Доказательство евклида теоремы пифагора кратко и понятно
Обновлено: 05.07.2024
Этот одна из базовых теорем евклидовой геометрии, определяющая соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике. Несложность доказательства и широкое применение обеспечили ей массовую известность.
Теорема Пифагора — краткая история
Теорема Пифагора используется для доказательства многих других теорем геометрии. Математиками разработано несколько обобщений, например, для произвольных треугольников, для многомерных пространств. При этом, теорема Пифагора выполняется только в евклидовых геометриях, в иных случаях она не действует.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формулировка теоремы
Изначальная (геометрическая) формулировка Пифагора гласила:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Позднее появился алгебраический вариант:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Оба этих определения эквивалентны. Алгебраическое более элементарно, так как оно не оперирует понятием площади, поэтому теорему в этом виде можно проверить просто – измерив длину гипотенузы и катетов, сделав затем необходимое вычисление.
Уравнение
В виде формулы теорема Пифагора записывается следующим образом:
a 2 +b 2 =c 2 , где:
- а и b – длины двух катетов,
- с – длина гипотенузы.
Доказательство через подобные треугольники
Это доказательство – одно из наиболее простых, так как является прямым следствием аксиом и не оперирует понятием площади.
Имеется прямоугольный треугольник ABC, где C = 90º. Высота, проведенная из прямого угла пересечет гипотенузу в точке H.
Полученные треугольники ACH и CHB подобны треугольнику АВС по двум углам. Отсюда получаем:
CB 2 =ABxHB, AC 2 =ABxAH
Сложив между собой квадраты катетов, получаем:
AC 2 +CB 2 =ABx(HB+AH)=AB 2
Это и требовалось доказать.
Другие способы доказательства теоремы
Зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это связано с простотой ее формулировки, популярностью и широким применением в геометрии. К числу распространенных доказательств относятся методы площадей и бесконечно малых.
Методом площадей
Первоначально требуется дополнительное построение – рисуется квадрат, каждая из сторон которого равна сумме длин катетов a и b. Отложив эти длины, проведем гипотенузы у прямоугольных треугольников:
Очевидно, что внутренний четырехугольник, образованный четырьмя гипотенузами, будет квадратом, так как все его стороны равны, а углы прямые. Последнее следует из того, что сумма двух углов треугольника, построенных на гипотенузе равна 90º. Вычитая это значение из развернутого угла в 180º получаем как раз прямой угол.
Площадь внешнего квадрата включает в себя:
- сумму площадей четырех прямоугольных треугольников;
- площадь внутреннего квадрата.
Изменив расположение отрезков на сторонах квадрата и проведя новое построение, можно получить два внутренних квадрата и два прямоугольника. При этом, прямоугольники всегда будут равны, а квадраты будут равными только в частном случае – при равенстве сторон a и b.
4ab 2 =2ab ⇒ c 2 =a 2 +b 2 , что и нужно было доказать.
Методом бесконечных малых
Данное доказательство делается с помощью интегрального исчисления. Рассматривается ситуация для бесконечно малых приращений сторон треугольника, составляется дифференциальное уравнение и находится его производная.
В начале вводится величина d. На это значение увеличивается катет а и гипотенуза с, а катет b остается неизменным. Отсюда имеем
da/ca = c/a, b = const
Разделяя переменные составляется дифференциальное уравнение:
Для его решения необходимо проинтегрировать обе части, при этом получается соотношение:
c 2 = a 2 + const
определяя из начальных условий константу интегрирования, получим:
a = 0 ⇒ c 2 = b 2 = const
Таким образом мы определяем, что
Следствие из теоремы Пифагора
Его так же называют обратной теоремой Пифагора:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.
В алгебраическом виде это можно представить так:
c2=a2+b2, где:
- c – гипотенуза треугольника;
- a и b – его катеты.
Применение теоремы
Благодаря своей универсальности, теорема Пифагора находит себе применение в разных областях математики и других наук. К числу преимуществ ее применения относится прозрачность производимых вычислений.
Расстояние между точками
Одно из главных применений – это определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
- s – необходимое расстояние;
- (a; b) и (с; d) – координаты двух точек.
Евклидова метрика
В этом случае с помощью теоремы Пифагора находится расстояние в многомерном пространстве:
- n – число измерений данного пространства;
- d (p, q) – необходимое расстояние;
- p(p1,….,pn) и q(q1,….,qn) – две точки, расстояние между которыми нужно найти.
Теория чисел
Арифметическим аналогом теоремы Пифагора стали пифагоровы тройки чисел.
Пифагоровы тройки – группа из трех натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих равенству x2+y2=z2.
Например, к таким числам можно отнести группы (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и другие. Пифагоровы тройки широко применяются в разных областях деятельности, например, в программировании и криптографии.
Примеры решения задач
Задача 1
В прямоугольном треугольнике АВС, катет ВС = 36 см, гипотенуза АВ = 85 см. Необходимо найти катет АС.
Решение
По теореме Пифагора ВС 2 +АС 2 =АВ 2 , значит
Для нахождения ответа подставим в формулу исходные значения:
Задача 2
Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 46, 56 и 76 см.
Решение. Если указанный треугольник прямоугольный, то две меньшие стороны в 46 и 56 см – это катеты, а большая, в 76 см – гипотенуза. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы. Проверим это:
- 46²+56²= 5252;
- 76²= 5776;
- 5252 ≠ 5776, значит, указанный треугольник не является прямоугольным.
Задача 3.
Диагонали ромба ABCD равны 24 и 18 см. Чему равна сторона ромба.
Решение
Диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом и точкой пересечения O делятся пополам. В этом виде задача сводится к поиску гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике ABO с катетами АО=24/2=12 см и ВО=18/2=9 см.
Сложно представить, но в научной литературе существует 367 доказательств теоремы Пифагора. В школьной программе мы проходим гораздо меньше — в этом материале познакомимся с главными формулами и их доказательствами.
О чем эта статья:
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
- a = √c 2 − b 2
- b = √c 2 − a 2
- c = √a 2 + b 2
в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:
- если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
- если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
- если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .
Пошаговое доказательство:
- Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
- Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
- Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
- Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
- Сложим полученные равенства:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
a 2 + b 2 = c * AB
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
- Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
- Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
- Проведём отрезок A₁B₁.
- Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
- В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
- Таким образом получится:
- Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
- A₁B₁ = AB по доказанному результату.
- Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
- Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
Пусть катеты a = 6 и b = 8.
По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .
Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.
Читайте также: