Вычисление и сравнение логарифмов конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
дать понятие десятичного и натурального логарифма;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методическое обеспечение: проектор, презентация к уроку, учебники, индивидуальные карточки.

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока. (Слайд 2)

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной

роли логарифмов в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.

3. Повторение ранее изученного материала

Преподаватель задает вопросы:

а) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

б) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

в) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

План

1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

2. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

3. Десятичный логарифм.

4. Натуральный логарифм.

Преподаватель излагает новый учебный материал

Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение

А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается : логарифм числа по основанию

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию

дается определение логарифма (Слайд 3)

а) log ₃ 81 = 4, так как 3 4 = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5 3 = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;

Введение основного логарифмического тождества (Слайд 4)

Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: ;

Подчеркнем, что и одна и таже математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. (Слайд5) Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.

Возведение в степень

Логарифмирование

Основные свойства логарифмов (Слайд 6)

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

log_a 1 = 0.
log_a a = 1.
log_a xy = log_a x + log_a y.
log_a = log_a x - log_a y.
log_a x p = p log_a x

для любого действительного p.

Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:

Десятичные и натуральные логарифмы (Слайд 7)

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается, т.е. вместо пишут .

Например, (Слайд № 6)

Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e

так как
, так как
так как
так как
так как
так как

Формулы перехода от одного основания логарифм к другому (Слайд8)

На практике рассматривается логарифм по различным основаниям. Отсюда возникает необходимость формулы перехода от одного основания к логарифму по другому основанию. (Слайд № 6)

Решить пример типа:

5. Закрепление изученного материала

Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Определение. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно взвести основание a , чтобы получить число b.

Логарифм определен только при b>0, a>0 и a 1.

Обозначается log a b

Пример: log 2 8 = 3, так как 2 3 = 8

log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25

1. a log a b = b - основное свойство

2. log a ( xy ) = log a x + log a y

3. log a ( ) = log a x - log a y

4. log a x n = n log a x

7. log a b = - формула перехода

8. log a b =

9. log a b = log a n b n = n log a n b

Определение. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается символом lg.

Определение. Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается символом ln.

ln x = log e x , где e = 2,7

Примеры применения свойств логарифмов

а) Основное свойство логарифмов:

1) log 64 4 = =

2) = log 4 16 = 2 (свойство №7)

3) = log 5 125 = 3 (свойство №9)

Определение : Операция нахождения логарифма выражения называется логарифмированием.

Пример: Прологарифмировать выражение по основанию 3.

= =

= log 3 5 + log 3 a 3 + log 3 b 4 + log 3 c - log 3 3 - log 3 x 3 - log 3 y =

= log 3 5 + 3log 3 a + 4log 3 b + log 3 c - 1 - 3log 3 x - log 3 y

Определение: Операция нахождения выражения по его логарифму называется потенцированием.

Пример: Выполнить потенцирование выражения

№ 1. Вычислите значение выражения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) ; 17) .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

А Прологарифмируйте выражение по заданному основанию а.

1) а=2: а) 128; б) ; в) ; г) ; д)

2) а=3: а) 729; б) ; в) ; г) ; д) 2

3) а>0; а 1: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Б Найдите А по логарифму

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9)

В Выразите через логарифмы простых чисел

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

План интегрированного урока

по дисциплине ОУД.12 Математика

Тема занятия: Вычисление логарифмов

Цели и задача занятия:

- Формировать умение графического решения простейших показательных уравнений;

- Повторение понятия логарифма;

- Раскрыть содержание понятия логарифма;

- Познакомить с основными формулами логарифмов;

- Обеспечить овладение учащимися основными алгоритмическими приемами вычисления логарифмов и решения простейших уравнений и неравенств;

- Рассмотреть задачи прикладного характера, в решении которых используются знания и умения расчетов по формулам, содержащим логарифмы;

- С формировать умения применять полученные на уроках информатики знания при решении конкретных задач в различных областях.

развивающие:

-развитие математической грамотности, памяти, логического мышления, концентрации внимания, навыков работы в паре, взаимоконтроль;

-развитие интереса к усвоению знаний для практического применения в профессиональной деятельности;

- развитие вычислительных навыков;

- развитие умения самоанализа и подведение итогов.

воспитательные:

-в оспитание аккуратности и внимания, воли и упорства для достижения конечных результатов;

-формирование умения вести диалог , оценивать свою работу;

методическая: методика проведения интегрированного урока.

Ожидаемые результаты :

Студент должен знать: применение логарифмов в задачах прикладного характера.

Студент должен уметь: применять логарифм при решении прикладных задач; вычислять логарифмы числа по определению, с использованием свойств логарифма и с помощью электронных таблиц MS Excel ; решать уравнения графическим методом в электронных таблицах MS Excel .

Общие компетенции:

Показатель оценки результата

ОК4.Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

Уметь работать с разными источниками информации: СМИ, ресурсов Интернета, специальной и научно-популярной литературы.

ОК5.Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК6.Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Уметь работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Тип занятия : Дистанционное занятие в онлайн формате. Интегрированный урок.

Вид занятия : Практическое занятие.

Форма проведения : фронтальная, работа в парах.

Методическое обеспечение занятия : раздаточный материал, методическая разработка занятия, презентация.

Материальное обеспечение занятия : компьютеры, ПО.

Методы обучения : проблемный, наглядные, практические

Приемы обучения : создание проблемной ситуации, организация самостоятельной работы, здоровьесберегающие технологии, самооценка полученных знаний, рефлексия.

Межпредметные связи : Математика, информатика, биология.

Внутрипредметные связи :

Математика: логарифмические функции, уравнения и неравенства.

Информатика: измерение количества информации, выполнение расчетов в MS Ex с el .

Ход занятия

I . Организационный момент.

Мотивация на учебную деятельность.

II . Целеполагание. Определение темы, постановка цели занятия

- Вопросы, направленные на определение студентами темы и целей занятия;

III . Актуализация опорных знаний и умений.

Задание 1 . Сформулируйте определение логарифма, вставив пропущенные слова.

Логарифмом _________________ числа b по основанию a , где a > 0 , a ≠1, называется ___________________, в которую надо ___________, чтобы получить _______.

log_ab = x , a x = b .

ответ:

(Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a > 0, a≠1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b. )

Задание 2 . Вычислите устно, используя определение логарифма и поясните решение:

Эталон ответа:

= 3 (2 3 =8)

= 2 (5 2 =25)

= 3 (4 3 =64)

= - 4 ( 2 -4 = )

= - 3

= 0 (7 0 =1)

= 1

= 3

Задание 3 . Ответьте на вопросы:

а) Какие логарифмы называются десятичными, натуральными?

Эталон ответа:

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e .

- десятичный логарифм
- натуральный логарифм

б) Как называется следующая формула?

Эталон ответа: (Основное логарифмическое тождество)

в) Вычислите, используя основное логарифмическое тождество

Эталон ответа:

г) Как называется следующая формула?

Эталон ответа: Формула перехода логарифма от одного основания к другому

д) Какие свойства логарифмов вы знаете? (логарифм произведения, частного, степени). Сформулируйте определения.

- не существует

Задание отправляется в чате ZOOM c формой для заполнения.

Задание выполняется на сайте мастер тест.

Неверные равенства

Правильные ответы

2. не существует

Оценка выполненных заданий, набранные баллы выставляют в оценочные листы в гуглформе.

IV . Решение практических задач.

Ø Решите задачи в тетради.

Задание 1 . Вычислите логарифмы:

Ø Актуализация знаний и постановка задач преподавателя информатики при решении примеров 5,6 в программе MS Excel ;

Ø выводы по работе.

Задание 2. Работа в парах по выполнению разноуровневых заданий: каждый пример один вычисляет в тетради, другой - на компьютере. В оценочный лист заносятся совпавшие ответы.

Задание 3.

Решите задачу с применением логарифмов в информатике и оформите в программе MS Excel .

а)Определить информацию, которую несет в себе один символ в кодировках ASCII и Unicode.

v Совместное решение

Эталон ответа:

1) В алфавите ASCII предусмотрено 256 различных символов, т.е.

M = 256, а I = log₂ 256 = 8 бит = 1 байт

Ответ: 1 байт.

б ) В современной кодировке Unicode заложено гораздо большее количество символов. В ней определено 256 алфавитных страниц по 256 символов в каждой.

v Самостоятельное решение

v Набранные баллы выставляют в оценочные листы.

Эталон ответа: I = log₂ (256 * 256) = 8 + 8 = 16 бит = 2 байта

Ответ :2 байта.

Задание 4 . Решите задачу с применением логарифмов в экономике и оформите в программе MS Excel .

а) Двухпроцентный вклад в сбербанк, равный a рублям, через n лет становится равным a × (1,02) n . Через сколько лет вклад удвоится?

v Совместное решение

Эталон ответа:

б) Трехпроцентный вклад в сбербанк, равный a рублям, через n лет становится равным а трехпроцентный вклад становится равным a × (1,03) n . Через сколько лет вклад удвоится?

v Самостоятельное решение

v Набранные баллы выставляют в оценочные листы.

Эталон ответа: n = log _1.03 3 =23,5

а) Решите профессиональную задачу, оформите решение в программе MS Excel .

Происходит дрожжерастительный процесс. Через сколько минут масса дрожжей в 1 грамм станет равной 1,728 грамм. Увеличение массы дрожжей на каждый грамм выражается показательной функцией m = 1,2 t , где P -масса (г), t - время (мин).

v Совместное решение

Эталон ответа:

неизвестное t можно выразить с помощью логарифма log ₁ ,₂ m = t

log ₁ ,₂ 1,728=3 (результат записывается в тетрадь).

б) В условиях предыдущей задачи ч ерез сколько минут масса дрожжей в 1 грамм станет равной 3 грамма.

v Самостоятельное решение

v Набранные баллы выставляют в оценочные листы.

Ø Постановка задач преподавателем математики.

Задание 6. Р ешите простейшее логарифмическое уравнение графическим методом с помощью MS Excel

v Решение совместно с преподавателем информатики

Задание 7 . Работа в парах.

Решите логарифмические уравнения по карточкам графическим методом с помощью MS Excel .

Задача решается самостоятельно. Набранные баллы выставляют в оценочные листы.

Презентация: Применение логарифмом в жизни человека.

V . Контроль знаний с применением ИКТС.

Студенты выполняют тестирование на сайте мастер тест. Набранные баллы выставляют в оценочные листы в гугл форме.

VI . Подведение итогов занятия. Рефлексия

ü Подводятся итоги. Выставляются оценки по указанным на слайде критериям.

VII . Домашнее задание :

На образовательном портале Учи.ру решение карточек в разделе «Задание от учителя.

Алгебра и начала математического анализа: Учеб. для 10кл. общеобразоват. учреждений,/ под ред. А Б Жижченко. - М.: Просвещение, 2011г . -368 стр. Глава 7, § 1-6.

Тип урока: Урок изучения нового.

Учебная задача урока: Познакомиться с понятием логарифма, выяснить в чём связь логарифма и показательного уравнения, научиться вычислять логарифмы, применяя основное логарифмические тождество и связь с простейшими показательными уравнениями.

В результате урока ученик:

Знает: Понятие логарифма, основное логарифмическое тождество, понятие действия логарифмирования, определение десятичного и натурального логарифмов.

Умеет: Пользоваться определением логарифма для вычисления логарифмов, Понимает: Связь между действием логарифмирования и решением простейшего показательного уравнения .

- Частично поисковые методы

Мотивационно-ориентировочный этап (7 мин.),

Содержательный этап (20 мин.),

Рефлексивно-оценочный этап (18 мин.).

Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель : Здравствуйте ребята. Рада вас видеть. Подготовьтесь, пожалуйста, к уроку. Достаём тетрадочки, записываем сегодняшнее число, классная работа.

Учитель : Начнём урок с повторения решения простейших показательных уравнений. Итак, решить уравнения:

Учитель : Молодцы ребята, вы хорошо справились с поставленной задачей.

Изучить понятие логарифма, его связь с простейшими показательными уравнениями. Научиться вычислять логарифмы.

Содержательный этап.

Учитель : Давайте начнём с того, что познакомимся с понятием логарифма. Запишем определение себе в тетрадь:

Логарифмом положительного числа b по основанию а а>0, b >0, a ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b .

логарифм числа b по основанию а обозначается log a b .

Нарисуем себе в тетрадь маленькую схему:

Вернёмся к примеру, который был дан в начале урока:

Учитель : Чему в данном случае равен х?

()

Учитель : Давайте закрепим понятие логарифма, для этого решим несколько примеров.

Учитель : Как мы будем вычислять данный логарифм?

(Данный логарифм нужно привести к простейшему показательному уравнению, т. е. 2 х =8, 2 х =2 3 , отсюда х= 3, и данный логарифм восьми по основанию два будет равен 3)

Учитель : Молодцы. Теперь решим следующий пример.

Учитель : Как мы с вами будем решать данный пример?

( так же как и предыдущий, 16х=1, 1=16 0 , 16 х =16 0 , отсюда х=0 и следовательно данный логарифм равен нулю)

Учитель : Ребята, запомните, что логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Запишите это себе в тетрадь.

Учитель : решим следующий пример

Учитель : как мы будем решать данный пример?

(2 х =0 – решений нет)

Учитель : Верно, запишите себе в тетрадь что логарифма от нуля не существует, т к по определению логарифма log a b а>0, b >0, a ≠ 1

Это основное логарифмическое тождество.

Это тождество следует из определения логарифма:

т к логарифм-это показатель степени х то, возводя в эту степень число а, получим число b , т е

Учитель : Ребята, давайте закрепим изученную формулу, решая примеры:

(Первый пример равен 5, а второй пример 1475)

Учитель : Давайте запишем себе в тетрадь таблицу которую вы видите на экране:

Читайте также: