Атом водорода в квантовой механике кратко

Обновлено: 05.07.2024

Самым простым из всех атомов является атом водорода, и он выступил в свое время в качестве своеобразного тест-объекта для теории Бора. К моменту появления теории атом водорода был тщательно исследован в ходе экспериментов: имелось знание о том, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон.

Протон - это частица с положительным зарядом, модуль которого равен модулю заряда электрона, а масса больше массы электрона в 1836 раз.

Серия Бальмера и формула Ридберга

Начало XIX века ознаменовалось открытием линейчатого спектра.

Линейчатый спектр - это дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода.

В последующем закономерности, в соответствии с которыми ведут себя длины волн (или частоты) линейчатого спектра, подробно в количественном отношении исследовал И. Бальмер (в 1885 г.)

Серия Бальмера - совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра.

Позднее подобные серии спектральных линий обнаружились в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 г. И. Ридберг составил запись эмпирической формулы для частот спектральных линий (формула Ридберга):

ν n m = R 1 m 2 - 1 n 2 .

Для серии Бальмера m = 2 , n = 3 , 4 , 5 , . . . . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1 , n = 2 , 3 , 4 , . . . .

Неизменяемая R в формуле для частот спектральных линий носит название постоянной Ридберга и равна: R = 3 , 29 · 10 15 Г ц .

До того, как Бор сформулировал постулаты, вопросы, каким же образом возникают линейчатые спектры и каков смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и некоторых других атомов), оставались без ответа.

Правило квантования

Бором было сформулировано правило квантования, которое приводило к соотносимым с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода. Ученый выдвинул гипотезу, что момент импульса электрона, совершающего вращение вокруг ядра, может принимать лишь дискретные значения, кратные постоянной Планка.

Для круговых орбит правило квантования Бора имеет запись:

m e ν r n = n h 2 π ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

В данном выражении m e является массой электрона, υ - его скоростью, r n обозначает радиус стационарной круговой орбиты.

Правило квантования Бора дает возможность путем вычисления определить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и отыскать значения энергий. Скорость электрона, который совершает вращение по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, записывается в виде соотношения (в соответствии с 2 законом Ньютона):

ν 2 = e 2 4 π ε 0 m e r .

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1 .

Боровский радиус - это радиус первой орбиты, расположенной ближе всех к ядру электрона атома водорода, определяемый как:

r 1 = α 0 = ε 0 h 2 π m e e 2 = 5 , 29 · 10 - 11 м .

Радиусы последующих орбит получают возрастание пропорционально n 2 .

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, вращающегося по стационарной круговой орбите радиусом r n , имеет запись:

E n = E k + E p = m e ν 2 2 - e 2 4 π ε 0 r n .

Заметим, что E p 0 , поскольку имеет место действие сил притяжения между электроном и ядром. Подставим в это выражение записи для υ 2 и r n и получаем:

E n = - m e e 4 8 e 0 2 h 2 · 1 n 2 .

В квантовой физике атома целое число n = 1 , 2 , 3 , . . . носит название главного квантового числа.

В соответствии со вторым постулатом Бора: когда электрон переходит с одной стационарной орбиты с энергией E n на другую стационарную орбиту с энергией E m E n , атом испускает квант света с частотой ν n m , равной Δ E n m h :

ν n m = ∆ E n m h = m e e 4 8 ε 0 2 h 3 1 m 2 - 1 n 2 .

Это выражение полностью идентично с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если за постоянную R взять:

R = m e e 4 8 ε 0 2 h 3 .

Подставим в это выражение числовые значения всех переменных, получим

R = 3 , 29 · 10 15 Г ц .

Полученное значение отлично коррелируется с эмпирическим значением R .

На рисунке 6 . 3 . 1 проиллюстрировано образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

Рисунок 6 . 3 . 1 . Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий.

Рисунок 6 . 3 . 2 демонстрирует диаграмму энергетических уровней атома водорода с указанием переходов для различных спектральных серий.

Рисунок 6 . 3 . 2 . Диаграмма энергетических уровней атома водорода с указанием переходов для различных спектральных серий. Также имеется указание длин волн для первых пяти линий серии Бальмера.

Тот факт, что теория Бора для атома водорода и результаты эксперимента оказались так отлично согласованы между собой, стал весомым аргументом в пользу верности этой теории. Но при этом попытка использовать теорию применительно к более сложным атомам закончилась провалом. Бору не удалось дать физическую интерпретацию правилу квантования – это позже, спустя десятилетие, сделал де Бройль, опираясь на представления о волновых свойствах частиц. Его предположение заключалось в том, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, получающей распространение по окружности около ядра атома. Стационарная орбита имеет место тогда, когда волна постоянно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Иначе говоря, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 6 . 3 . 3 ). Такое явление подобно стационарной картине стоячих волн в струне с закрепленными концами.

Рисунок 6 . 3 . 3 . Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите для случая n = 4 .

Согласно дебройлевским идеям, в стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн λ :

Если подставить сюда формулу длины волны де Бройля λ = h p , где p = m e υ – импульс электрона, то:

n h n e ν = 2 π r n или m e ν r n = n h 2 π .

Итак, правило квантования Бора находится во взаимосвязи с волновыми свойствами электронов.

Вообще можно сказать, что Бор достиг поразительных успехов в попытках объяснить спектральные закономерности. Появилось утверждение, что атомы являются квантовыми системами, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Практически одномоментно с возникновением боровской теории экспериментально было доказано, что существуют стационарные состояния атома и квантование энергии. Дискретность энергетических состояний атома опытным путем продемонстрировали в 1913 г. Д. Франк и Г. Герц, исследуя столкновение электронов с атомами ртути. Выяснилось, что при энергии электронов менее 4 , 9 э В их столкновение с атомами ртути протекает согласно закону абсолютно упругого удара. А, когда энергия электронов равна 4 , 9 э В , столкновение с атомами ртути будет иметь черты неупругого удара. Таким образом, выходит, что, столкнувшись с неподвижными атомами ртути, электроны лишаются всей своей кинетической энергии, что, в свою очередь, означает факт поглощения атомами ртути энергии электрона и перевода электронов из основного состояния в первое возбужденное состояние:

E 2 - E 1 = 4 , 9 э В .

В соответствии с концепцией Бора, когда будет происходить обратный самопроизвольный переход атома, ртуть будет испускать кванты с частотой

ν = E 2 - E 1 h = 1 , 2 · 10 15 Г ц .

Линия спектра с подобной частотой в самом деле нашлась в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути.

Утверждения о дискретных состояниях находились в противоречии с классической физикой, в связи с чем также возник закономерный вопрос: не опровергает ли квантовая теория законы классической физической теории.

Квантовая физика отнюдь не стремилась отменить фундаментальные основы, такие как законы сохранения энергии, импульса, электрического разряда и подобное. По сформулированному Бором принципу соответствия квантовая физика вмещает в себя классические представления, и при некоторых условиях можно заметить планомерный переход от квантовых представлений к классическим. Энергетический спектр атома водорода как раз дает нам такой пример (рис. 6 . 3 . 2 ): при больших квантовых числах n ≫ 1 дискретные уровни постепенно становятся ближе, что задает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.

Квантовые числа

Видение Бора о том, что существуют определенные орбиты для движения электронов в атоме, оказалось очень условным. В действительности, траектория движения электрона в атоме почти не имеет общего с движением планет или спутников. Физический смысл есть лишь в возможности обнаружить электрон в том или ином месте, и эта вероятность описывается квадратом модуля волновой функции | Ψ | 2 . Волновая функция Ψ служит решением базового уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Выяснилось, что состояние электрона в атоме описывается целым набором квантовых чисел.

Основное квантовое число n - квантовое число, задающее квантование энергии атома.

Орбитальное квантовое число l – число, применяемое для квантования момента импульса.

Магнитное квантовое число m – число, применяемое для квантования проекции момента импульса.

Квантовое число m введено в связи с тем, что проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление (к примеру, направление вектора B → магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений.

s -состояния ( 1 s , 2 s , . . . , n s , . . . ) – это состояния, при которых орбитальное квантовое число l равно нулю.

Описываются s -состояния сферически симметричными распределениями вероятности.

Когда l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается.

p -состояния - это состояния при l = 1 .

d -состояния – это состояния при l = 2 и т.д.

Рис. 6 . 3 . 4 иллюстрирует кривые распределения вероятности ρ ( r ) = 4 π r 2 | Ψ | 2 обнаружения электрона в атоме водорода на разных расстояниях от ядра в состояниях 1 s и 2 s .

Рисунок 6 . 3 . 4 . Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме водорода в состояниях 1 s и 2 s . r 1 = 5 , 29 · 10 – 11 м – радиус первой орбиты Бора.

На рисунке 6 . 3 . 4 наглядно продемонстрировано, что электрон в состоянии 1 s (основное состояние атома водорода) имеет возможность быть обнаруженным на различных расстояниях от ядра. С самой высокой вероятностью электрон обнаружится на расстоянии, равном радиусу r 1 первой боровской орбиты. Вероятность нахождения электрона в состоянии 2 s достигает максимума на расстоянии r = 4 r 1 от ядра. И в том, и в том случае атом водорода возможно представить, как сферически симметричное электронное облако, в центре которого расположено ядро.

Волновая оптика. Физика атома. Ядерная физика, элементарные частицы.

1. Элементы волновой оптики

Волновая оптика это раздел оптики, изучающий явления, в которых проявляются волновые свойства света: интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия света и другие, связанные с ними явления. Классическая волновая оптика рассматривает свет как поток электромагнитных волн и основывается на теории электромагнитных волн, разработанной Максвеллом в семидесятых годах девятнадцатого столетия. C ветовые волны по всем своим признакам идентичны с электромагнитными волнами и видимый свет занимает интервал длин волн от 400 нм до 760 нм или частот от 4·10 14 до 7,6·10 14 с -1 в шкале электромагнитных волн . Другим наиболее весомым доводом для установления электромагнитной природы световых волн послужило установление равенства скорости распространения световых и электромагнитных волн в пустоте, которая выражается через магнитную и электростатическую постоянные

Световая волна, как и любая другая электромагнитная волна, состоит из двух взаимосвязанных полей – электрического и магнитного, – векторы напряженности которых и колеблются в одинаковых фазах и во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.1 ).

Они выражаются уравнениями

Опыт показывает, что электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне не равноценны. Физиологическое, биологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются, в основном, электрическим полем световой волны. В соответствии с этим вектор электрического поля световой волны принято называть световым вектором. Это значит, что при рассмотрении различных явлений в световой волне учитываются колебания только вектора .

Фазовая скорость световых волн в веществе связана со скоростью распространения в вакууме соотношением

Откуда следует, что показатель преломления среды выражается через магнитную и диэлектрическую проницаемости . Для всех прозрачных веществ , поэтому . Эта формула связывает оптические и электрические свойства вещества.

Монохроматичность и когерентность световых волн . Понятие монохроматической волны подразумевает неограниченную в пространстве волну, характеризуемую единственной и строго постоянной частотой. Близкую к такому определению монохроматичности световую волну могут давать лазеры, работающие в непрерывном режиме. Однако другие реальные источники света не могут излучать такую волну. Излучение таких источников имеет прерывистый характер. Прерывание волн уже приводит к их немонохроматичности. Поэтому понятие монохроматичности световых волн имеет ограниченный смысл. С понятием монохроматичности тесно связано также понятие когерентности волн, означающее согласованность колебаний светового вектора во времени и пространстве в двух или нескольких световых волнах. Когерентными волнами являются волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени и в пространстве разность фаз.

Причина отсутствия монохроматичности и когерентности света обычных источников света заключается в самом механизме испускания света атомами или молекулами источника. Продолжительность возбужденного состояния атомов, т.е. продолжительность процесса излучения света, равна τ ≈10 -8 с. За этот промежуток времени возбужденный атом, излучив световую волну, вернется в нормальное состояние и, спустя некоторое время, возбудившись вновь, может излучать световую волну с новой начальной фазой, т.е. фазы этих волн изменяются при каждом новом акте излучения. Поскольку возбуждение атомов является случайным явлением, то и разность фаз двух последовательных волн, испущенных атомом, будет случайным, они не будут когерентными. Сказанное можно отнести и к излучению двух разных атомов вещества, так как их можно рассматривать как два независимых источника света. Отсюда следует, что волны, испускаемые атомами вещества, будут когерентными только в течение интервала времени ≈10 -8 с. Совокупность волн, испущенных атомами за такой промежуток времени называется цугом волн. Значит, когерентны только волны, принадлежащие одному цугу волн. Средняя продолжительность одного цуга волн называется временем когерентности . За время когерентности волна проходит путь , эта величина является длиной когерентности (длиной цуга волн).

Водородный атом является атомом химического элемента водорода. Он состоит из положительно заряженного протона, который является ядром водородного атома и единственного отрицательно заряженного электрона. В общем случае, атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Часто в квантовой механике рассматривается электрон в электростатическом поле атомного ядра. В этом случае, электрон описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией. Из-за своей простоты как проблема двух тел атом водорода имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике поскольку соответствующие уравнения допускают точное или приближенное аналитическое решения.

В 1913 Нильс Бор получил спектральные частоты водородного атома в его 1925/26 полным квантовым-механическим анализом, который использовал уравнение Шрёдингера. Решение уравнения Шрёдингера для электрона в электростатическом поле атомного ядра может быть найдено в аналитической форме. Из него получают 2008 году ученые из США и Австрии опубликовали в Physical Review Letters , журнале Американского физического общества (APS), статью под названием Realization of Localized Bohr-Like Wave Packets, в которой на примере ионизованных атомов калия, показали физическую адекватность планетарной модели атома водорода Бора. То есть движение электрона осуществляется по круговым орбитам, а переход с одной разрешенной орбиты на другую осуществляется скачкообразно. Данную статью на английском можно заказать на сайте журнала Physical Review Letters.

Уравнение Шрёдингера также применяется к более сложным атомам и молекулам, однако, в большинстве таких случаев, решение не является аналитическим, и необходимы компьютерные вычисления, или должны быть сделаны какие-нибудь упрощающие предположения.

Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента . Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m (целые числа). Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, . + l определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось z .

В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1 / r радиальные волновые функции записываются с использованием n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1 , то есть l = 0, 1, …, n − 1 .

Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l , но различными m имеют ту же самую энергию (это выполняется для всех проблем с n , но разными l также спин электрона, то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z , которая может принимать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ' , полученных для другой выделенной оси Z ' , всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m (но тем же самым l ), которые были получены для Z .

$<\displaystyle U(r)=-<\tfrac <e^<2> Рассмотрим сейчас решение уравнения Шредингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид >>>$
, где e — заряд электрона (и протона), r — радиус вектор,

$<\displaystyle \hbar =<h \over 2\pi > Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, где >$
, h — постоянная Планка, E — полная энергия электрона, ><\partial x^<2>>>+><\partial y^<2>>>+><\partial z^<2>>>>" width="" height="" />
— r , а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат (r, θ, φ) . В ней он выглядит следующим образом:

$<\displaystyle \Delta \psi = >><\partial r>>\left(r^<\partial r>>\right)+\sin ^\theta >><\frac <\partial ^\psi ><\partial \phi ^>>+\sin \theta >><\partial \theta >>\left(\sin \theta <\partial \theta >>\right)>$

И уравнение Шредингера в сферических координатах:

$<\displaystyle >><\partial r>>\left(r^<\partial r>>\right)+\sin ^\theta >><\frac <\partial ^\psi ><\partial \phi ^>>+\sin \theta >><\partial \theta >>\left(\sin \theta <\partial \theta >>\right)+<\hbar ^>>\left(E+<\frac <e^>>\right)\psi =0>$

В этом уравнении ψ — функция трех переменных (r, θ, φ) . Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию ψ (r, θ, φ) как произведение трех функций: ψ (r, θ, φ) = R(r) Θ (θ) Φ (φ) . Эти функции будем обозначать просто R, Θ, Φ . Тогда

$<\displaystyle <\psi >><<\partial >r>>=R><<\partial >r>><\Theta ><\Phi >,~~<\psi >><<\partial >>>=<\Theta >><<\partial >>>R<\Phi >,~~<\psi >><<\partial ><\phi >>>=<\Phi >><<\partial ><\phi >>><\Theta >R>$
.

После подстановки значений частных производных в уравнение Шредингера получим:

$<\displaystyle >><<\partial >r>>\left(>R><<\partial >r>>\right)<\Theta ><\Phi >+<>>>>^><\Phi >><<\partial ><<\phi >^>>><\Theta >>+<>>><<\partial >>>\left(\sin \theta <\Theta >><<\partial >>>\right)<\Phi >+<\hbar ^>><\left(E+<\frac <e^>>\right)<\Theta ><\Phi >>=0>$

$<\displaystyle <\tfrac <r^ Умножим уравнение на \sin ^\theta ><R\Theta \Phi >>>$
:

$<\displaystyle <\frac <<\sin ^ >>><<\partial >r>>\left(>R><<\partial >r>>\right)+<\Phi >>^><\Phi >><<\partial ><<\phi >^>>>+<\Theta >><<\partial >>>\left(\sin \theta <\Theta >><<\partial >>>\right)+<\frac <2mr^\sin ^\theta ><\hbar ^>>\left(E+<\frac <e^>>\right)=0>$

Второе слагаемое тут зависит только от . Перенесем его в правую часть равенства.

$<\displaystyle <\frac <\sin ^ \theta >><\partial r>>\left(r^<\partial r>>\right)+<\Theta >><\partial \theta >>\left(\sin \theta <\partial \theta >>\right)+<\frac <2mr^\sin ^\theta ><\hbar ^>>\left(E+<\frac <e^>>\right)=-<\Phi >><\frac <\partial ^\Phi ><\partial \phi ^>>>$
(1)

Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим ее l> 2 . Следовательно,

$<\displaystyle <\frac <<<\partial > ^><\Phi >><<<\partial ><\phi >>^>>=->^><\Phi >>$

Решением этого уравнения являются функции

$<\displaystyle <\Phi > =A~<\sin(><\phi >>>),~~<\Phi >=A\cos(><\phi >>)>$

Угол может изменяться от 0 до 2 π . Функция Φ должна быть периодической с периодом 2 π . Это возможно только если m_l = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . Таким образом, из решения уравнения Шредингера получаем значение одного из квантовых чисел (конечно, можно получить из него их все). Число m_l называется магнитным квантовым числом.

$<\displaystyle A=<\tfrac <1> Далее, интегрируя квадрат модуля функции Φ от 0 до 2 π и приравнивая полученное выражение 1 , получим что >>>$
.

Далее рассмотрим левую часть уравнения (1). Она, конечно, равна m_l 2 :

$<\displaystyle ~<\frac <<\rm <<sin> ^>>>><<\partial >r>>\left(<r^>R><<\partial >r>>\right)+<\Theta >><<\partial >>>\left(\sin \theta <\Theta >><<\partial >>>\right)+<\frac <2mr^\sin ^\theta ><\hbar ^>>\left(E+<\frac <e^>>\right)=m_^>$

Разделим уравнение на sin 2 θ :

$<\displaystyle ><\partial r>>\left(r^<\partial r>>\right)+<\Theta \sin \theta >><\partial \theta >>\left(\sin \theta <\partial \theta >>\right)+<\frac <2mr^><\hbar ^>>\left(E+<\frac <e^>>\right)=^><\sin ^\theta >>>$

После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через β , получаем

$<\displaystyle <\frac <m_<l> ^><\sin ^\theta >>-<\Theta \sin \theta >><\partial \theta >>\left(\sin \theta <\partial \theta >>\right)=\beta >$
><\partial r>>\left(r^<\partial r>>\right)+<\frac <2mr^><\hbar ^>>\left(E+<\frac >\right)=\beta >" width="" height="" />

Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям l и n соответственно. 3 квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.

$<\displaystyle \infty > Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален n 2 . Число n называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до$
. Его связь с энергией см. ниже.

Число l называется азимутальным квантовым числом и определяет момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n - 1 ( n здесь относится к энергетическом уровню, на котором находится рассматриваемый электрон).

$<\displaystyle m_<l> Магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна \hbar >$
.

Энергетический спектр

Энергетические уровни атома водорода, включая тонкую структуру записываются в виде

$<\displaystyle E_<nj> =>>>\left(1+>>>\left(>>>->\right)\right)\,>$

α — постоянная тонкой структуры j — собственное значение оператора углового момента

Энергию E можно найти в простой m_e и зарядом электрона e₀ :

$<\displaystyle ~<E_ >=->^>>>_^>>>~~13,62323824~>~~10^~>>>$

где eV - электронвольты, J - джоули, h - постоянная Планка, ε₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Волновые функции

$<\displaystyle \psi _<nlm> (r,\theta ,\phi )=->>\right)>^<2n[(n+l)!]^>>>>\exp <\left(<-<\frac <r>>>>\right)><\left(<\frac <2r>>>\right)>^L_^<\left(<\frac <2r>>>\right)>\cdot Y_(\theta ,\phi )>$

a₀ — — обобщённые полиномы Лагерра степени >" width="" height="" />
— функции от >>>" width="" height="" />
. (\theta ,\phi )\,>" width="" height="" />
— Угловой момент

Собственные значения для оператора углового момента :

$<\displaystyle ~<\frac <e_ Вычислим уровни энергии атома водорода без учета тонкой структуры, используя простую модель атома Бора. Для этой цели можно сделать грубое допущение электрона, двигающегося по круговой орбите на фиксированном расстоянии. Происходит это под действием кулоновской силы, равной ^><4<\pi >_>^>>>>$
. Тогда, после сокращения на 1 / r_n ,

$<\displaystyle ~<\frac <e_ ^><4<\pi >_>>>>=>^>>$

Здесь m_e - масса электрона, v_n - его скорость на орбите радиуса r_n , ε₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная).

Отсюда кинетическая энергия электрона

$<\displaystyle ~<\frac <<m_<e> >^>>>=^><8<\pi >_>r>>>$

где r - расстояние от электрона до ядра.

Потенциальная его энергия

$<\displaystyle ~<E_<pot> >=-^><4<\pi >_>r>>>$

Полная энергия, соответственно, равна

$<\displaystyle ~E=-<\frac <e_ ^><8<\pi >_>r>>>$

$<\displaystyle ~<m_<e> Для нахождения радиуса rn стационарной орбиты с номером n рассмотрим систему уравнений, в которой второе есть математическое выражение первого постулата Бора >>>=<2<\pi >>>>$
:

>^>=^><4<\pi >_>^>>>>" width="" height="" />
>>>=<2<\pi >>>>" width="" height="" />

Отсюда получаем выражение для радиуса стационарной орбиты с номером n :

$<\displaystyle ~<r_<n> >=_>>>><<\pi >><e_^>>>>$

$<\displaystyle ~<r_<1> Радиус первой орбиты оказывается равным >=>~~5,291769241>>$
метра. Эта константа называется боровским радиусом.

Подставляя это значение в выражение для энергии, получим, что

$<\displaystyle ~<E_<n> >=->>>^>>>_^>>>>$

Отсюда мы можем найти частоту фотона, излучаемого атомом водорода за один переход из возбужденного состояния с главным квантовым числом n₁ в состояние с неким фиксированным главным квантовым числом n₂ .

$<\displaystyle ~<\upsilon > =>\left(^>>-^>>\right)>$

$<\displaystyle ~<R_<H> где >=>^>>>_^>>>~~1,097>~->$
постоянная Ридберга (имеет размерность с − 1 ).

Плотность вероятности для электрона при различных квантовых числах (l)

Изображение справа показывает первые несколько орбиталей атома водорода (собственные функции гамильтониана). Они представляют собой поперечные сечения плотности вероятности, величина которой отражена цветом (чёрный цвет соответствует минимальной плотности вероятности, а белый — максимальной). Квантовое число углового момента l обозначено в каждой колонке, используя обычные спектроскопические обозначения ( s означает l = 0; p: l = 1; d: l = 2 ). Главное квантовое число n ( = 1, 2, 3… ) отмечено справа от каждого ряда. Для всех картин магнитное квантовое число m равно 0 , и сечение взято в плоскости — XZ , Z — вертикальная ось. Плотность вероятности в трёхмерном пространстве получается при вращении картинки вокруг оси Z .

1s ( n = 1, l = 0 ). Изображение с большим количеством орбиталей доступно до более высоких чисел n и l . Отметим, наличие чёрных линий, которые появляются на каждой картинке за исключением первой. Они — узловые линии (которые являются фактически узловыми поверхностями в трёх измерениях). Их общее количество всегда равно n − 1 , которое является суммой числа радиальных узлов (равного n — l — 1 ) и числа угловых узлов (равного l ).

Параграф 4.2 описывает атом водорода, а вся глава 4 имеет отношение к теме.