабского мира ввели эквиваленты остальных тригонометрических величин — тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Следуя традиции александрийских и индийских астрономов, восходящей к древним вавилонянам, линии синуса и косинуса измеряли в долях радиуса. Таблицы синусов составлял В астрономических таблицах его времени встречались уже значения всех остальных тригонометрических величин. Учение о тригонометрических величинах, о решении с их помощью сферических и плоских треугольников становится разветвлённым, приобретающим всё большую самостоятельность разделом математики. Ценные пополнения к нему дали Сабит (836–901), Мухаммед ( — 850–929), (940–998), и другие учёные.

Ал-Беруни решает его путём последовательных приближений. По существу, это уравнение трисекции угла.

Уроженец города Туса в Хорасане Насир (1201–1274) был выдающимся учёным своего времени. Потерпев неудачу у нескольких правителей, он стал советником Возглавленные этим внуком монголы покорили Иран. Своей столицей сделал город Марагу под Тавризом (Южный Азербайджан), где по совету была построена в 1258–1259 гг. обсерватория — одна из лучших в средние века. К работе в обсерватории были привлечены учёные из разных мест. Под руководством они проводили наблюдения, обрабатывали их, исследовали вопросы математики, связанные с астрономией. Уже отмечалось, что наибольших успехов достиг в области геометрии и тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома.

Последним крупным научным центром средневекового Востока был Самарканд. Его правитель, внук Тимура, Улугбек (1394–1449) серьёзно занимался астрономией и математикой. Он собрал вокруг себя большую группу видных учёных своего времени. При их участии была построена прославившаяся в веках обсерватория. Выполненные на ней работы по своей точности оставались непревзойдёнными длительное время.

Вычисленные в Самарканде таблицы давали значения синусов от 0 до 45° с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность была получена полтора столетия спустя.

Как и другие учёные, о которых здесь говорилось, — ярко сверкающая звезда на математическом небосклоне. 246

Очень интересно и полезно! Присоединяюсь к тем, кто надеется увидеть Ваши работы объединенными в книжном формате.

Спасибо, Хотя это едва ли возможно. Общий объем конспектов огромен. Более десятка полновесных томов.

Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.

© Все права принадлежат авторам, 2000-2022. Портал работает под эгидой Российского союза писателей. 18+

На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного побережья Африки и юга Испании, существовали многочисленные восточные государства. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные в единый хозяйственный организм, они не обладали политической устойчивостью и имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные традиции населяющих их народов развивались в таких условиях сравнительно медленно.

Начиная с VII века эти страны выделились из Византийской (Ромейской) империи под знаком борьбы за господство новой религии – ислама (или иначе магометанства, мусульманства). В течение ряда веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей. Возникли большие города как центры торговли, ремесел и административного управления. Новая религия заняла господствующее положение, и арабский язык стал практически единым языком официальных документов, религиозных книг, научных трактатов и художественно-поэтических сочинений.

Условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали развитию математики, которая требовалась для государственного управления, ирригации, строительства, торговли и ремесел. Международные связи, осуществляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам и неизведанным местностям, вынуждали развивать математику для нужд географии и астрономии.

Поэтому многие восточные правители и целые династии проводили политику государственного покровительства наукам. В аппарате государственного управления появились специально оплачиваемые ученые. Для них строились обсерватории, собирались библиотеки из древних сочинений, которые разыскивались всюду и переводились на арабский язык, привлекали на службу византийцев.

В результате сложилась своеобразная система математических знаний. В нее влились и данные ранней византийской науки, то есть классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и других, но получили свое развитие и сведения из математики Индии, а также коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока.

Освоение и переработка многочисленных источников, как и подготовка квалифицированных математиков, потребовали, разумеется, немалого времени. Поэтому для арабской математики (как мы ее иногда называем, несмотря на необоснованность этого термина, так как ее развивали ученые разных национальностей) характерна пестрота в постановке задач, в методах их решения и даже в символике. Она получила так много оригинальных черт, что сделалась качественно отличной от своих источников.


Рассмотрим характерные особенности математики средневекового Востока и достигнутый уровень математических наук, без разделения математики по отдельным странам ввиду специфичности предмета и неразработанности темы.

Параллельно с десятичной сохранялась и регулярно употреблялась в астрономических обсерваториях шестидесятеричная система счисления. В духе математиков Вавилона составлялись и использовались вспомогательные таблицы, вроде таблицы умножения (от 1 ? 1 до 60 ? 60). Даже в сравнительно позднее время (ок. 1427) в обсерватории Улугбека под городом Самаркандом были в употреблении обе системы, а для удобства вычислений были разработаны правила перевода из одной в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями, простыми и десятичными.

В Западной Европе десятичные дроби были введены только около 1585 года фламандским математиком и инженером С. Стевином. Вообще применение многих приемов, отработанных арабами до Х века, как, например, приближенного извлечения корней, отмечено в Европе лишь с середины XVI века.

Великий поэт и математик Омар Хайям (ок. 1048 – ок. 1122) и Насир-ад-дин ад-Туси (1201–1274) явно указывали, что каждое отношение величин, все равно, соизмеримых или нет, может быть названо числом. Величие этих достижений становится особенно ясным, если заметить, что полное признание отрицательных чисел европейскими математиками было достигнуто очень нескоро. Например, Ф. Виет (1540–1603), которому алгебра многим обязана, избегал отрицательных чисел, а в Англии протесты против отрицательных чисел раздавались даже в XVIII веке.

В XI веке тюрки-сельджуки захватили большую часть Ирана и византийских владений в Малой Азии. На этих землях народы осваивали и развивали наследие всех предшественников, и византийцев и арабов. Омар Хайям писал стихи по-персидски, научные трактаты по-арабски, а в служебных делах пользовался тюркским языком. Потерпев неудачу в прямом поиске корней произвольного кубического уравнения, он открыл несколько способов приближенного вычисления этих корней, предлагая сделать это, используя хорошо знакомые кривые. Как только (в XVII веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею – описать любую кривую с помощью чисел, родилась аналитическая геометрия, в которой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с наглядной геометрией.

Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве самостоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов, например: геометрическая алгебра византийцев, группировка однотипных задач и попытка выработать для каждой группы единый алгоритм в Вавилоне, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени, и т. п.

В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраические элементы были впервые выделены, собраны в новый специальный отдел математики, сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание Омара Хайяма:

Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин алгебра укоренился в математике. Осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизированном виде: алгоритм. Вначале это слово обозначало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь – всякую систему вычислений, производимых по строго определенным правилам и заведомо приводящих к решению поставленной задачи. В ходе развития науки изменялось содержание понятий, вложенных в эти термины, но термины сохранились.

Но сам Хорезми никогда не высказывался о своем приоритете в алгебре. Видимо, оба приема – джебр и кабала – были уже широко распространены в его время.

Алгебраические арабские трактаты IX–XV веков, помимо решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К последним приводили разнообразные задачи:

а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание стороны правильного 9-угольника; г) отыскание стороны правильного 7-угольника и другие.

Одна из задач оптики: найти на данной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки A, отразился в другую заданную точку В, приводила к уравнению 4-й степени.

В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, обычно присущее математике арабских ученых. Численные же решения уравнений развивались, начиная со способа проб (разработан Бируни, 972-1048) до изящного итерационного, быстро сходящегося, метода (Каши, ок. 1420).

Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы предшествующих ученых, в особенности результаты Птолемея и Менелая, операции с линиями синуса и косинуса у индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.


Арабское доказательство теоремы Пифагора

В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма и Насирэддина мы находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом могут быть помещены историками в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии.

Примерно в середине XV века развитие математических наук в описываемых нами здесь арабских регионах замедляется и прекращается. Причины этого явления лежат вне математики: они – в наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше.

Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика. Начиная с эллинистической эпохи, в странах Востока огромным уважением пользовалась персональная астрология, благодаря этому суеверию поддерживалась также и репутация астрономии и математики.

Доступная нам история математики в странах Ближнего и Среднего Востока начинается в эпоху, следующую за эпохой мусульманского завоевания (VII—VIII века). Первая стадия этой истории состояла в переводе на арабский язык, изучении и комментировании трудов греческих и индийских авторов. Размах этой деятельности впечатляет — список арабских переводчиков и комментаторов одного только Евклида содержит более сотни имён. Арабский язык долгое время оставался общим языком науки для всего исламского мира. С XIII века появляются научные труды и переводы на персидском языке.

В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве — это комментарии к трудам предшествеников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии. Некоторые математики стран ислама виртуозно владели классическими методами Архимеда и Аполлония, но новых результатов получено немного.

Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислама. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку.

Числовая система

Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, она финикийско-еврейского происхождения. Но с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.

Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же числами, как и натуральные числа. Записывали их вертикально, как индийцы; черта дроби появилась около 1200 года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Попытки ввести десятичные дроби делались, начиная с X века (ал-Уклидиси), однако дело продвигалось медленно. Только в XV веке ал-Каши изложил их полную теорию, после чего они получили некоторое распространение в Турции. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился раньше (XIV век, Иммануил Бонфис из Тараскона), но победоносное их шествие началось в 1585 году (Симон Стевин).

Математики исламского средневековья

В развитии инфинитизимальных методов существенного продвижения не было. Сабит Ибн Курра вывел другим способом несколько результатов Архимеда, а также исследовал тела, полученные вращением сегмента параболы (купола). Ибн ал-Хайсам дополнил его результаты.

В средневековой исламской математике было сделано довольно много попыток доказать Пятый постулат Евклида. Чаще всего исследовалась фигура, позднее названная четырёхугольником Ламберта. Ал-Джаухари, Сабит ибн Курра, Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных эквивалентов V постулата.

Читайте также: