2 признак равенства треугольников кратко

Обновлено: 07.07.2024

Теорема ‑ утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Основная литература

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы.// Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали, как определить, являются ли треугольники равными. Для этого мы использовали способ наложения или первый признак равенства треугольников.

Сегодня мы рассмотрим ещё два признака равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников.

Наложим треугольник ∆ABC на ∆А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершины B и B₁лежали по одну сторону от A₁C₁.

Так как ∠А =∠А₁, ∠C=∠C₁, то AB наложится на луч A₁B₁, BC наложится на луч B₁C₁ (по аксиоме откладывания угла).

Вершина B – с вершиной B₁ (по аксиоме откладывания отрезка).
Стороны треугольников BС и B₁С_1, АВ и А₁В₁совместятся (по аксиоме откладывания отрезка).
Треугольник ABC и треугольник А₁В₁С₁ полностью совместится →∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Третий признак равенства треугольников.

Докажем третий признак равенства треугольников.

Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.
Так как АC = А₁C₁, BC = B₁C₁(по аксиоме откладывания отрезка), =>∆ А₁C₁С и ∆ В₁С₁C – равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠A₁CB₁ = ∠А₁С₁В₁.

Итак, сегодня мы доказали второй и третий признаки равенства треугольников.

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Приложим треугольник ABC к треугольнику А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.
Так как АC = А₁C₁,→∆АC₁С – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника. ∠C =∠С₁. (по свойству равнобедренного треугольника).
АC = А₁C₁, BC = B₁C₁ (по условию), ∠C = ∠C₁→∆АВС = ∆А₁В₁С₁(по 1 признаку равенства треугольников).

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABH и BHА₁, ∠1 = ∠2, ∠АВH =∠А₁ВH. Будут ли треугольники ABH и BHА₁ равными?

По условию в треугольниках ABH и BHА₁, ∠1 = ∠2, ∠АВH = ∠А₁ВH, BH ‑ общая сторона.

Следовательно, ∆ABH = ∆BHА₁ (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

№ 2. Периметр треугольника AOR равен 21 см, периметр четырёхугольника AORF равен 22 см. При этом AO = RF, OR = AF. Найти AR.

Для решения задачи, нужно вспомнить формулу периметра треугольника и четырёхугольника.

Р_{∆ AOR} = АО + OR + AR = 21 см

Р_AORF = АО + OR + RF + AF = 22 см

По условию AO = RF, OR = AF, AR ‑ общая сторона →∆AOR = ∆ARF (по 3 признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Чего только не приходится делать на уроках геометрии! Но нет ничего приятнее, чем сесть и доказать равенство треугольников, используя три признака равенства.

О чем эта статья:

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

2. Так как ∡ N = ∡ R и ∡ M = ∡ P , то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть Δ MNK и Δ PRT полностью совместятся, значит, они равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Опять попробуем совместить треугольники Δ MNK и Δ PRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN = PR , KN = TR . Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура . Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Поскольку ∠A=∠A₁, сторона A₁С₁ при этом наложится на луч AC.

Так как ∠B=∠B₁, сторона B₁C₁ наложится на сторону BC.

Точка С₁ принадлежит как стороне A₁С₁, так и стороне B₁C₁, поэтому С₁ лежит и на луче AC, и на луче CB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С₁ совместится с точкой C.

Значит, сторона A₁С₁ совместится со стороной AC, а сторона B₁C₁ — со стороной BC.

Таким образом, при наложении треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся.

Читайте также: