Доказательство теоремы абеля кратко

Обновлено: 05.07.2024

В математика, то Теорема Абеля – Руффини (также известен как Теорема невозможности Абеля) утверждает, что нет раствор в радикалах генералу полиномиальные уравнения из пятая степень или выше с произвольным коэффициенты. Вот, Общее означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенный.

Теорема названа в честь Паоло Руффини, который сделал неполное доказательство в 1799 г., [1] и Нильс Хенрик Абель, который предоставил доказательство в 1824 году. [2] [3]

Теорема Абеля – Руффини относится также к немного более сильному результату, заключающемуся в том, что существуют уравнения пятой степени и выше, которые нельзя решить с помощью радикалов. Это не следует из утверждения Абеля теоремы, но является следствием его доказательства, так как его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из Теория Галуа § Неразрешимый квинтический пример. Теория Галуа также предполагает, что

- простейшее уравнение, которое нельзя решить в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой и более высокой степени контрастирует со случаем более низкой степени: квадратичная формула, то кубическая формула, а формула четвертой степени для второй, третьей и четвертой степеней соответственно.

Содержание

Контекст

Полиномиальные уравнения степени два можно решить с помощью квадратичная формула, который известен с древность. Аналогичным образом кубическая формула для третьей степени и формула четвертой степени для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальная проблема заключалась в том, можно ли аналогичным образом решить уравнения более высокой степени.

Тот факт, что каждое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, ненастоящий, утверждалось еще в 17 веке, но полностью подтвердилось только в начале 19 века. Это основная теорема алгебры. Эта теорема не дает никаких инструментов для точного вычисления решений, но Метод Ньютона позволяет аппроксимировать их с любой желаемой точностью.

Теорема Абеля – Руффини доказывает, что это невозможно. Однако это не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, есть уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это случай уравнения Икс п − 1 = 0 < displaystyle x ^ -1 = 0> для любого п , и уравнения, определяемые циклотомические многочлены, все решения которой выражаются в радикалах.

Вскоре после того, как Абель опубликовал свое доказательство, Эварист Галуа представил теорию, которая теперь называется Теория Галуа который позволяет решить для любого данного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах (это теоретически, так как на практике это решение может потребовать огромных вычислений, которые могут быть трудными даже с мощными компьютеры). Это решение принимается введением вспомогательных многочленов, называемых противовоспалительные средства, коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов исходного многочлена. Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда некоторая резольвента имеет рациональный корень.

Доказательство

Следующее доказательство основано на Теория Галуа и это действительно для любого поля характеристика 0. Исторически сложилось так, что Руффини [1] и доказательства Абеля предшествуют теории Галуа. Современное представление доказательства Абеля см. В статье Розен [5] или книги Тиньола [6] или Пешич. [7]

Одна из основных теорем теории Галуа утверждает, что многочлен п ( Икс ) ∈ F [ Икс ] < Displaystyle Р (х) в F влево [х вправо]>разрешима радикалами над F < displaystyle F>если и только если это поле расщепления K < displaystyle K>над F < displaystyle F>имеет разрешимый Группа Галуа, [8] так что доказательство теоремы Абеля – Руффини сводится к вычислению группы Галуа общего многочлена пятой степени и показу, что она неразрешима.

тот же полином, что и

Доказательство недействительно, если применить его к многочленам, степень которых меньше 5. В самом деле:

Доказательство остается в силе, если вместо работы с пятью неопределенными один работает с пятью конкретными объектами. алгебраически независимый комплексные числа, потому что по тому же аргументу Гал ⁡ ( E / F ) = S 5 < displaystyle operatorname (E / F) = S_ > .

История

Доказательство также, как выяснилось позже, было неполным. Руффини предположил, что все радикалы, с которыми он имел дело, могут быть выражены из корней многочлена, используя только полевые операции; Говоря современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления полинома. Чтобы понять, почему это действительно лишнее предположение, рассмотрим, например, многочлен п ( Икс ) = Икс 3 − 15 Икс − 20 < Displaystyle P (x) = x ^ -15x-20> . Согласно с Формула Кардано, один из его корней (на самом деле все они) можно выразить как сумму кубического корня из 10 + 5 я < displaystyle 10 + 5i>с кубическим корнем из 10 − 5 я < displaystyle 10-5i>. С другой стороны, поскольку п ( − 3 ) 0 < Displaystyle P (-3) , п ( − 2 ) >0 < Displaystyle P (-2)>0> , п ( − 1 ) 0 < Displaystyle P (-1) , и п ( 5 ) >0 < Displaystyle P (5)>0> , корни р 1 < displaystyle r_ > , р 2 < displaystyle r_ > , и р 3 < displaystyle r_ > из п ( Икс ) < Displaystyle P (x)>все реальны, и поэтому поле Q ( р 1 , р 2 , р 3 ) < displaystyle mathbf (r_ , r_ , r_ )> является подполем р < displaystyle mathbf > . Но тогда числа 10 ± 5 я < displaystyle 10 pm 5i>не может принадлежать Q ( р 1 , р 2 , р 3 ) < displaystyle mathbf (r_ , r_ , r_ )> . Хотя Коши либо не заметил предположение Руффини, либо посчитал его второстепенным, большинство историков полагают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественной иррациональности, которая утверждает, что это предположение выполняется в случае общих многочленов. [6] [13] Таким образом, теорему Абеля – Руффини обычно приписывают Абелю, который опубликовал в 1824 году доказательство, сжатое всего на шесть страниц. [2] (Авель использовал очень лаконичный стиль, чтобы сэкономить бумагу и деньги: проба была напечатана за его счет. [7] Более подробная версия доказательства будет опубликована в 1826 году. [3]

Доказательство того, что уравнения общей пятой (и более высокой степени) неразрешимы с помощью радикалов, не решило полностью вопрос, поскольку теорема Абеля – Руффини не дает необходимых и достаточных условий для точного определения того, какие уравнения пятой степени (и выше) неразрешимы с помощью радикалов. Абель работал над полной характеристикой, когда умер в 1829 году. [14]

В 1963 г. Владимир Арнольд обнаружил топологическое доказательство теоремы Абеля – Руффини, [17] [18] [19] который послужил отправной точкой для топологическая теория Галуа. [20]

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема Абеля. Если степенной ряд

сходится при некотором то он сходится абсолютно при всех значениях для которых

Наоборот, если ряд (6.3) расходится при то он расходится при всех значениях для которых

Доказательство. Предположим сначала, что числовой ряд

сходится. В этом случае, как было установлено ранее (см. § 6 главы 2)

Тем более, члены этого ряда ограничены, т. е. найдется такое К, что при любом номере

Пусть теперь (тем самым мы предполагаем, что Тогда

Это значит, что при члены ряда

начиная с некоторого места, становятся меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

в которой знаменатель меньше единицы. Так как такая прогрессия сходится, ряд (6.4) также должен сходиться. Но это означает, что ряд

Предположим теперь, что ряд

расходится. Будем доказывать вторую часть теоремы от противного. Возьмем некоторое для которого и допустим, что ряд

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, согласно первой части теоремы, должен сходиться И ряд (6.5), что противоречит предположенному.

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁¹0 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4;0).

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁¹0 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Из этого неравенства видно, что при x

По признаку Даламбера: .

По признаку Коши:

Замечания:

1.Если , то можно убедиться, что степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .

2.Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х₁ , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

3.Интервал сходимости степенного ряда находится из неравенства ; имеет вид .

4.Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредствено применяя признак Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Пример. Найти область сходимости ряда

, .

Ряд абсолютно сходится, если . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При х=-1 имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При х=1 имеем ряд , который тоже сходится.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1;1].

Пример. Найти область сходимости ряда .

При х=-4 имеем ряд сходится по признаку Лейбница.

При х=0 имеем расходящийся ряд .

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4;0).

Чаще всего на практике используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.17 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему.

ТЕОРЕМА 12.1.12 (ТЕОРЕМА Абеля).

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x, для которого ; если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого .

Доказательство. По условию теоремы числовой ряд

сходится, значит при , а это значит, что , что все члены ряда по абсолютной величине меньше . Запишем ряд (12.1.38) в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

Члены ряда (12.1.40) меньше соответствующих членов ряда

Ряд (12.1.41) при представляет геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. По признаку сравнения числовых рядов из сходимости ряда (12.1.41) следует сходимость ряда (12.1.40).

Из сходимости ряда (12.1.40) следует абсолютная сходимость ряда (12.1.39), а следовательно, и ряда (12.1.37). Значит, при ряд (12.1.37) сходится абсолютно.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть в некоторой точке ряд (12.1.37) расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке , удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу доказанного он должен был бы сходиться и в точке , так как , что противоречит условию. Следовательно, ряд расходится и в точке x. Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля приводит нас к следующему утверждению.

Существует такое неотрицательное , что при ряд сходится, а при или расходится (поведение ряда при подлежит дальнейшему анализу). На самом деле: пусть для всех степенной ряд сходится, а при расходится.

Выберем , если при степенной ряд сходится, тогда он будет сходиться при всех (по теореме Абеля).

Выберем ; пусть при ряд расходится, тогда по теореме Абеля ряд будет расходиться при всех .

Выбирая последовательно , получим такое , что при всех ряд будет сходиться, а при расходится.

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 12.1.13 Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.18 Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до , что для всякой точки , лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Содержание

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -ной степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать закрытую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение имеет корень +\sqrt[5]+\sqrt[5]+\sqrt[5]" width="" height="" />
.

Закрытые формулы для степеней меньше пятой

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

Читайте также: