Векторы в пространстве презентация 11 класс атанасян конспект

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок геометрии в 11 классе.

Тема: Координаты и векторы в пространстве

развивающие: учить учащихся осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; развивать умения осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы;

воспитательные : продолжить формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной деятельности; развивать умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры.

Требования к знаниям, умениям и навыкам: учащиеся должны

знать/понимать:

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

уметь:

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение расстояния между точками, координат середины отрезка, координат вектора, длины вектора, угла между векторами;

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Организационный момент .

Тема, цель урока(формулируют учащиеся)

Актуализация опорных знаний

Дайте определение прямоугольной системы координат в пространстве.

Как называются координатные оси?

Назовите абсциссу, ординату, аппликату точки А(2; 3; –5).

5. При каком условии можно сказать, что точка А(х;у; z ) лежит

– в плоскости хоу;

– в плоскости уо z ?

6.Каковы координаты точки В, если она симметрична точке А(х;у; z ) относительно

7. Что такое вектор?

8. Как найти координаты вектора?

9. Какой вектор называется нулевым?

10. Что такое модуль вектора?

11. Какие векторы называются коллинеарными? равными? перпендикулярными?

12. Что такое скалярное произведение векторов?

13. Условие перпендикулярности векторов?

III . Решение упражнений.

1). Какие из точек принадлежат плоскости хоу?

2). Какая из точек является серединой отрезка АВ, если А(6;–2;–8), В(–2;6;–2)? 3). Какая из точек симметрична точке А(–5;3;–2) относительно начала координат? 4). Какая из точек симметрична точке А(–6;4;–2) относительно плоскости хоу? Ответы: 2. Работа в группах:

1). Найдите на оси оу точку, равноудаленную от точек А(–2;3;1) и В(1;2;–4).

2). В треугольнике с вершинами А(–1;2;0), В(0;3;–1), С(2;1;–3) найдите длину медианы АМ.

3). Дано: АВСД – параллелограмм, А(1;–2;3), В(2;3;–5), Д(–4;5;1).

Найдите координаты вершины С.

4). Определите вид треугольника АВС и найдите его площадь

в) А(1;–1;0), В(2;1;2), АС = 5, ВС = 6

3. Работа в парах:

1). Дано: (5;2;1), (0;–3;2). Найдите длину вектора = 2 –

2). Дано: А(–1;–2;–1), В(–1;–1;0), С(–1;–1;–1). Найдите угол ВАС.

3). При каких значениях m и n , векторы коллинеарны, если ( m ;–2;4), (–3;6; n ).

урок проходит по презентации с проверочным тестом. Очень удобно .Можно организовать самопроверку.

Вложение	Размер
skalyar_proiz_vek_s_testom.ppt	1.35 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Совместно с учителем математики Паневой Наталией Васильевной.

Презентация к уроку геометрии "Вектор"

Презентация к уроку геометрии по теме"Применение скалярного произведения векторов к решению задач"

Презентация содержит интересные задачи для решения в устной форме, с последующей проверкой при помощи интерактивной доски, а также задачи, решение которых развивает аналитические способности учеников.

11 класс. Контрольная работа № 2 по теме: "Скалярное произведение векторов в пространстве. Движения"

11 класс. Контрольная работа № 2 по теме: "Скалярное произведение векторов в пространстве. Движения".

Геометрия 11. Скалярное произведение векторов

Домашнее задание по теме "Метод координат" проверяет усвоение правил нахождения скалярного произведения векторов и нахождение угла между прямыми.

Презентации для уроков геометрии по теме "Метод координат в пространстве"

Презентации для уроков геометрии по теме "Метод координат в пространстве" подойдут для уроков геометрии в 11 классе. Для подготовки учащихся к ЕГЭ по профильной математике (задание 14, решае.

Презентация к уроку геометрии 9 класс на тему: " Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам"

Презентация к уроку геометрии 9 класс на тему: " Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам".

Тип урока: урок получения новых знаний.

1) ввести определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия;
2) дать определение равенства векторов;
3) научить решать задачи по данной теме.

Развивающая:

развитие пространственного воображения и логического мышления.

воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

Методы обучения: объяснительно – наглядный (репродуктивный).

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование урока: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки.

Ход урока

1. Организационный момент

Геометрия - одна из увлекательных наук, где есть важные и интересные темы, например, тема “Векторы в пространстве”.

Формулируется цель урока. (Слайд № 1, № 2)

2. Актуализация знаний

Вступительное слово учителя.

Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)

При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

3. Изучение нового материала

1) На каждую парту раздаются чистые листы. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.

Задание. Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.

По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд № 8)

2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Учитель задает вопросы по теме, а ученики отвечают. Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.

Слайд № 9. Понятие вектор.

Слайд № 10. Нулевой вектор.

Слайд № 11. Длина ненулевого вектора.

Слайд № 12. Определение коллинеарности векторов.

Слайд № 13.Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Слайд № 14. Задание. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы. Найти длины векторов.

Слайд № 15. Равенство векторов.

Слайд № 16. Задача. Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

Слайд № 17. Доказательство теоремы.

4. Закрепление изученного материала

1) Решение задач по готовым чертежам

Учебник Л.С. Атанасян и др. “Геометрия 10-11 класс” № 322 (Слайд №18), № 321 (б) (Слайд №19). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой с помощью слайдов.

№ 323 (Слайд №20-21); № 326 (Слайд № 22).

Ответ к задачам дается после обсуждения с классом или верного ответа кого-то из учащихся. Решения записываются в тетрадь.

2) Самостоятельная работа обучающего характера

Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р - середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти длину вектора КМ .

Учащиеся, выполнившие работу первыми, получают оценку. Работа проверяется с помощью слайда № 23.

5. Итог урок

Учащимся дается пять минут для разгадывания кроссворда по изученному материалу. Карточки с кроссвордами раздаются каждому ученику. Проверка с помощью слайда № 24.

1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.
2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.
4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.
5) Чему равна длина вектора АВ?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?

6. Домашнее задание

Стр.84-85, № 320; 321 (а), 325. (Слайд № 25)

“Геометрия 10-11” Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.

Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, 1985.

Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.

№ слайда 1

№ слайда 2

Учитель математики МОУ лицея №18 Дымова И.В

№ слайда 3

В работе рассмотрены следующие вопросы 1. История возникновения понятия вектор 2. Векторное исчисление 3. Понятие вектора 4. Коллинеарные векторы 5. Равенство векторов 6.Противоположные векторы 7.Откладывание вектора от данной точки

№ слайда 4

8.Сумма двух векторов 9.Законы сложения. 10.Правило треугольника. 11. Правило параллелограмма 12. Сумма нескольких векторов 13. Вычитание векторов 14. Умножение вектора на число

№ слайда 5

15. Компланарные векторы 16. Признак компланарности трех векторов 17. Правило параллелепипеда

№ слайда 6

История возникновения понятия вектор Понятие вектор возникло в связи с изучением величин, характеризуемых численным значением и направленностью (например, перемещение, скорость и ускорение движущейся материальной точки, действующая на неё сила и т.п.). В механике и физике рассматривают свободные, скользящие и связанные вектора.

№ слайда 7

Вектор называется свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. Свободным вектором является, например, скорость движения материальной точки. Вектор называется скользящим, если его значение не меняется при любом параллельном переносе вдоль линии его действия.

№ слайда 8

Примером скользящего вектора может служить сила, действующая на абсолютно твёрдое тело (две равные и расположенные на одной прямой силы оказывают на абсолютно твёрдое тело одинаковое воздействие). Вектор называется связанным, если фиксировано его начало.

№ слайда 9

Например, сила, приложенная к некоторой точке упругого тела, представляет собой связанный вектор. Свойства свободных векторов изучаются средствами векторной алгебры (Векторное исчисление). Общее понятие вектора, как элемента, так называемого, векторного пространства определяется аксиоматически.

№ слайда 10

Векторное исчисление- математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

№ слайда 11

Возникновение и развитие векторного исчисления. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине 19 в. усилиями ряда учёных было создано векторное исчисление, в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания.

№ слайда 12

Основы векторного исчисления были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грассмана по гиперкомплексным числам (1844—50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму.

№ слайда 13

Современный вид векторному исчислению придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие векторного исчисления внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (Остроградского формула).

№ слайда 14

№ слайда 15

Понятие вектора Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы. 8Н

№ слайда 16

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

№ слайда 17

№ слайда 18

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора a . Обозначается a . a • • B A • • • B A a

№ слайда 19

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

№ слайда 20

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой АВ А В Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. D C E F K L

№ слайда 21

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: b Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: c a М ММ = 0

№ слайда 22

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 с a В А с = 17 Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. М

№ слайда 23

№ слайда 24

а b c d m n s L

№ слайда 25

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он сонаправлен с любым вектором. a 0 a • P

№ слайда 26

Равенство векторов 1 Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b , если а b а = b а c b d n f m s

№ слайда 27

2 Определение Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. АВСD — параллелограмм, AB=CD B C A D

№ слайда 28

Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA a B А b

№ слайда 29 Описание слайда:

Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. c - c Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

№ слайда 30

Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой а А М а

№ слайда 31

Сумма двух векторов Законы сложения векторов I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ). II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ). III. a + 0 = a . IV. a + (– a ) = 0 .

№ слайда 32

Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK. D B K

№ слайда 33

Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a a b b B A C

№ слайда 34

Правило параллелограмма Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD= b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a a a a b b b D C A B

№ слайда 35

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f k+n+m+r+p = 0 d c e f s a b O k m n r p

№ слайда 36

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а b -b -b а a - b

№ слайда 37

Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k 38

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует также, произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

№ слайда 39

Умножение вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: 1. (kn) а = k ( na ) (сочетательный закон) 2. (k + n) а = kа + na (первый распределительный закон) 3. k ( а + b ) = kа + kb (второй распределительный закон)

№ слайда 40

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) = = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

№ слайда 41

Компланарные векторы [от лат. com (cum) — совместно и planum — плоскость], векторы, параллельные одной плоскости. Определение Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

№ слайда 42

Векторы CA, CA1 и DD1 -компланарны, так как, если отложить от точки C вектор CC1=DD1, то все три вектора CA, CA1 и CC1 окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC, CA и DD1 - не компланарны, так как вектор DD1 не лежит в плоскости ACD.

№ слайда 43

Признак компланарности трех векторов Если вектор с можно разложить по векторам a и b , т.е. представить в виде c = x·a + y·b, где где х и у — некоторые числа, то векторы a , b и c компланарны.

№ слайда 44

OC=c O B A b a B A C OA1=x·OA=x·a; OA=a OB1=y·OB=y·b; OB=a OC=OA1+OB1=x·a+y·b=c; OC=c

№ слайда 45

Правило параллелепипеда: вектор, образующий диагональ параллелепипеда, равен сумме трёх векторов, исходящих из той же вершины и образующих его рёбра. a + b + c = AM

№ слайда 46

Угол между двумя векторами Углом между двумя направлениями в пространстве называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом. Угол между лучами l1 и l2 обозначается (l1 ; l2). По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°]. ^

№ слайда 47

Угол между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. (a ; b) ^ ) a b a b

№ слайда 48

Перпендикулярные векторы (или ортогональные) Коллинеарные векторы Сонаправленные Противоположно направленные a b a b a b 90° 0° 180°

Конспект к уроку для 11 класса по теме: "Векторы в пространстве".

Это первый урок по данному разделу, поэтому необходимо показать историю векторов, посмотреть, где встречаются векторы в окружающем нас мире, ввести основные понятия и определения. Урок комбинированный, т.к. векторы на плоскости обучающиеся изучали в курсе школьной программы, поэтому его целью было:

1. Изучить определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия.

2. Закрепить знания решением задач.

Кроме образовательных целей, я ставила развивающие и воспитывающие: способствовать развитию пространственного воображения, способствовать расширению кругозора, формирование интереса к предмету, воспитывать активность, самостоятельность, повышение общекультурного уровня студентов. Урок сопровождается презентацией, в процессе работы используется страница печатной рабочей тетради. Прилагается самоанализ урока.

Специальность: 35.02.07 Механизация сельского хозяйства

Раздел 5. Координаты и векторы.

Тема урока: Векторы в пространстве.

Образовательная:

1) ввести определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия;

2) дать определение равенства векторов;

3) научить решать задачи по данной теме.

Развивающая:

развитие пространственного воображения и логического мышления.

Воспитательная:

воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

Тип урока: комбинированный урок.

Метод обучения: объяснительно – наглядный (репродуктивный).

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование урока: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки, страница печатной рабочей тетради на каждого студента.

Структурно-логическая карта занятия

Орг. Момент. Постановка цели урока. Мотивация.

Формулируется цель урока. (слайд 4)

С векторами в повседневной жизни мы встречаемся повсюду, например: (слайд 5,6)

Актуализация опорных знаний.

Вступительное слово учителя.

- «Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (слайд 9)

Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши.

Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Объяснение нового материала.

На каждую парту раздаётся листок рабочей тетради. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.

Задание. Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.

По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд 11,12)

2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Преподаватель задает вопросы по теме, а студенты отвечают и заполняют задание 2 на листе рабочей тетради. (слайд 13)

Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.

Слайд 14. Понятие вектор.

Слайд 15. Нулевой вектор.

Слайд 17. Длина ненулевого вектора.

Слайд 18. Определение коллинеарности векторов.

Слайд 19.Сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Задание. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы. Найти длины векторов.

Слайд 21. Равенство векторов.

Слайд 22. Задача. Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

Доказательство теоремы: слайд 23

Закрепление нового материала.

1) Решение задач по готовым чертежам:

Студенты отвечают, с последующей проверкой с помощью слайдов.

Ответ к задачам дается после обсуждения с группой или верного ответа кого-то из студентов. Решения записываются в тетрадь.

2) Самостоятельная работа обучающего характера:

Студенты, выполнившие работу первыми, получают оценку. Работа проверяется с помощью слайда 29.

Решение кроссворда по теме: слайд 31

Диагностика прочности усвоения знаний

4 человека вызываются за компьютеры и выполняют тест-онлайн: слайд 30.

Остальным учащимся дается пять минут для разгадывания кроссворда по изученному материалу, который находится на листе рабочей тетради. слайд 31

Подведение итогов урока, выставление оценок.

Домашнее задание: слайд 33 и Задание №6 в рабочей тетради.

Читайте также: