Вероятность события конспект 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

Теория вероятностей изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями. Что же такое СЛУЧАЙНОЕ ЯВЛЕНИЕ? Пусть производятся опыты: бросание монеты ( кубика, кости) или вынимание карты из колоды наугад. Мы не можем заранее предвидеть результат (исход опыта). Всё это – случайные явления. Всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти называется СЛУЧАЙНЫМ СОБЫТИЕМ.

Пример 1 - Бросание игральной кости:

Второй способ решения Примера 4

б) Вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба белые?

Основные правила теории вероятностей

Правила сложения вероятностей

а) Сложение вероятностей несовместных событий

б) Сложение вероятностей совместных событий

Пересечение событий

Второй способ решения Примера 7

Пример 9 - Бракованные изделия

Имеются 30 изделий, из них 5 - бракованные. Берут 7 изделий. Какова вероятность, что два будут бракованными?

Пример 13 - Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8

Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8
Найти вероятность трёх попаданий при трёх выстрелах.

Пример 15 - Вероятность изготовления бракованной детали 0.05

Вероятность изготовления бракованной детали 0.05. Найти вероятность того, что из пяти наугад взятых деталей будут бракованными 4 ?

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема. Повторение. Элементы теории вероятностей

Организация повторения основных теоретических фактов.

Отработка наиболее распространённых приёмов решения задач по теории вероятностей.

Развитие познавательного интереса учащихся, умение работать с дополнительной литературой.

Воспитание ответственности и самостоятельности при подготовке к семинару.

Задачи урока:

Образовательные:

Проверка умений учащихся решать задачи по теории вероятностей.

Моделирование реальных ситуаций на языке алгебры.

Исследование построенных моделей с использованием аппарата алгебры.

Применение полученных знаний на практике.

Развитие логического мышления, умения делать выводы.

Развитие умения применять информационные технологии для оформления работ и решения задач с современными требованиями.

Воспитательные:

Воспитание информационной культуры.

Стимулирование познавательной деятельности постановкой проблемных вопросов и заданий

Воспитание умения работать самостоятельно.

Тип урока : семинар-практикум

Комплексно- методическое обеспечение : компьютер, мультимедийный проектор, презентации

Методы обучения:

План проведения урока- семинара .

Вступительное слово учителя математики.

Выступление учащихся от каждой группы.

Подведение итогов урока- семинара.

Подготовительный этап

За две недели сообщается учащимся тема семинара, вопросы семинара.

Тема . Элементы теории вероятностей

Формула классической вероятности. Решение задач.

Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей. Решение задач.

Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей. Решение задач.

Сложение и умножение вероятностей. Решение задач.

Список литературы

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / [ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012. – 430с.

Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – 2-е изд., доп– М.: МЦНМО, 2013. – 48 с.

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистики: учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 32 с.

Как готовиться к семинару

Внимательно прочитай вопросы к семинару; ознакомься со списком литературы.

Не откладывай поиск литературы и подготовку к семинару на последние дни.

Изучи указанную литературу и определи основные источники по каждому вопросу. Сделай необходимые выписки, не забудь отметить автора, название, год издания, страницу.

При выявлении новых незнакомых терминов найди в словарях их значение.

Просматривая периодическую печать, делай вырезки по теме семинара.

В случае возникновения затруднений обратись за консультацией к учителю .

2. Составьте план изучения темы.

4. При необходимости сделайте выписки из книг.

5. Можете написать текст выступления.

7. Во время выступления перед одноклассниками говорите свободно (не зачитывая текст) и понятно.

Назначаются консультации для контроля за подготовкой, разъяснения возникших проблем.

План проведения урока-семинара

Вводное слово учителя, формулирование задач, постановка проблемы, знакомство с планом проведения семинара.

Проверка готовности класса к уроку

Мотивация и целеполагание

Вступительное слово учителя:

Задания по теории вероятности включены в экзаменационные работы по математике недавно. В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жёстких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики. Научиться решать задачи – одна из важнейших целей образования. Овладеть математическими знаниями, позволяющими описывать окружающий нас мир, научиться составлять, анализировать и интерпретировать соответствующие математические модели – наиважнейшая цель математического образования. Помочь хотя бы немного в этом нелёгком труде и призван наш сегодняшний урок.

Предложить учащимся сформулировать цели урока.

Выступления учащихся

1-й ученик. Формула классической вероятности. Решение задач .

Основные понятия

Вероятность – есть число, характеризующее возможность наступления события.

Определение. Вероятностью Р события А называют отношение числа m исходов, благоприятных этому событию, к общему числу n исходов Р(A)= .

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либом теннисистом из России.

Решение. Так как в чемпионате участвуют 76 теннисистов, то составить пару Анатолию Москвину могут 75 человек (сам с собой он играть не может). Среди 75 человек - 6 спортсменов из России (Анатолий Москвин - седьмой спортсмен из России). Поэтому вероятность того, что Анатолий Москвин будет играть с кем-то из России равна:

P = = 0,08. Ответ: 0,08.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение. В самолете m =12+18=30 мест, удобных пассажиру В. А всего n =300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру достанется удобное место, равна Р= Ответ. 0,1.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. n =250 – число всех участников олимпиады. В запасной аудитории m =250-120

2-й ученик. Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей. Решение задач.

Основные понятия

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и A равна 1:

Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,3 +0, 6 =0,9

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,2 +0,15=0,35. Ответ : 0,35.

Основные понятия

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема . Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть Р(A+ B) = P(A) - P(B) = P(AB).

Частным случаем приведенной формулы является формула сложения вероятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть невозможное событие и P(AB)= 0 .

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Р (A+ B+ C)= P( A)+ P( B)+ P( C) - P ( А B) - P( AC) - P( BC) + P( AB С ).

Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков – 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Р ( C)= P (A+ B)= P( A)+ P( B) - P( AB)= 0,9+ 0,8 - 0, 75= 0,95.

Школьнику надо сдать зачет по математике. В каждом билете – по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах – второй вопрос. Школьник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

3-й ученик. 3. Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей. Решение задач.

Основные понятия

Определение. Два случайных события называют независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из n попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть

1. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на реклам ном стенде, равна 0,06. Чему равна вероятность того, что:

а) потребитель увидит обе рекламы;

б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Основные понятия

Определение. Условной вероятностью (обозначение P _А (B) или P(B | A) ) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, то есть

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий. Например, для трех событий формула имеет вид

1. В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие Б ₁ состоит в том, что первый шар белый, а событие Б ₂ – второй шар белый. Из условия задачи имеем вероятность P (Б ₁ )= .После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 5 шаров и среди них 1 белый. Тогда получаем P _Б1 (Б ₂ )= . По теореме умножения зависимых событий находим

2. В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы – женщины, а 6,4% работников – женщины, получающие высо кую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа проверочного характера. Взаимопроверка по ответам, записанным на слайде.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. (0,5)

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? (0,225)

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. (0,91)

2. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. (0,6)

3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (0.9975)

Задание на дом

а) Проанализировать вместе с учащимися работу учеников, указать ошибки, недочёты, отметить положительные моменты.

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.

Урок алгебры 10 класс по теме "Понятие вероятности события"

Бесплатный просмотр. Свидетельства участникам
для аттестации за минуту.

воспитательная цель: организация собственной деятельности при смене информации.

Методическая цель урока: использование организационно - деятельностных игр при развитии логического мышления.

- личностные: студент умеет адекватно реагировать на трудности и не боится сделать ошибку;

- регулятивные: студент осознает того, что уже освоено и что еще подлежит усвоению, а также качество и уровень усвоения;

- познавательные: студент может создавать устные и письменные высказывания;

- коммуникативные: студент может осуществлять продуктивное взаимодействия с студентами и преподавателем.

Планируемые результаты в итоге урока:

Обучающийся должен уметь: определять вид события, находить вероятность события.

Обучающийся должен знать: формулу определения вероятности.

ОК 2 Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

Материально – техническое обеспечение урока: раздаточный материал, монеты, презентация, мультимедиа - оборудование.

Виды деятельности обучающихся: самостоятельная работа, работа в парах.

Место проведения урока: кабинет математики.

Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов. – М.: Дрофа,2012 г.

Изучение нового материала.

Задание для самостоятельной работы.

Этапы учебного занятия:

Деятельность педагога

Деятельность обучающегося

Организационный момент

Проверяет готовность обучающихся к уроку; формулирует тему урока.

Знаете, когда я училась в школе, со мной учились два мальчика Саша и Сережа. Саше родители подарили дипломат с кодовым замком. Тогда было модно в школу ходить с дипломатом. Так вот Сережа, пробегая рядом, захлопнул его и перебрал как-то код. В дипломате осталось все: тетради, книги и т.д. Родители Саши отнесли дипломат к родителям Сережи и попросили: либо его открыть, либо купить новый.

И я помню, что первые две цифры кода моей сумки 1 и 5, попробуйте еще раз…

Готовятся к восприятию материала.

Студент пытается подобрать код на кодовом замке.

Основная часть

1.Устный опрос.

Учитель: А мы пока решим следующие задачи:

(за каждое верно выполненное задание получаем по 1 баллу)

Посчитайте: 2!; 3!; 1!

Да косолапый Мишка

Как помниться, герои басни никак не могли усесться. Подсчитайте, сколькими способами герои квартета могут пересаживаться?

Как называется использованная нами формула?

Правительство планеты Х решило выдать номера всем своим летающим тарелкам. Каждый номер состоит из двух разных букв местного алфавита. Сколько номеров может выдать правительство, если в алфавите 10 букв?

Как называется использованная вами формула?

В банке выбирают двух вице-президентов, разных по положению, из 5 руководителей отделов. Сколькими способами это можно сделать?

Как называется использованная вами формула?

На выручку им пришел официант, который предложил сегодня сесть, как придется, на другой день придти и сесть по-другому и так каждый день, пока не наступит такой день, когда они опять сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал угостить всех бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям придется дожидаться бесплатного обеда?

Учитель: Возвратимся к моей сумке.

У тебя получилось открыть замок?

Сколько же возможных вариантов ты опробовали?

Скажите, это событие?

Вероятность того, что вы открыли существовала ли?

Попробуем сформулировать тему урока? (слайд 4)

Договоримся о следующих понятиях.

Студенты выполняют задания, поднимают руку и говорят ответ.

Решение Р n = 4! = 24 способа

Перестановка n - элементов

Решение: С 10 2 =10!/8!2!=45.

Сочетание из n – элементов по k .

Решение: Р 5 2 =5!\3!=20.

Размещение из n – элементов по k .

Р n = 10! =3 628 800 . Число n ! с ростом n растет очень быстро. Это означает, что на самом деле официант ничем не рисковал, так как обещанное событие произойдет почти через 10 000 лет.

Студенты подобрали код.

Студенты формулируют тему урока: Вероятность события.

2.Изучение нового материала.

3.Решение заданий.

4.Физминутка

5.Изучение нового материала.

6.Решение заданий.

(слайд 5) Учитель: Проведем эксперимент: Будем подбрасывать монету – это и есть событие. (Событие – это результат эксперимента).

У вас выпал либо орел, либо решка. Эти события будут назваться случайными, событие, которое произойдет или не произойдет.

Монета зависла в воздухе – это событие невозможное, событие, которое никогда не произойдет.

И выпадение в любом случае либо орла, либо решки – достоверное событие, событие, которое непременно произойдет.

Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:

1)черепаха научиться говорит;

2)вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;

3)ваш день рождения – 19 октября

4)день рождение вашего друга – 30 февраля;

5)вы выиграете, участвуя в лотереи;

6)вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;

7)вы проиграете партию в шахматы;

8)на следующей недели испортиться погода;

9)после четверга будет пятница;

10)после пятницы будет воскресенье;

11) Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление, при этом вода в кастрюле закипела при 100 0 С.

12) Вас изберут руководителем фирмы.

13) в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.

Придумайте три события. Задайте друг другу.

Учитель: Есть два набора чисел выигрыша в лотерею:

Какой набор предпочтительнее выбрать, какой набор более выигрышный?

(слайд 6) Так вот вероятность события - это отношение частоты появления некоторого события к общему числу событий. То есть вероятность оценивает шансы у события произойти или не произойти.

Рассмотрим несколько примеров: (слайд 7-11) (7, 8 задание в упражнении студентам предлагается решить самостоятельно)

Упражнение 2. Найдите вероятность.

Какова вероятность того, что при броске игрального кубика выпадает 2 или 3?

Одновременно бросают две монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?

На экзамене 20 билетов, Юра не выучил билет №13, какова вероятность, что он вытянет счастливый билет?

В партии из 400 деталей 12 бракованных. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь из партии будет исправной?

Андрей и Оля договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков равное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число очков, равное 6, то выигрывает Оля. Справедлива ли эта игра? У кого из них больше шансов выиграть?

Определить вид события: Вы купили в магазине телевизор, на который фирма – производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:

Телевизор не сломается в течение года.

Телевизор не сломается в течение двух лет.

В течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.

Телевизор никогда не сломается.

8. Какова вероятность того, что при изъятии одной карты из колоды в 36 листов игрок вынет:

2) Валета красной масти;

4) Или даму, или валета;

Студенты подбрасывают монеты.

Студенты работают с раздаточным материалом и отвечают на вопросы.

Студенты придумывают и задают эти задания друг другу.

Студенты делают предположения. Ответ: вероятность одинакова.

Студенты выполняют задания под руководством учителя. Решение заданий появляются в презентации.

Конспект по теме "Случайные события. Вероятность.Теоремы вероятностей" предназначен для обучащихся на дистанционном обучении. Кратко рассмотрены следующие вопросы: определение теории вероятностей, ее основных понятий, классическое определение вероятности случайного события, основные теоремы вероятности. Рассмотрены примеры решение простейших задач на вероятность.

Конспект по теме "Случайные события.

Вероятность. Теоремы вероятностей"

В процессе самостоятельного изучения темы обучающиеся должны

знать: понятие события, частоты и вероятности появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность; теорему сложения вероятностей; теорему умножения вероятностей;

уметь: находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей; решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает закономерность в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты - испытание; появление герба или цифры- событие.

Событие в данных условиях называются достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости- достоверное событие; выпадение 7 очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа- события равновозможные.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий. Пусть А- случайное событие, связанное с некоторым опытом. Повторим опыт п раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие А появилось т раз. Отношение называется частотой события А.

При многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Числовая мера степени объективной возможности события- это вероятность события. Вероятность события А обозначает Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию A. Тогда вероятность события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А к числу всех исходов данного испытания:P(A) = . ЕслиА – случайное событие, то m n и P(A) 1;

Эта формула носит название классического определения вероятности. Если B- достоверное (или невозможное) событие, то m=n и P(B) = 1 (m = 0,P(B) = 0). Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах: 0 P (A) 1.

Независимость случайных событий. Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменит вероятности события В. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости взаимно. Несколько событий называют попарно независимым, если каждые два события независимы.

Суммой А + В двух событий А+В называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А- попадание при первом выстреле, или в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то А+В- событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P (A) + P (B).

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна:

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли P_n(m) = C n _k·p m ·q n-m , где q = 1-p.

Число m₀ называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m₁=(n+1)p-1 и m₂=(n+1)p.

Если р≠0 и р≠1, то число m₀ можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m₀ ≤ np+p.

Пример: В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение.

Пример: Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлечённого жетона, не содержит цифры 5.

Решение. Из чисел от 1 до 100 содержат число 5 девятнадцать чисел. Не содержит число пять – 81 число. Тогда

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара (красного или синего).

Решение. Вероятность появления красного шара События А и В несовместимы. Теорема сложения приемлема

Пример: У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, считая что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность: Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, считая что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность: По теореме умножения, искомая вероятность

Пример: В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример: В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Пример: В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем P₄(2) = C 4 ₂·p 2 ·q 2 =(12/2)·(2/3) 2 ·(1/3) 2 = 8/27

Читайте также: