Дифракция на щели в параллельных лучах кратко

Обновлено: 08.07.2024

Найди готовую курсовую работу выполненное домашнее задание решённую задачу готовую лабораторную работу написанный реферат подготовленный доклад готовую ВКР готовую диссертацию готовую НИР готовый отчёт по практике готовые ответы полные лекции полные семинары заполненную рабочую тетрадь подготовленную презентацию переведённый текст написанное изложение написанное сочинение готовую статью

Сделан в Word, графики в электронном виде с ссылками. Курсовая работа. Вариант 33. Гидравлический расчет гидросистемы стенда для испытания центробежных насосов.

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)

Дифракция на щели

Дифракцию в параллельных лучах называют дифракцией Фраунгофера. Сначала остановимся на дифракции на одной щели. Пусть пучок параллельных лучей падает на экран со щелью шириной а (рис. 1). Каждая точка щели будет являться новым источником колебаний распространяющихся во все стороны. Если за щелью установить собирающую линзу, то лучи идущие под некоторым углом j к первоначальному направлению соберутся в фокальной плоскости линзы. Проведем аналитическое решение. Для чего запишем выражение волны выбранного элемента щели dx, расположенного на расстоянии x от начала щели и просуммируем действие всех элементов. Выражение плоской волны, падающей на щель, запишем в виде

Элемент dx определяет возмущение

, (2)

где – амплитудное значение.

Рекомендуемые материалы

Для нахождения результирующего возмущения в любой точке экрана, определяемой углом дифракции j, необходимо знать распределение фаз всех колебаний, проходящих в эту точку. Для этого проведем плоскость АД перпендикулярно направлению дифрагированных лучей. Так как линза не вносит добавочной разности хода, то распределение фазы в т. Р будет таким же как в плоскости АД. Разность хода лучей идущих от начала щели и от элемента dx будет СЕ= xsinj.

Элемент dx создает в т. Р_j колебание

(3)

а результирующее возмущение в т. Р_j будет

(4)

После интегрирования получим

(5)

Амплитудное значение запишется в виде

(6)

Во многих практических случаях (при наблюдении в трубу) угол j мал и можно положить sinφ≈φ, тогда

(7)

График распределения амплитуды на экране представлен на рис. 2. Е₀_j обращается в ноль для углов удовлетворяющих условию

т.е. для (9). При промежуточных значениях угла j амплитуда достигает максимальных значений. Наибольший максимум имеет место когда : т.е. φ=0 (10), при этом E₀_φ=E₀. Следующие максимумы найденные графическим сложением определяются условиями

; ; ; (11)

Интенсивность света (12)

На графике пунктирная кривая. Расчеты показывают, что интенсивность главного и следующих максимумов относятся как 1:0,47:0,008:0,005 и т.д. Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме.

Из формулы максимумов и минимумов видно, что на их положение влияет как длина волны, так и ширина щели. С увеличением длины волны l увеличивает угол положение дифракционных максимумов и минимумов. Если падающий свет белый, то в центре дифракционной картины наблюдается белая полоса, переходящая в цветную.

С увеличением ширины щели а, происходит сближение максимумов и минимумов относительно центра, а при уменьшении ширины щели центральный максимум расплывается и при а=l, т.е. sinj=1, j=p/2 центральный максимум расплывается в бесконечность.

Дифракция на двух щелях

Эти направления определяются из условия

, т.е. (13)

В направлениях (14) cвет усиливается. Этим направлениям соответствуют главные максимумы.

Таким образом, между двумя главными максимумами располагаются один добавочный минимум.

Дифракционная решетка

Решетка имеет N щелей и расстояние d=a+b называется периодом решетки.

Световой эффект от дифракции на решетке можно найти сложив действие всех N щелей. Для этого удобно использовать комплексную форму световых волн. В этом случае это будет ряд, представляющий геометрическую прогрессию

(15)

Здесь d разность фаз определяемая разностью хода , а Δ=dsinφ. Дробь можно представить в виде , где – есть мнимая часть. Учитывая, что и введя обозначение и , выражение для действительной части колебаний запишется в виде (16) Выражение для интенсивности будет

(17)

Множитель определяет действие одной щели, а множитель определяет взаимодействие N щелей.

Условие главных максимумов dsinφ=mλ (18) дает для , следовательно и максимальная амплитуда будет NЕ₀_j. Амплитуда главных максимумов модулируется множителем (sina/a). Максимальное значение этого множителя равно 1 и достигается при a=0, т.е. j=0, соответствующее центральному максимуму. Минимумы достигаются когда в результате сложения комплексных амплитуд, получается результирующая нулевая амплитуда. Для различных d (т.е. при различных j) ломаная кривая при векторном сложении может быть замкнута много раз, это удовлетворяется при разности фаз волн от крайних щелей равной 2p, 4p… . Поэтому условие минимумов в дифракционной картине запишется в виде Nδ=2πm (m=0, 1, 2,…) учитывая (19), имеем dsinφ=(m/N)λ; m¹0, N, 2N… В виду того, что в решетке ширина щели a обычно мала, то центральный максимум довольно широк, так что на его протяжении укладывается несколько главных максимумов решетки (Рис. 4). Если решетка включает периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на нее сразу, то ее называют амплитудной. Если же решетка вносит периодические изменения в фазу волны, но не влияет на ее амплитуду, то ее называют фазовой. Амплитудной решеткой служить решетка, представляющая собой совокупность равностоящих щелей в непрозрачном экране. Приближением фазовой решетки может служить стеклянная пластинка с периодически изменяющейся толщиной (рис. 5), отражательной фазовой решеткой может служить призма с преломляющим углом 90 0 на гипотенузной стороне которой напылены равностоящие полоски серебра параллельно преломляющему ребру. Свет отражается от посеребренных и непосеребренных полосок, при этом фаза волны изменяется по-разному. Амплитуда волны при отражении не меняется.

Трехмерные, пространственные решетки обладают периодичностью в трех различных направлениях. Обозначим периоды d₁, d₂, d₃. Найдем условие образования дифракционных максимумов. В качестве таких решеток являются кристаллические. Сначала рассмотрим действие отдельной цепочки с периодом d₁ (рис. 6). Угол падения

Усиление будет при

Каждому значению m соответствует свой конус. Условие для другого направления с периодом d₂ будет аналогично

Эти условия называются формулами Лауэ. Наибольшее значение модуля разности косинусов равно 2. поэтому эти условия могут быть выполняемы при отличном от нуля значениях индекса m лишь в том случае, если l не превышает 2d. В случае прямоугольной системы координат углы a, b, g связаны друг с другом следующим образом

cos 2 α+ cos 2 β+ cos 2 γ=1 (23)

Система уравнений (21, 22, 23) будет разрешимой лишь для некоторых определенных длин волн. Каждому такому значению l соответствует только один максимум. Русский ученый Вульф и английские физики Брэгги показали, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно осуществить простым способом.

Ещё посмотрите лекцию "Методы планирования" по этой теме.

Рассмотрим дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической решетке (рис. 7). a – угол скольжения луча с атомной плоскостью. Разность хода между двумя лучами при отражении будет

Физика

Электродинамика

Магнитное поле

Механические колебания

Электромагнитные колебания

Механические волны

Электромагнитные волны

Оптика

Геометрическая оптика

Задачи на сферическое зеркало

Линза

Волновая оптика

Основы теории относительности

Основы квантовой физики

Излучения и спектры

Световые кванты

Атомная физика

Ядерная физика

Физика элементарных частиц

Открытие позитрона. Античастицы

Современная физическая картина мира

Строение Вселенной

Звёзды и источники их энергии. Современные представления о происхождении и эволюции Солнца и звёзд

§2 Дифракция Фраунгофера на одной щели

Дифракция Фраунгофера (или дифракция плоских световых волн, или дифракция в параллельных лучах) наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию.

Для наблюдения дифракции Фраунгофера необходимо точечный источник поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину можно исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Пусть монохроматическая волна падает нормально плоскости бесконечно длинной узкой щели ( ), - длина, b - ширина. Разность хода между лучами 1 и 2 в направлении φ

Разобьём волновую поверхность на участке щели М N на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой полосы выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2, т.е. всего на ширине щели уложится зон. Т.к. свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны, следовательно, все точки фронта в плоскости щели будут колебаться синфазно. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Число зон Френеля укладывающихся на ширине щели, зависит от угла φ.

Условие минимума при дифракции Френеля:

Если число зон Френеля четное

то в т. Р наблюдается дифракционный минимум.

Если число зон Френеля нечетное

то наблюдается дифракционный максимум.

При φ’=0, Δ = 0 в щели укладывается одна зона Френеля и, следовательно, в т. Р главный (центральный) максимум нулевого порядка.

Основная часть световой энергии сосредоточена в главном максимуме: m =0:1:2:3. ; I =1: 0,047: 0,017: 0,0083. ( m -порядок максимума; I - интенсивность).

Сужение щели приводит к уширению главного максимума и уменьшению его яркости (то же и с другими максимумами). При уширении щели ( b >λ ) максимумы будут ярче, но дифракционные полосы становятся уже, а числе самих полос - больше. При b >> λ центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.

При падении белого света будет разложение на его составляющие. При этом фиолетовый свет будет отклоняться меньше, синий - больше и т.д., красный - максимально. Главный максимум в этой случае будет белого цвета.

§5 Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, разделенных непрозрачными промежутками, также одинаковыми по ширине

а - ширина непрозрачного участка;

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция. Т.к. щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей дифракционной решетки.

(1)

В направлениях, в которых наблюдается минимум для одной щели, будут минимумы и в случае N щелей, т.е. условие главных минимумов дифракционной решетки будет аналогично условию минимумов для щели:

(2)

- условие главных минимумов.

Условие максимумов; те случаи φ, которые удовлетворяют максимумам для одной щели, могут быть либо максимумами, либо минимумами, т.к. всё зависит от разности хода между лучами. Условие главных максимумов:

(3)

Эти максимумы будут расположены симметрично относительно центрального (нулевого k = 0) максимума.

Для тех углов φ, для которых одновременно выполняется (2) и (3) максимума не будет, а будет минимум (например, при d =2 b для всех четных k =2р, р = 1, 2, 3. ). Между главными максимумами имеются дополнительные очень слабые максимумы, интенсивность которых во много раз меньше интенсивности главных максимумов (1/22 интенсивности ближайшего главного максимума). Дополнительных максимумов будет N - 2, где N - число штрихов.

Условие дополнительных максимумов:

Между главными максимума будут располагаться ( N - 1) дополнительных минимумов.

Условие дополнительных минимумов:

Таким образом, дифракционная картина, при дифракции на дифракционной решетке зависит от N и от отношения d / b .

Пусть N =5, d / b =4. Тогда число главных максимумов( sin φ =1) k _max d / λ . Между ними по N -2 = 3 дополнительных максимума и N – 1 = 4 дополнительных минимума. При k / m = d / b =2,4,8. - главных максимумов не будет, а будут главные минимумы.

Таким образом, дифракционная картина при дифракции на дифракционной решетке будет иметь вид:

$Difraction demo$

Если решетку освещать монохроматическим белым светом, то будет картина, показанная на рис. Если освещать белым светом, то все максимумы, кроме центрального ( k = 0) разложатся в спектр - совокупность составляющих цветов, причем фиолетовые линии будут ближе к центру, а красные дальше (т.к. λ_ф

При рассмотрении дифракции Френеля нельзя пренебрегать кривизной поверхности дифрагированных (а иногда и падающих на препятствие) волн.

Другой тип дифракции — дифракция Фраунгофера (Й. Фраунгофер, 1787—1826), наблюдаемая в параллельных лучах (плоские волны),— имеет место, если точка наблюдения (иногда и источник света) бесконечно удалена от препятствия, на котором происходит дифракция. Практически это достигается наблюдением дифракционной картины в фокальной плоскости собирающей линзы, расположенной за препятствием. При этом освещенность может быть сделана гораздо больше, чем при дифракции Френеля, благодаря чему дифракция Фраунгофера имеет большое практическое применение.

Рассмотрим простейший случай — дифракцию на одной щели, сделанной в непрозрачном экране (рис. 4.7).

Пусть ширина щели равна h; протяженность ее в направлении, перпендикулярном чертежу, будем считать неограниченной. На щель слева падает плоская волна под нулевым углом падения. Расположим за щелью экран для наблюдения, поместив его в фокальной плоскости собирающей линзы с фокусным расстоянием F.

Вторичное излучение щели можно представить совокупностью параллельных пучков лучей всевозможных направлений, характеризуемых углами а (см. рис. 4.7). Лучи, идущие под нулевым углом, параллельны главной оптической оси линзы и собираются ею в главном фокусе. При этом, так как линза не создает разности хода, фазы всех колебаний в главном фокусе О одинаковы, поэтому центральный максимум (при освещении щели белым светом) также оказывается белым.

Для наклонных пучков лучей дело обстоит сложнее. Проведем плоскость, нормальную пучку, идущему под углом α (ВС — ее след, см. рис. 4.7). Начиная от этой плоскости вправо до побочного фокуса О₁ где собирается этот пучок, дополнительной разности хода не создается. Но на плоскости ВС лучи уже имеют разность хода; для лучей, идущих от точек В и С, она максимальна и равна:

(4.6)

Вообразим еще несколько вертикальных плоскостей, параллельных выбранному направлению лучей. Пусть они проходят через лучи, между которыми имеется разность хода λ/2. Они разделят поверхность щели на узкие равновеликие прямоугольные зоны Френеля с длинной стороной, параллельной краям щели. Число образовавшихся зон, очевидно, равно n (из последнего уравнения). Условием минимума света в точке О₁ фокальной плоскости является выполнение равенства:

(4.7)

т. е. разбиение щели на четное число зон Френеля: их действия взаимно уничтожаются, и в соответствующих направлениях получается минимум освещенности (темнота). Так как А зависит от длины волны, то при освещении щели белым светом по обе стороны от белого центрального максимума (А=0) симметрично располагаются цветные изображения щели (спектры), обращенные к центральному максимуму фиолетовыми концами.

Найдем теперь распределение освещенности в фокальной плоскости. Пусть напряженность электрического поля падающей волны в плоскости щели меняется по закону:

Тогда вклад участка шириной dx в поле плоской волны, идущей под углом а, есть:

где волновое число

Суммарное поле в этом направлении определится так:

Вводя новую переменную

получим после интегрирования:

(4.8)

получим окончательно для амплитуды напряженности электрического поля в направлении а:

Интенсивность света пропорциональна квадрату этого выражения:

При а=0 Ɵ=0, и потому

Мы уже видели раньше, что этот результат не зависит от длины волны. Минимумы света получаются при условии:

что также было получено выше. Между минимумами располагаются боковые максимумы в направлениях, для которых отношение максимально. Расчет показывает, что максимумам соответствуют углы:

В первом приближении можно считать условие максимума более простым:

При этом интенсивность быстро падает с увеличением номера максимума. Если интенсивность при α=0 (для монохроматического света) принять за 100, то интенсивности следующих максимумов таковы: 4,7; 1,7; … .

Следовательно, подавляющая часть светового потока собирается в пределах центрального максимума, т. е. в пределах угла

На рисунке 4.8 показана дифракционная картина, даваемая прямоугольной щелью конечных размеров (высота щели вдвое больше ее ширины). При этом дифракционная картина растянута по горизонтали больше, чем по вертикали, так как дифракция тем заметнее, чем уже освещаемый участок. При круглом отверстии радиусом ρ дифракционная картина обладает круговой симметрией. Распределение интенсивности света в направлении α от оси круглого отверстия зависит от величины

Для ρ=6 мм, λ=0,6 мкм, т. е. для λ/ρ=10 -4 , это распределение изображено на рисунке 4.9.

При этом направление на первый минимум определяется условием:

Если дифракция происходит на одном отверстии, то практически весь световой поток можно считать сосредоточенным в пределах центрального максимума.

Читайте также: