Базис это в информатике кратко

Обновлено: 28.06.2024

Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не зависит от позиции (разряда).

То есть, если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе, то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное множество позиционных систем.

Примеры позиционной системы счисления – двоичная система счисления, десятичная система счисления, восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.

Примеры базисов различных систем счисления.

В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 82, 83, 84…, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 3458=5*80+4*81+3*82
Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…
Таким образом, справедливо, что 810=108.
В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 32, 33, 34…,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*30+2*31+1*32. Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 310=103.
Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 22, 23,24,… Развернутая запись числа 101102=0*20+1*21+1*22+1*23+1*24. Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 210=102.
В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записишестнадцатеричного числа 3А516=5*160+10*161+3*162. Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 1610=1016.

Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
В общем виде это можно записать так: anan-1an-2…a1a0,b1b2…bk=an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+b1*p-1+b2*p-2+…+bk*p-k
где р - основание системы счисления, аi,bi – цифры р-ичного числа.

Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано.

Набор простейших функций, с помощью которого можно выразить любые другие, сколь угодно сложные логические функции, называется функционально полным набором, или логическим базисом.
Полная система функций называется базисом, если она перестаёт быть полной при исключении из неё любого элемента.

Любую булеву функцию с произвольным количеством аргументов можно построить через подстановку элементарных функций вместо аргументов (суперпозицию).

Содержание

Инверсия (логическое отрицание, "НЕ")

a	a̅
0	1
1	0

Конъюнкция (логическое умножение, "И")

a	b	a˄b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкция (логическое сложение, "ИЛИ")

a	b	a˅b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Виды базисов

Существуют базисы состоящие из одной, двух и трех операций, но не более (см. таблицу). Необходимое и достаточное условие для того, чтобы некоторый набор булевых функций обладал достаточной выразительностью, чтобы представить любую булеву функцию, задает Критерий Поста

Число операций, составляющих базис	Базисы
1	,
2	, , , ,
3	, , <+(mod 2), И, НЕ>, <+(mod 2),ИЛИ,НЕ>,<+(mod 2), ИЛИ, 1>,

где ↓ - стрелка Пирса, / - штрих Шеффера, → - имликация

Пример использования

Рассмотрим пример использования базиса Пусть есть выражение вида a̅˄b̅ , тогда навесив инверсию над всем выражением и используя закон де Моргана, получим:

Всем привет, в этой статье пойдет речь пойдет про позиционные системы счисления. На этой странице вы найдете основные определения, краткую историю, свойства и преимущества использования позиционных нумераций в сравнении с непозиционными.

Краткий экскурс в прошлое

Историками принято считать, что первыми основоположниками, заложившими начало развития позиционных форм записи, являлись древние шумеры и вавилоняне. В пятом веке, на этом фундаменте индийцы создают систему счисления, алфавит которой состоял из цифр от 0 до 9.

В этом трактате впервые появились такие слова, как равно и алгоритм, а также он являлся основой для создания таких наук как алгебра и арифметика. С десятого века появляются упоминания о появлении позиционной десятичной формы записи в Европе.

В двенадцатом веке математик Леонардо Фибоначчи издал работу, где показывал достоинства позиционных счислений над непозиционными. К основным достоинствам ученый отнес компактную запись и удобство выполнения арифметических операций над числами с большими значениями.

В Российской Империи знаки арабского алфавита начинают использовать с восемнадцатого века, полностью вытеснив славянско-кириллическую форму записи.

Зная краткую историю, можно перейти к основным определениям, которые помогут в освоении данной темы.

Основные определения

Итак, первое, что вам нужно знать – что такое основание позиционной системы счисления.

Основанием (или базисом) называется количество знаков (цифр), которые будут использоваться вами для того, чтобы изобразить нужное числовое значение.

Понятие может показаться непонятным, однако ничего сложного в нем нет. Так в десятичной нумерации, которая включает себя цифры от нуля до девяти, базис будет равен 10, а для цифрового (двоичного) кода, который широко используется в информатике, основание будет равно 2, так как в качестве знаков используются только ноль и единица.

Также здесь нужно показать каким образом для удобства в математике записывается основание. А записывается оно с помощью нижнего индекса, например:

И еще одно важное понятие, которое нужно знать – что такое разряд.

Числовым разрядом – называется место (позиция) цифры, которое она занимает в числе.

Также вам нужно запомнить очень важное правило: отсчет позиции начинается с нуля. Не спрашивайте, почему так придумали математики – объяснить это трудно, да и не нужно. Примите его как данность.

Чтобы вам было понятно, как считаются позиции, приведем ниже изображение:

Разобравшись с этими положениями можно перейти к главному определению. Вначале я напишу его полностью, а потом попытаюсь подробно разобрать. Итак:

Позиционной называется система, которая определяется числом b>1. Где b – называется базисом системы счисления. Системы с основанием b, могут также называться b-ичными. Любое целое числовое значение x, записанное в системе с основанием b можно представить в виде линейной комбинации, которая выглядит следующим образом:

Где N-номер крайней позиции, отсчет вести справа налево.

Разбор и пояснения

Все определение строится на коэффициенте b (базисе), который должен быть больше единицы, а это значит, что позиционных форм записи может быть бесконечное множество. Двоичная, троичная, четвертичная, пятеричная, десятеричная и даже тысячеричная. Для отображения тысячеричной нумерации вы можете использовать все цифры, а после того как они закончатся перейти на китайский алфавит– ограничений нет.

То есть

Про представление всё, ниже приведем несколько свойств, которые могут вам понадобиться, и перечислим примеры популярных позиционных нумераций.

Свойства

Примеры

Двоичная – это исчисление используется в цифровой технике, персональных компьютерах. Характеризуется легкой технической реализацией.
Третичная – сейчас почти не используется, однако в 1950-х годах на ее основе был построен советский компьютер “Сетунь”.
Восьмеричная – используется в языках программирования высокого уровня.
Десятичная – используем её в повседневной жизни.
Шестнадцатеричная – используется в языках программирования низкого уровня. Например, в языке Ассемблера.

Заключение

На это наша статья по позиционным системам счисления и характеристикам сс завершается. В этом разделе вы сможете почитать, как выполнять арифметические операции, а также научиться переводу из одной нумерации в другую. Если у вас есть подробности, то задавайте их в комментариях в форме, представленной ниже.

Ба́зис (др.-греч. βασις , основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Содержание

Происхождение термина

Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве

Базис в двумерном пространстве (то есть на плоскости). На диаграмме, голубой и оранжевый векторы — элементы базиса (или базисные векторы); зеленый вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зеленый = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются, как правило, исходящими из общего начала).

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

$\vec e_1, \vec e_2$

$\vec e_x, \vec e_y$

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

$\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$

$\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

$\vec i, \vec j, \vec k.$

$\vec a$

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

$\vec a = a_x\vec e_x + a_y\vec e_y + a_z\vec e_z$

$\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3$

$\Sigma$

или, употребляя знак суммы :

$\vec a = \sum_<i=1> ^3 a_i\vec e_i$

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Гамеля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis ) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть — полная, а — линейно независимая система векторов. Тогда система содержит набор векторов, дополняющий до базиса пространства .

Следствием этой леммы являются утверждения:

Каждое линейное пространство обладает базисом.
Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

$\dim V$

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры

Векторы пространства образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: \neq 0" width="" height="" />
.
В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: .
Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию . Пусть " width="" height="" />
— базис Гамеля множества действительных чисел " width="" height="" />
над полем рациональных чисел " width="" height="" />
. Тогда для каждого r_ + \cdots + k_ r_" width="" height="" />
(" width="" height="" />
) положим + \cdots + k_" width="" height="" />
. Функция линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Базис Шаудера

Система векторов " width="" height="" />
топологического векторного пространства называется базисом Шаудера (в честь Шаудера (англ.)), если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по " width="" height="" />
:

$f= \sum_<i=1> ^ <\infty>f_i e_i ,$

где — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису " width="" height="" />
.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций >\sin(2\pi nx), \frac> \cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\>" width="" height="" />
является базисом Шаудера в пространстве . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций

— банахово пространство с нормой |f(x)|" width="" height="" />
. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве , но не в . Шаудер сконструировал базис Шаудера " width="" height="" />
для . Пусть " width="" height="" />
— плотное счетное множество точек на , , , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка , упорядоченными произвольным образом. Положим: , — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию так, чтобы при и . Точки " width="" height="" />
разбивают на отрезок. Точка лежит строго внутри одного из них. Пусть это для каких-то " width="" height="" />
(порядок нумерации чисел не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение (x)" width="" height="" />
. Красным цветом на графике выделен участок, на котором " width="" height="" />
отличается от " width="" height="" />
(синяя ломаная).

вне отрезка " width="" height="" />
при " width="" height="" />
при

$L_n(x)= \sum_<i=0> ^ f_i e_i(x) ,$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией с узлами в точках " width="" height="" />
; формула для коэффициентов (x_n); \; \; f_0=f(a)" width="" height="" />
(см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографии

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами [1] :212-214 . В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

Читайте также: