Аполлоний пергский открытия в математике кратко

Обновлено: 05.07.2024

Важный вклад в создание математических основ астрономии внес александрийский математик и астроном, ученик школы Евклида Аполлоний Пергский (ок.260-170 до н.э., Перга - город в Памфилии на южном побережье Малой Азии между Киликией и Ликией; учился в Александрии у учеников Евклида, но большую часть времени жил и работал в Пергаме - городе на северо-западе Малой Азии).

Главным его сочинением стал труд “Конические сечения” в 8 книгах, который написан в развитие не дошедшего до нашего времени сочинения Евклида “Начала конических сечений" и в котором он первым ввел понятия эллипса, параболы и гиперболы как плоских сечений произвольных конусов с круговым основанием, а также дал их теорию, сохранившуюся без изменений до нового времени. Для всех этих кривых Аполлоний ввел понятия фокуса, дополнительно для гиперболы - асимптоты, а также определил понятия абсциссы, ординаты и аппликаты, которые стали в новое время основой декартовой системы координат. Именно эти, “несовершенные”, по мнению античных математиков, кривые (“совершенными линиями” считались тогда лишь прямая и окружность), почти через 2 тыс. лет, начиная в 17 в. с Иоганна Кеплера (1571-1630), стали рассматриваться в качестве траекторий околосолнечных орбит различных небесных тел - Земли, Луны, планет, астероидов и комет.

Для объяснения видимого, сложного, попятного и неравномерного движения планет Аполлоний переработал модель Евдокса и построил теорию эпициклов, введя вместо гомоцентрических сфер эпициклы и эксцентры (вероятно, толчком к созданию теории эпициклов для Аполлония стала модель негеоцентрической системы Гераклида Понтийского, в которой две внутренние планеты - Меркурий и Венера обращались непосредственно вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, обращалось вокруг Земли). Эпицикл (от греч. epi на, над, сверх, т.е. расположенные поверх чего-либо) -

вспомогательная окружность, вокруг центра которой равномерно

обращается небесное тело, а сам центр эпицикла равномерно скользит по другой неподвижной, вспомогательной, несущей окружности, называемой деферентом (от лат. deferens несущий), центр которой совпадает с центром центрального тела (Землей).

Эксцентр (от лат. ex из, вне + centrum центр) - окружность, по которой равномерно обращается небесное тело вокруг другого, центрального тела, которое смещено относительно центра самой окружности на расстояние эксцентриситета. Движение

небесного тела по эпициклу и деференту при определенных условиях эквивалентно его движению вокруг центрального тела по эксцентру (Аполлоний доказал теорему, которая приведена в “Альмагесте” Птолемея без указания имени автора, о том, что движение по эксцентрической орбите равноценно движению по эпициклической, если радиус эпицикла равен эксцентриситету).

Теория эпициклов и эксцентров стала позднее и надолго основой ряда кинематических моделей Вселенной (от греч. kinema движение; движение тел, рассматриваемое только с геометрической стороны, без учета масс тел и физических причин, вызывающих это движение). Для любых кинематических моделей действует принцип эквивалентности движения, т е. движение одного тела относительно другого тела эквивалентно движение второго тела относительно первого (например, с точки зрения кинематики совершенно безразлично, обращается ли Солнце вокруг Земли или Земля вокруг Солнца - в любом случае расстояния между ними и относительные скорости движения остаются теми же самыми). Именно этот принцип позволил в новое время Николаю Копернику при замене геоцентрической системы Птолемея своей гелиоцентрической системой сохранить все те математические соотношения между движениями небесных тел и геометрические (эпициклические) построения, которые были разработаны в рамках системы Птолемея [1,6,8,11,12,14,20].

Аполлоний Пергский (Перга, ок. 262 г. до н. Э. - Александрия, ок. 190 г. до н. Э.) Был математиком, геометром и астрономом из Александрийской школы, получившим признание за свою работу по конусам, важную работу, которая представляет собой значительный прогресс в астрономии. аэродинамика и другие области и науки, в которых она применяется. Его создание вдохновило других ученых, таких как Исаак Ньютон и Рене Декарт, на их более поздние технологические достижения в разное время.

Его работы Конические сечения родились эллипс, парабола и гипербола, термины и определения геометрических фигур, которые сегодня продолжают играть важную роль при решении математических задач.

Он также является автором гипотезы об эксцентрических орбитах, в которой он решает и детализирует предварительное движение планет и переменную скорость Луны. В своей теореме Аполлония он определяет, как две модели могут быть эквивалентными, если обе они начинаются с правильных параметров.

биография

Он получил образование в Александрии как один из учеников Евклида. Он принадлежал к золотому веку математиков Древней Греции, основанному Аполлонием вместе с великими философами Евклидом и Архимедом.

Такие темы, как астрология, коники и схемы для выражения больших чисел характеризовали его исследования и основные работы.

Аполлоний был выдающейся фигурой в чистой математике. Его теории и результаты настолько опередили свое время, что многие из них были подтверждены лишь спустя долгое время.

Взносы

Геометрический язык Аполлония считался современным. Следовательно, его теории и учения во многом сформировали то, что мы сегодня знаем как аналитическую геометрию.

Конические секции

Его самая важная работа - это Конические секции, который определяется как формы, полученные из конуса, пересекаемого разными плоскостями. Эти секции были разделены на семь: точка, линия, пара линий, парабола, эллипс, круг и гипербола.

Именно в этой книге он ввел термины и определения трех основных элементов геометрии: гиперболы, параболы и эллипса.

Он интерпретировал каждую из кривых, составляющих параболу, эллипс и гиперболу, как фундаментальное свойство коники, эквивалентное уравнению. Это, в свою очередь, применялось к наклонным осям, таким как оси, образованные диаметром и касательной на его конце, которые получаются путем разрезания наклонного кругового конуса.

Он показал, что наклонные оси - это просто особый вопрос, объяснив, что способ разрезания конуса не имеет значения и не имеет значения. Он доказал с помощью этой теории, что элементарное свойство конуса может быть выражено в самой форме, если оно основано на новом диаметре и касательной, расположенной на его конце.

Классификация проблем

Аполонио также классифицировал геометрические задачи на линейные, плоские и твердые в зависимости от их решения с кривыми, прямыми линиями, конусами и окружностями в зависимости от каждого случая. Это различие не существовало в то время и означало значительный прогресс, заложивший основы для выявления, организации и распространения их образования.

Решение уравнений

Используя новаторские геометрические методы, он предложил решение уравнений второй степени, которые до сих пор применяются в исследованиях в этой области и в математике.

Теория эпицикла

Эта теория была реализована в принципе Аполлонием Пергским, чтобы объяснить, как работает предполагаемое ретроградное движение планет в солнечной системе, концепция, известная как ретроградация, в которую вошли все планеты, кроме Луны и Солнца.

Он использовался для определения круговой орбиты, вокруг которой вращалась планета, с учетом местоположения ее центра вращения на другой дополнительной круговой орбите, на которой указанный центр вращения был смещен и где находилась Земля.

Теория устарела с более поздними достижениями Николая Коперника (гелиоцентрическая теория) и Иоганна Кеплера (эллиптические орбиты), среди других научных фактов.

Сочинения

8 книг конических сечений

Книга I: Методы получения и основные свойства коник.

Книга II: Диаметры, оси и асимптоты.

Книга III: Замечательные и новые теоремы. Свойства фонарей.

Книга IV: Число точек пересечения коник.

Книга V: Отрезки максимального и минимального расстояния до конусов. Нормальный, развивающийся, центр кривизны.

Книга VI: Равенство и подобие конических сечений. Обратная задача: по конусу найти конус.

Книга VII: Метрические отношения диаметров.

Книга VIII: ее содержание неизвестно, поскольку это одна из его потерянных книг. Существуют разные гипотезы о том, что на нем могло быть написано.

О разделе причины

Если есть две линии, и каждая из них имеет точку над ними, проблема состоит в том, чтобы провести другую линию через другую точку, чтобы при разрезании других линий потребовались сегменты, которые находятся в заданной пропорции. Сегменты - это отрезки длины, расположенные между точками на каждой из линий.

Это проблема, которую Аполлоний поднимает и решает в своей книге. О разделе причины.

Другие работы

Великий математик Папо Александрийский был тем, кто в основном отвечал за распространение большого вклада и достижений Аполлония Пергского, комментировал его труды и распространял его важные работы в большом количестве книг.

Таким образом, из поколения в поколение работа Аполлония выходила за пределы Древней Греции и сегодня достигла Запада, будучи одной из наиболее представительных фигур в истории, установивших, охарактеризовавших, классифицирующих и определяющих природу математики и геометрии в мире. мир.

Аполлоний первый рассматривал эллипс, параболу и гиперболу как произвольные плоские сечения произвольных конусов с круговым основанием и детально исследовал их свойства.

Обнаружил, что парабола — предельный случай эллипса, открыл асимптоты гиперболы; получил (в словесной форме) уравнение параболы; впервые изучал свойства касательных и подкасательных к коническим сечениям.

Аполлоний доказал 387 теорем о кривых 2-го порядка методом, который состоял в отнесении кривой к какому-либо ее диаметру и к сопряженным с ним хордам, и предвосхитил созданный в XVII в. метод координат.
Все соотношения Аполлоний рассматривал как отношения равновеликости между некоторыми площадями.
"Конические сечения" Аполлония оказали большое влияние на развитие астрономии, механики, оптики.
Из положений Аполония исходили при создании аналитической геометрии Р. Декарт и П. Ферма.

Известны задача Аполлония о нахождении круга, касающегося трех данных кругов, теорема Аполлония и окружность Аполлония.
Вслед за Архимедом, Аполлоний занимался усовершенствованием системы счисления.

Значительно облегчил умножение больших чисел в греческой нумерации, разбивая десятичные разряды на классы (по четыре).
Ввел многие термины, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата, гипербола, парабола.

Аполло́ний Пергский ( Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος , Перге, 262 до н. э. — 190 до н. э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э.

В честь Аполлония назван кратер на Луне.

Содержание

Труд о конических сечениях

В последующем изложении (книги II—IV) выясняются свойства особых точек и линий, связанных с исследуемой кривой: фокусов, асимптот, полюсов и поляр, перечисляются их свойства, доказывается, что конические сечения могут пересекаться не более чем в 4 точках, поясняется, как строить касательные к этим кривым, определяются площади сегментов. Всего в труде 387 теорем.

В предисловии Аполлоний сообщает, что, начиная с III книги, бо́льшая часть теорем являются новыми.

V книга: теория нормалей и эволют для конических сечений, задачи на максимум и минимум.

VI книга: теория подобия конических сечений.

В VII-й (и, видимо, в VIII-й) книге приводятся знаменитые теоремы Аполлония о сопряжённых диаметрах и разнообразные приложения теории к геометрическим задачам.

Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но и методы, которыми он пользуется. В них можно найти многочисленные мотивы более поздних достижений математики — алгебры, аналитической, проективной геометрии и местами даже дифференциальной геометрии.

Книга оказала огромное влияние на творчество последующих математиков, включая Ферма, Декарта, Ньютона, Лагранжа и многих других. Многие теоремы Аполлония, особенно о максимумах, эволютах, нормалях и т. п. вошли в современные учебники по дифференциальной геометрии конических сечений.

Каким образом Аполлоний, не владея математическим анализом, сумел сделать свои открытия, неясно. Возможно, у него, как у Архимеда, был некий метод бесконечно малых, который он использовал в эвристических целях, чтобы затем передоказать результат каноническими средствами античной геометрии. Ван дер Варден пишет [1] :

Аполлоний виртуозно владеет геометрической алгеброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь,— об этом можно лишь догадываться.

До открытий Кеплера и Ньютона теория Аполлония практически применялась в основном для решения кубических уравнений, а также в оптике зеркал. Когда обнаружилось, что орбита материальной частицы в задаче двух тел есть одно из конических сечений, интерес к данным кривым резко возрос, и труды Аполлония были продолжены на новом математическом уровне.

Другие труды Аполлония

В VII книге Математического собрания Паппа дается краткое описание шести математических трактатов Аполлония:

Отсечение отношения ( Λογου αποτομη ) в двух книгах, содержащих 180 теорем. Рассматривается задача: даны две прямые и на каждой отмечено по точке; дана также третья точка, не совпадающая с первыми двумя, и требуется провести через неё прямую так, чтобы она отсекала на заданных прямых отрезки (считая от отмеченных точек), находящиеся в заданном отношении.
Отсечение площади ( Χωριου αποτομη ) в двух книгах, содержащих 124 теоремы.
Определенное сечение ( Διωριςμενη τομη ) в двух книгах, содержащих 83 теоремы.
Вставки ( Νευσεις ) в двух книгах, содержащих 125 теорем.
Касания ( Επαφαι ) в двух книгах, содержащих 60 теорем. В книге решается знаменитая проблема касания Аполлония: заданы три объекта, каждый из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Требуется построить окружность, которая касается всех заданных объектов (для точки вместо касания требуется прохождение через неё).
Плоские места ( Τοποι επιπεδοι ) в двух книгах, содержащих 147 теорем.

Из этих сочинений Аполлония сохранилось только первое — в средневековом арабском переводе. Папп написал также (частично дошедшие до нас) комментарии к этим трактатам.

В других трудах Папп упоминает ещё несколько сочинений Аполлония:

Прокл Диадох в Комментарии к I книге Начал Евклида упоминает трактат Аполлония

О Винтовых линиях ( Περι του κοχλιου ). Предположительно здесь рассматривались спирали на поверхности цилиндра [2] .

Так называемая XIV книга Начал Евклида, написанная Гипсиклом, представляет собой комментарий к сочинению Аполлония

Сравнение додекаэдра с икосаэдром. Аполлоний доказывает, что поверхности додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, относятся так же, как их объёмы [2] .

Наконец, Евтокий в комментариях к Измерению круга Архимеда упоминает сочинение Аполлония

Быстрое получение результатов ( Ωκυτοκιον ). Здесь Аполлоний соревнуется с Архимедом. Он описывает более удобную, чем у Архимеда, систему именования очень больших чисел, а также более быстрый, чем предложенный Архимедом, алгоритм вычисления отношения длины окружности к её диаметру.

Попытки восстановить утерянные сочинения по сохранившимся греческим и арабским упоминаниям предпринимали, кроме Галлея, также Виет (Касания [3] ), Ферма (Плоские места) и другие.

Древнегреческие авторы (например, Клавдий Птолемей в XII книге Альмагеста) упоминали открытия Аполлония в астрономии, однако ни одно его астрономическое сочинение не сохранилось.

Примечания

↑Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. И. Н. Веселовского.— М.: Физматгиз, 1959. с. 338—339.
↑ 123Башмакова И. Г., 1958, с. 408
↑Барабанов О. О., Барабанова Л. П., 2008

Литература

Тексты и переводы

Apollonii Pergaei

Apollonius

Русский перевод отрывков:

Аполлоний Пергский. Конические сечения, с комментариями Эвтокия / Пер. И.Ягодинского. Известия Северо-Кавказского гос. университета, 3(15), 1928, с. 130—152.

Исследования

Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Алгоритмы решения навигационной разностно-дальномерной задачи — от Аполлония до Коши // История науки и техники. — М ., 2008. — № 11. — С. 2-21.
Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М .: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 407-416.
Ван дер Варден Б. Л.Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959. с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
Лютер И. О. К истории задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей. Историко-математические исследования, 1(36), № 2, 1996, с. 82-94. , Аполлоний Пергский, М.: МЦНМО, 2004.
Хабелашвили А. В. Задача Аполлония Пергского. Историко-математические исследования, 1(36), часть 2, 1996, с. 66-81.
Coolidge J.L. A history of the conic sections and quadric surfaces. Clarendon Press, Oxford, 1945. (Repr.: Dover, NY, 1968)
Decorps-Foulquier M. Recherches sur les Coniques d’Apollonios de Pergé et leurs commentateurs grecs. Paris: Klincksieck, 2000.
Federspiel M. Notes critiques sur le Livre I des Coniques d’Apollonius de Pergè. Revue des Études Grecques, 107, 1994, p. 203-218.
Fried M. N. The use of analogy in Book VII of Apollonius’ Conica. Science in Context, 16, 2003, p. 349-365.
Hogendiuk J. P. Arabic traces of lost works of Apollonius. Archive for History of Exact Sciences, 35, 1986, p. 187-253.
Knorr W. R. The hiperbola-construction in the Conics, Book II: Ancient variations on a theorem of Apollonius. Centaurus, 25, 1982, p. 253-291.
Neugebauer O. Studien zur Geschichte der antiken Algebra, II. Apollonius-Studien. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik; B2, 1932, s. 215—254.
Taisbak C. M. Discovering Apollonius’ circles. In: Proceedings of the Third International Conference on Ancient Mathematics, Delphi, 1996.
Zeuthen H.G. Die Lehre vor den Kegelschnitten im Altertum. Copenhagen, 1886. (Repr.: Hildesheim, Georg Olms, 1966)

Ссылки

Персоналии по алфавиту
Учёные по алфавиту
Родившиеся в 262 году до н. э.
Родившиеся в Перге
Умершие в 190 году до н. э.
Умершие в Александрии
Математики по алфавиту
Математики III века до н. э.
Математики Древней Греции
Александрийская школа
Древнегреческие математики

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Аполлоний Пергский" в других словарях:

Аполлоний Пергский — Аполлоний Пергский, Apollonios, из Перги в Памфилии, ок. 262 190 гг. до н. э., греческий математик и астроном. Работал главным образом в Александрии при Птолемее III. Автор множества частично сохранившихся работ. Из сочинения Элементы науки о… … Античные писатели

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ — (ок. 260 170 до н. э.) древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида. В основном труде Конические сечения (8 книг) дал полное изложение их теории. Для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов. Идеи Аполлона Пергского… … Большой Энциклопедический словарь

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ — (расцвет деятельности вторая половина 2 в. до н.э.), древнегреческий математик родом из Перги в Памфилии, прозванный современниками Великим геометром. Занимался математикой в Александрии под руководством учеников Эвклида. Главный сохранившийся… … Энциклопедия Кольера

Аполлоний Пергский — (из Перги в Памфилии) вместе с Евклидом и Архимедом один из основателей математических наук в III столетии до Р. Х.; получил образование в Александрии, где он жил около 210 г. до Р. Х. Главное его сочинение трактует о конических сечениях ( De… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Аполлоний Пергский — один из наиболее замечат. математиков Александрийской школы, живший ок. 200 до н.э. Важнейшим трудом А. П. явл. его соч. о конич. сечениях, первые 4 книги к рого сохран. в греч. подлиннике, следующие 3 в араб. переводе, а последняя, 8 я … Древний мир. Энциклопедический словарь

Аполлоний Пергский — АПОЛЛÓНИЙ ПÉРГСКИЙ (ок. 260170 до н. э.), др. греч. математик и астроном, ученик Евклида. В осн. труде Конические сечения (8 кн.) дал полное изложение их теории. Для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов. Идеи А. П.… … Биографический словарь

Читайте также: