Дифракция на круглом отверстии кратко

Обновлено: 30.06.2024

Схожие дифракционные явления можно наблюдать при прохождении света через малое отверстие или, как принято говорить, от дополнительного экрана — диска, размером в это отверстие. Пусть плоская световая волна падает на малое круглое отверстие радиусом а (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Дифракция света на круглом отверстии

Плоский фронт, совпадающий с отверстием, можно рассматривать как совокупность фиктивных источников, испускающих когерентные волны, которые в точке наблюдения Р будут интерферировать. Разобьем площадь отверстия на ряд кольцевых зон Френеля, для чего из точки Р проведем ряд сфер с радиусами:

Если число зон, которые укладываются в отверстии, четно, то в точке Р будет темное пятно. Действительно, результирующая амплитуда колебаний при 2-х, 4-х, . 2m зонах равна соответственно

При небольших отверстиях (небольших m) амплитуды А₁ и А_m2+1 мало отличаются друг от друга, поэтому результирующая амплитуда будет мала, и в точке наблюдения будет темное пятно.

При нечетном числе зон k = 2m-1 (m=1, 2, 3, . ) аналогичные рассуждения приводят к выражению

то есть в точке наблюдения будет светлое пятно.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния и длины волны :

откуда число открытых зон получается равным

Таким образом, при данном радиусе отверстия а и длине волны падающего света число зон Френеля к является функцией расстояния между отверстием и точкой наблюдения.

Расчет амплитуды результирующих колебаний, пришедших в другие точки экрана, более сложен. Из соображений симметрии следует, что интерференционная картина на экране вокруг центрального светлого (или темного) пятна (в зависимости от четности числа k) должна иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центрами в точке Р. Интенсивность максимумов должна убывать при удалении от точки Р.

Если источник света расположен перед отверстием на конечном расстоянии r до него, то расчет зон Френеля слегка усложняется: зоны проводятся не на плоском, а на сферическом фронте. Приведем без вывода выражение для радиусов зон Френеля в этом случае:

приходим к формуле (5.4) для плоской волны.

Поместим теперь между падающей плоской волной и точкой наблюдения Р непрозрачный диск того же радиусом а — дополнительный экран (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Дифракция света на непрозрачном диске: справа показано распределение освещенности экрана в зависимости от расстояния х от центра экрана.
Светлое пятно в центре (максимальное значение интенсивности света I) сменяется чередующимися минимумами и максимумами, образующими светлые и темные кольца

Если диск закроет k первых зон Френеля, то амплитуда в точке Р будет равна

Выражения в скобках, как и в формуле (5.13), можно положить равными нулю, то есть

Таким образом, за небольшим непрозрачным диском

в центре экрана будет светлое пятно. Чем больше диск, тем, очевидно, амплитуда А_k₊₁ меньше, и освещенность пятна слабее, то есть дифракция менее существенна. Для точки Р', смещенной относительно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть (k + 1)-й зоны Френеля, одновременно откроется часть зоны k. Это вызовет уменьшение интенсивности. При некотором положении точки Р' интенсивность достигает минимума. Следовательно, в случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид светлого центрального пятна и чередующихся темных и светлых концентрических колец (см. рис. 5.4). Светлое пятно в центре геометрической тени, предсказанное С. Пуассоном в 1818 г., выдвигалось в качестве опровержения волновой теории света. Однако Д. Араго на опыте доказал, что выводы Пуассона соответствуют действительности и лишь подтверждают волновую теорию и ее предсказания, вытекающие из метода зон Френеля.

Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает по нормали плоская волна света ( мкм). Точка наблюдения находится на расстоянии b = 1 м на оси отверстия. Определим, сколько зон Френеля укладывается в отверстии.

В центре картины будет темное пятно.

Пример 2. Точечный источник света ( мкм) расположен на расстоянии l = 1 м на оси диафрагмы с отверстием радиусом а = 1 мм. За отверстием помещают экран. Найдем, при каком расстоянии от отверстия до экрана для центра дифракционной картины будут открыты 3 зоны Френеля.

Используем формулу (5.17):

В центре дифракционной картины при k = 3 будет светлое пятно, и в соответствии с формулой (5.14) амплитуда колебаний в этой точке будет равна

Если диафрагму убрать, то амплитуда станет равной A₁/2, то есть освещенность (интенсивность света) уменьшится в четыре раза.

Рассмотрим дифракцию сферических волн, или дифракцию Френеля, осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.

1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием.

Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если в отверстие укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда А = А₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (см. § 177). Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол (см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным m.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m

Рассмотрим дифракцию в сходящихся лучах, или дифракцию Френеля, осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.

Дифракция от круглого отверстия

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса . Экран расположен так, что перпендикуляр, опущенный из S на непрозрачный экран, попадает точно в центр отверстия (рис. 9.3).

На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку M и рассмотрим, что мы будем наблюдать на экране.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке М всеми зонами (9.2.1) и (9.2.2),

Таким образом, когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке М будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю, как показано на рис. 9.3.

Естественно, что если , то никакой дифракционной картины не будет.

Дифракция от диска

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск (рис. 9.4).

Точка M лежит на перпендикуляре к центру диска. Первая зона Френеля строится от края диска и т. д.

Амплитуда световых колебаний в точке M равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной. Если размер диска невелик (охватывает небольшое число зон), то действие первой зоны немногим отличается от действия центральной зоны волнового фронта. Таким образом, освещенность в точке M будет такой же, как и в отсутствие экрана. Вследствие симметрии центральная светлая точка будет окружена кольцами света и тени (вне границ геометрической тени).

Разместим на пути распространения сферической волны света непрозрачную преграду (экран), в котором сделано круглое отверстие радиуса $r_0$. При этом экран располагается так, что перпендикуляр от источника света ($S$) попадает в центр отверстия (рис.1).

В том случае, если $r_0\ll a,b$, то расстояние $a$ можно считать расстоянием от преграды до источника света, $b$ - расстояние от преграды до точки $A$. В том случае, если расстояния удовлетворяют выражению:

где $m$ - целое число, в таком случае отверстие открывает $m$ первых зон Френеля, построены для точки $A$. Соответственно можно выразить количество открытых зон Френеля как:

Амплитуду в точке $A$ найдем как:

где пред амплитудой стоит знак плюс для нечетных $m$. При этом величины амплитуд двух соседних зон почти одинаковы. Значит, можно записать:

Для небольших m $A_m\approx A_1$, получается, что при нечетных $m$ амплитуда в точке $A$ оказывается равной величине около $A_1$, при четных $m$ амплитуда равна нулю.

Если преграду убирают, то амплитуда в точке $A$ равна $\frac$. Следует сделать вывод о том, что преграда с отверстием, которое открывает малое число зон, ведет к росту амплитуды почти в два раза, интенсивности - в четыре раза.

Характер дифракционной картины

Рассмотрим, какова дифракционная картина на экране (рис.1). Ее вид зависит от количества зон Френеля, которые укладываются в отверстии. Отверстие на преграждающем экране расположено симметрично относительно прямой $SA$. Следовательно, освещенность различных точек демонстрационного экрана зависит только от расстояния до точки $A$. В точке $A$ интенсивность достигает максимума или минимума, что зависит от того четное или нечетное число зон Френеля открыто. Пусть количество открытых зон равно трем. В центре картины дифракции интенсивность имеет максимум. Картина зон Френеля для этой точки имеет вид рис.2 (а).

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим точку $A'$. Картина зон Френеля для нее ограничена краями отверстия. Она изображена на рис.2 (б). Края отверстия прикроют часть третьей зоны, при этом фрагментарно откроется четвертая. В результате интенсивность света уменьшается и при некотором положении точки $A'$ станет минимальной.

В точке $A''$ края отверстия частично закроют третью и вторую зоны Френеля, при этом откроется часть пятой зоны (рис.2(в)). В сумме объем нечетных зон окажется выше, интенсивность в точке $A''$ достигает максимума, при этом слабее, чем в точке $A$.

Получается, что картина дифракции от круглого отверстия является совокупностью чередующихся светлых и темных концентрических колец. В центре этой картины или светлое, или темное пятно.

Если демонстрационный экран перемещать параллельно самому себе по прямой $SA$, то темные и светлые полосы меняют друг друга, так как согласно формуле (2), если изменяется $b$, то $m$ может становиться то четным, то нечетным.

В том случае, если отверстие в преграде открывает только часть центральной зоны Френеля, то на экране мы имеем размытое светлое пятно (чередования максимумов и минимумов не возникает).

Если открыто большое количество зон Френеля, то чередование светлых и темных колец мы можем видеть только в узкой области на границе геометрической тени.

Если отверстие преграды освещено белым светом, то кольца окрашиваются.

Количество открытых зон Френеля зависит от диаметра отверстия. Если диаметр большой, то результирующая амплитуда такая же, как при полностью открытом фронте волны. Дифракции не наблюдается.

Задание: Каков радиус отверстия, если на экране наблюдается картина дифракции? Центр дифракционной картины является самым темным. Расстояние от дифракционной картины до точечного источника света равна $1 м$, $\lambda =0,5 мкм$. Диафрагма с круглым отверстием расположена посередине между источником и экраном.

Решение:

Как основу для решения задачи используем формулу:

По условию задачи имеем минимум интенсивности света в центре, это значит, что $m=2$. Формула (1.1) преобразуется к виду:

Переведем длину волны в систему СИ: $\lambda =0,5\ мкм=0,5\cdot ^м.$ Проведем вычисления:

Ответ: $r=0,5 мм$.

Задание: Параллельный пучок света нормально падает на экран с круглым отверстием. Радиус отверстия равен $r=1,5 \ мм$, $\lambda =0,5 \ мкм$. Расстояние от отверстия до точки наблюдения $b=1,5 \ м$ . Какое количество зон Френеля укладывается в отверстии? Максимум или минимум находится в центре дифракционной картины?

Решение:

Исходя из выражения, которое определяет зоны Френеля:

используя формулу для радиусов зон (рис.3):

Так как длина волны видимого света мала, то ее квадратами можно пренебречь, то есть получаем:

\[^2\approx bm\lambda \to r=\sqrt\left(2.4\right).\]

Из выражения (2.4) получим $m$:

Проведем расчет, если получим $m$ - четное число, то имеем минимум, если $m$ равно нечетному числу, то максимум.$\ $

Ответ: В отверстии укладывается 3 зоны Френеля. В центре картины дифракции имеется светлое пятно.

Читайте также: