Длина пути это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Пусть частица движется в пространстве и пусть известен закон ее движения где — прямоугольные декартовы координаты точки в момент времени

Мы хотим определить длину пути, пройденного точкой за промежуток времени

Уточним некоторые понятия.

Определение 1. Путем в пространстве называется отображение числового промежутка в пространство задаваемое непрерывными на этом промежутке функциями

Определение 2. Бели есть путь, для которого областью изменения параметра является отрезок то точки

пространства называются соответственно началом и концом пути.

Определение 3. Путь называется замкнутым, если он имеет и начало, и конец и эти точки совпадают.

Определение 4. Если — путь, то образ промежутка I в пространстве называется носителем пути.

Определение 5. Путь для которого отображение взаимно однозначно, называется простым путем или параметризованной кривой, а его носитель — кривой в

Определение 6. Замкнутый путь называется простым замкнутым путем или простой замкнутой кривой, если путь является простым.

Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точки, т. е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее конца, если простой путь замкнут.

Определение 7. Путь называется путем данного класса гладкости, если задающие его функции принадлежат указанному классу.

(Например, классу или

Определение 8. Путь называется кусочно гладким, если отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых соответствующее ограничение отображения Г задается непрерывно дифференцируемыми функциями.

Именно гладкие пути, т. е. пути класса и кусочно гладкие пути мы и будем сейчас рассматривать.

Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулировать как задачу определения длины гладкого пути

Наши исходные представления о длине пути, пройденного в промежуток времени а таковы: во-первых, если то

и во-вторых, если есть скорость точки в момент , то

Таким образом, если функции непрерывно дифференцируемы на , то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к формуле

которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути

Если то носитель пути лежит в плоскости и формула (3) приобретает вид

Пример 3. Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть точка движется в плоскости по закону

За промежуток времени [0,1] точка один раз пробежит окружность радиуса т. е. пройдет путь длины если длина окружности вычисляется по этой формуле.

Проведем расчет по формуле (4):

Несмотря на ободряющее совпадение результатов, проведенное рассуждение содержит некоторые логические пробелы, на которые стоит обратить внимание.

Функции , если принять их школьное определение, суть декартовы координаты образа точки при повороте на угол а.

Величина а с точностью до знака измеряется длиной дуги окружности заключенной между . Таким образом, при этом подходе к тригонометрическим функциям их определение опирается на понятие длины дуги окружности и, значит, вычисляя выше длину окружности, мы совершили в известном смысле логический круг, задав параметризацию окружности в виде (5). 1

Однако эта трудность, как мы сейчас увидим, не принципиальная, ибо параметризацию окружности можно задать, вовсе не прибегая к тригонометрическим функциям.

Рассмотрим задачу о вычислении длины графика функции определенной на некотором отрезке . Имеется в виду вычисление длины пути имеющего специальный вид параметризации

из которого можно заключить, что отображение взаимно однозначно. Значит, по определению 5 график функции есть кривая в

Формула (4) в данном случае упрощается, поскольку, полагая в ней получаем

В частности, если рассмотреть полуокружность

окружности то для нее получим

Но под знаком последнего интеграла стоит неограниченная функция и, значит, он не существует в традиционном, изученном нами смысле. Означает ли это, что полуокружность не имеет длины? Пока это только означает, что указанная параметризация полуокружности не удовлетворяет условиям непрерывности функций при которых была выписана формула (4), а значит, и формула (6). Поэтому нам следует либо подумать о расширении поятия интеграла, с тем чтобы интеграл в (7) получил определенный смысл, либо перейти к параметризации, удовлетворяющей условиям применимости формулы (6).

Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на любом отрезке вида , где то на нем формула (6) применима и по ней находим длину

дуги окружности, лежащей над отрезком

Естественно поэтому считать, что длина полуокружности есть предел таком же смысле можно понимать и интеграл в соотношении (7). Этим естественно возникающим расширением понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем параграфе.

Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже не меняя параметризацию, можно найти, например, длину дуги единичной окружности, опирающейся на хорду, конгруэнтную радиусу окружности.

Тогда (уже из геометрических соображений) должно быть Заметим также, что

Длина полуокружности единичного радиуса обозначается символом , и мы приходим к следующей формуле:

Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Римана, и его можно вычислить с любой точностью.

Если для величину назвать то в силу проведенных выше выкладок

Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными надо считать функцию введенную только что, и функцию которую можно ввести аналогично, а функции их тогда можно получить как им обратные на соответствующих отрезках. В. сущности, именно это и делается в элементарной геометрии.

Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что, разбирая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то замечание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще определенное формулой (3) число от выбора системы координат и параметризации кривой, когда речь идет о длине кривой.

Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых координат, рассмотрим здесь роль параметризации.

Уточним, что под параметризацией некоторой кривой в мы подразумеваем задание простого пути носителем которого является данная кривая. Точку или число называют параметром, а промежуток I — областью изменения параметра.

Если — два взаимно однозначных отображения с одним и тем же множеством значений , то естественно возникают взаимно однозначные отображения между областями определения и I этих отображений.

В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то между самими параметрами устанавливается естественное соответствие или позволяющее по параметру точки в одной параметризации определять ее же параметр в другой параметризации.

Пусть — две параметризации одной кривой с соответствием начала и конца. Тогда функции перехода от одного параметра к другому будут непрерывными, строго монотонными отображениями отрезков а друг на друга с соответствием начал и концов

Если кривые при этом задавались такими тройками гладких функций, что на на то можно проверить, что в

этом случае функции перехода будут гладкими функциями, имеющими положительную производную на отрезке своего определения.

Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы о неявной функции. В данный же момент высказанное утверждение служит скорее мотивировкой следующего определения.

Определение 9. Говорят, что путь получен из пути допустимым изменением параметризации, если существует такое гладкое отображение что

Проверим теперь следующее общее

Утверждение 2. Если гладкий путь получен из гладкого пути допустимым изменением параметризации, то длины этих путей совпадают.

Пусть задаются соответственно тройками гладких функций, — допустимое изменение параметризации, при котором

Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирования композиции функций и правило замены переменной в интеграле, имеем

Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее гладкой параметризации.

Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении его параметризации.

Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о которой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим еще один

Пример 4. Найдем длину эллипса, задаваемого каноническим уравнением

Взяв параметризацию получаем

где — квадрат эксцентриситета эллипса.

не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с эллипсом называется эллиптическим. Точнее, — эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Значение, которое он принимает при зависит только от , обозначается через и называется полным эллиптическим интегралом второго рода. Итак, поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет вид

точки - длина дуги участка траектории, пройденного точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Большой энциклопедический политехнический словарь . 2004 .

Смотреть что такое "ДЛИНА ПУТИ" в других словарях:

длина пути — kelio ilgis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Atstumas tarp dviejų viena nuo kitos nutolusių kelio vietų. atitikmenys: angl. length of path; path length vok. Weglänge, f rus. длина пробега, f; длина пути, f pranc.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

длина пути — kelio ilgis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. path length vok. Weglänge, f rus. длина пробега, f; длина пути, f pranc. distance de parcours, f; longueur de parcours, f … Fizikos terminų žodynas

длина пути волны — Длина пути упругой волны в среде. [BS EN 1330 4:2000. Non destructive testing Terminology Part 4: Terms used in ultrasonic testing]. Единица измерения м [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины … Справочник технического переводчика

длина пути утечки изолятора — Кратчайшее расстояние или сумма кратчайших расстояний по контуру наружной изоляционной поверхности между частями, находящимися под разными электрическими потенциалами. Примечание. Кратчайшее расстояние, измеренное по поверхности цементного шва… … Справочник технического переводчика

длина пути жидкости — Расстояние между местами входа и слива одного потока жидкости, измеренное в направлении движения жидкости. [ГОСТ 16332 70] Тематики аппаратура колонная … Справочник технического переводчика

длина пути распространения звука от воздушного судна — Расстояние oт местоположения воздушного судна в момент излучения регистрируемого шума до точки измерения шума. [ГОСТ 26120 84] Тематики акустика авиационная Обобщающие термины сертификация воздушного судна по шуму EN sound propagation distance… … Справочник технического переводчика

длина пути рассеяния — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN scattering length … Справочник технического переводчика

длина пути утечки — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN leakage path length … Справочник технического переводчика

Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.

Длиной пути называют сумму длин всех участков траектории, которые прошла точка за рассматриваемый промежуток времени от t₁ до t₂.

В том случае, если уравнения движения представлены в прямоугольной декартовой системе координат, то длина пути (s) определяется как:

В цилиндрических координатах длина пути может быть выражена как:

В сферических координатах формулу длины пути запишем:

Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t₁ называют начальным положением. Очень часто полагают t₁=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).

Считают, что за промежуток времени $d t \rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds, который называют элементарным. При этом:

где $\bar$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Виды движения и формулы длины пути

Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:

где t₁ – начало отсчета движения, t₂ – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.

Если движение не является равномерным, то можно длину пути $\Delta s$ на отрезке времени от $t$ до $t + \Delta t$ находят как:

$$\Delta s=\langle v\rangle \Delta t(6)$$

где $\langle v\rangle$ – средняя путевая скорость. При равномерном движении $\langle v\rangle = v$ .

Путь, который проходит материальная тоска при равнопеременном движении (a=const)вычисляют как:

где a – постоянное ускорение, v₀ – начальная скорость движения.

Единицы измерения пути

Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м

Примеры решения задач

Задание. Траектория движения материальной точки изображена на рис. 1. Каков путь, пройденный точкой, чему равно перемещение, если точка двигалась 1-2-3-4.

Решение. Перемещение – кратчайшее расстояние между точками 1 и 4. Следовательно, перемещение точки равно:

Путь – длина траектории. Рассматривая график на рис.1 получаем, что путь материальной точки равен:

Ответ. Путь равен 20 м, перемещение равно 4 м.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Уравнение движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат представлено функцией: x=-0,2t 2 (м) . Какой путь пройдет материальная точка за 5 с?

Решение. Так как уравнение движения задано только одной координатой, то в качестве основы для решения задачи примем формулу пути в виде:

Подставим в (2.1) функцию x=-0,2t 2 , учтем, что $0 c \leq t \leq 5 c$ имеем:

точки - длина дуги участка траектории, пройденного точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Смотреть что такое ДЛИНА ПУТИ в других словарях:

ДЛИНА ПУТИ

path length, path* * *path length

ДЛИНА ПУТИ

lunghezza del percorso

ДЛИНА ПУТИ

ДЛИНА ПУТИ ЛУЧА

beam path length

ДЛИНА ПУТИ НИТИ В ВАННЕ

distance of immersion

ДЛИНА ПУТИ НИТИ В ВАННЕ

• délka koagulační dráhy

ДЛИНА ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

араласу жолының ұзындығы

ДЛИНА ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

ДЛИНА ПУТИ УТЕЧКИ

жылыстау жолының ұзындығы

ДЛИНА ПУТИ УТЕЧКИ

• délka svodové dráhy

ДЛИНА ПУТИ УТЕЧКИ

creepage [creeping] distance, leakage distance

ДЛИНА ПУТИ УТЕЧКИ ИЗОЛЯТОРА

English: Creepage distance Кратчайшее расстояние или сумма кратчайших расстояний по контуру наружной изоляционной поверхности между частями, находящими. смотреть

В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.

Траектория - форма линии, описываемая телом. Ее длина представляет собой путь и является скалярной величиной. Перемещением же называется вектор, соединяющий точки начала и конца пути, и направленный от начала к концу.

Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) - в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).

При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:

$S = v \cdot (t_2 - t_1) = v \cdot \Delta t$,

где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $\Delta t$ - время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.

Поскольку скорость - векторная величина, равномерным можно считать только движение по прямой, т.к. при изменении направления движения вектор не остается неизменным даже при сохранении его длины.

Если равноускоренное движение начато с нулевой скорости и известно ускорение, то формула пути имеет вид

где $a$ – ускорение тела.

Объединив два условия, получим общую формулу нахождения пути при равноускоренном движении с произвольной начальной скоростью:

$S = \frac + v_0 \cdot \Delta t$.

Если движение не равномерное и известна средняя скорость движения, то путь можно выразить и другим способом:

$S = v_ \cdot \Delta t$,

где $v_$ - средняя скорость движения.

На практике движение бывает равномерным или равноускоренным лишь на небольших фрагментах пути, поэтому для вычисления его длины траекторию разбивают на участки, где тело движется по простым закономерностям, вычисляют длину каждого из них и суммируют. Если известна траектория, то ее разбивают на фрагменты, каждый из которых имеет простую геометрическую форму. Сложив их длины, можно найти путь.

Найти путь, пройденный при движении с ускорением 2 $м/с^2$ в течение 20 с, если скорость на момент начала измерения была равна 10 м/с.

Читайте также: