Векторные диаграммы для описания переменных токов и напряжений 11 класс конспект

Обновлено: 06.07.2024

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Качественные диаграммы изображаются с учетом взаимных соотношений между электрическими величинами, без указания численных характеристик.

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

Проекция вектора на вертикальную ось и определяет значение мгновенного тока в начальный момент времени.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

I = Im /√2.

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Процессы, протекающие в электроцепи переменного тока с активным сопротивлением и реактивной индуктивностью, можно наглядно выразить в графическом виде.

Статья даст описание, что такое векторные диаграммы, где и для чего они используются. Также будет описана временная диаграмма и ее назначение. В конце будет дан пример построения простой диаграммы для электроцепи с последовательным соединением элементов.

Определение

Векторная диаграмма токов и напряжений — это геометрическое изображение всех процессов, величин и амплитуд синусоидального тока. Все имеющиеся величины располагаются на плоскости в виде векторов.

Построение векторной диаграммы использует физика и электротехника. Благодаря созданию такой диаграммы можно значительно упростить выполняемые расчеты, а так же в наглядном и доступном виде отобразить происходящие процессы.

Метод векторных диаграмм позволяет также увидеть в цепи переменного тока возникающие короткие и межфазовые замыкания, а также вычислить возможные потери мощности.

Обычно такая диаграмма строится вместе с временной. Временная диаграмма — это графическое изображение входа и выхода в электрической цепи. Временные диаграммы помогают определить временной промежуток между началом, протеканием и окончанием сигнала. Например, при нажатии на кнопку возникает сигнал, который поступает к приемнику и запускает процесс его работы.

Временные диаграммы также применимы к синусоидальной электрической цепи, так как этот ток имеет начальную точку отсчета (включение питания) и время движения от источника тока к потребителю. Такие диаграммы представляют собой график, на котором изображается начальная точка отсчета, вектор времени и углы смещения фаз.

Разновидности

Разобравшись, что такое и для чего применяется векторная диаграмма, нужно узнать какие разновидности построения существуют. Они отличаются по характеру построения и типу. По характеру бывают:

Точными. Векторная точная диаграмма — это отображение выполненного численного расчета в соответствующем масштабе. С помощью нее определяют параметры фаз и амплитудные значения строго геометрическим способом.
Качественные. Такие гистограммы строят для наблюдения взаимосвязи между электровеличинами без использования числовых характеристик. Такой способ позволяет экспериментировать с различными параметрами и моделировать процессы в электроцепях.

Векторную диаграмму токов можно построить 2 разными способами:

Круговым. В ее принципе лежит вектор, который описывает изменение характеристик путем образования круга или полукруга на плоскости. При таком варианте учитывается направление движения с учетом направления положения вектора.
Линейным. Такой векторной диаграмме при изменении характеристик направление изменяется строго прямолинейно.

Оба построения могут использоваться для расчета характеристик переменного тока в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Построение

Построение простых векторных диаграмм будет рассмотрено в данном разделе. Для примера можно взять простую цепь с несколькими элементами и их значениями. Такая схема подразумевает последовательное соединение элементов между собой. Цепь состоит из катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления. Параметры каждого элемента цепи приведены ниже.

Катушка индуктивности UL с напряжением 15 вольт. Ток в индуктивном сопротивлении имеет сдвиг фазы 90°.
Конденсатор UC с напряжением 20 вольт и опережением на 90 градусов.
Напряжение резистора UR 10 вольт, его направление совпадает с током I.
Сила тока в цепи I равняется 3 ампера.

Далее можно сделать простую диаграмму, которая поможет определить напряжение для всей схемы.

Отложить на плоскости I в виде горизонтальной линии с масштабом 1 A/см (масштаб может быть любым, главное — выполнять все элементы диаграммы одного типа в одном масштабе). Сам ток равен 3 ампера, поэтому его длина будет равна 3 см.
Теперь необходимо отложить вертикальный вектор UL в масштабе 5 В/см. Он отображает напряжение катушки индуктивности и равен 15 вольт. Его длина на плоскости составит в данном масштабе так же 3 см.
Далее нужно графически обозначить вектор напряжения активного сопротивления. Его точка отсчета располагается на окончании вертикального вектора UL. Для принятого масштаба 5 В/см ему соответствует вектор длиной 2 см. Линия должна быть строго параллельна горизонтальному вектору I.
Теперь нужно отобразить на данной диаграмме напряжение конденсатора UC. Его началом будет конечная точка вектора UR, а конец данного вектора будет расположен ниже горизонтального вектора I. В масштабе 5 В/см ему соответствует вектор длиной 4 см.
Чтобы определить соответствующее такой схеме общение напряжение U надо будет сделать следующее. Начало вектора расположено в принятой точке отсчета, а конец его будет расположен в конечной точке вектора UC.

Поэтому если есть схема с последовательным соединением элементов, то всегда можно довольно просто построить векторную диаграмму и рассчитать общее напряжение для такой схемы.

Способ 2

Построение векторных диаграмм с учетом всех известных значений для цепи переменного тока с последовательным соединением конденсатора, резистора и катушки индуктивности. При таком построении нам так же известно напряжение самой цепи. Цепь состоит из:

Резистора UR;
Конденсатора UC;
Катушки UL.

На плоскости Im откладывается вектор UR (резистор). Его направление точно совпадает с током, поэтому это будет горизонтальная линия.
От точки отсчета откладывается вниз вектор UC (конденсатор). Вектор откладывается под углом 90 градусов вниз, так как он имеет указанное ранее опережение 90°.
От этой же точки отсчета откладывается вектор UL (катушка индуктивности). Ее значение откладывается ровно на 90 градусов вертикально, так как есть сдвиг фазы на 90 градусов.

Данная диаграмма может использоваться для контроля и расчета влияния всех известных параметров цепи и элементов, а также их взаимосвязи между собой.

Основное преимущество векторной диаграммы заключается в следующем — простое и быстрое сложение, вычитание двух параметров во время расчета электрических цепей.

Понятие о векторах и векторных диаграммах также подразумевает расчет цепи питания трехфазной сети, подключенной по методу звезды. Она строится с учетом сразу 3 отложенных векторов от 0 оси ординат. Такое построение определяет вектор от источника тока к приемнику. Строится вектор со следующими значениями:

На оси ОХ откладываются настоящие значения величин, а на оси OY мнимые значения.
Угловая величина обозначается как W.
Также присутствует сам вектор Im и угол сдвига фаз φ.

Далее нужно сделать:

На плоскости выбрать точку отсчета.
От нее отложить вектор Im, учитывая угол сдвига фаз равный 90°.
Длина вектора Im равна значению его напряжения и откладывается в выбранном масштабе.

Таким же образом на плоскость накладываются еще две прямые линии. Общая диаграмма покажет симметричность фаз или их сдвиг при появлении короткого замыкания. Такая диаграмма может стать примером для расчета напряжения, тока или нагрузки на каждую фазу с моделированием различных параметров.

Заключение

Векторные диаграммы сложны в понимании при расчете сложных цепей, с большим количеством сопротивлений и индуктивностью. Также, при расчете стоит учитывать тип соединения всех элементов, симметрию цепи и основные ее значения.

Только до 9 марта

ШАГ 1: подайте 3 заявки на любые курсы ПК

Бесплатным становится курс с наименьшим количеством часов

Подсказка: выгоднее всего, если все курсы будут на одинаковое количество часов

Стоимость курса 1 — ₽
Стоимость курса 2 — ₽
Стоимость курса 3 0 ₽

Для участия в акции Вам необходимо подать 3 заявки на любые курсы ПК (повышения квалификации) Для участия в акции выбираются 3 последних поданных заявки.

Попробуйте УМНЫЙ ПОИСК по курсам повышения квалификации и профессиональной переподготовки

Войти с помощью:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Всего 14 материалов

5508633 5465069 5425632 5384499 5384459 5333592 4641233 4625290 4615043 4550456 4467265 4219978 4174313 4121336

40%

Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта "Инфоурок".

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени и фазовому углу , можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

угловой скоростью ,. неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается .

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на ( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается или .

Рассмотрим расчет разветвленных электрических цепей с помощью векторных диаграмм.

Графоаналитический метод расчета

Графоаналитический метод расчета — это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям, векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Пример №1.

Для цепи (рис.5) известны параметры

Требуется определить действующее значение токов ветвей, напряжений на участках цепи, начальные фазы токов и напряжений.

Падение напряжения на емкостном сопротивлении равно по величине и отстает по фазе от тока на 90° (вектор на диаграмме).

Падение напряжения на по величине равно и совпадает по фазе с током . Вектор напряжения ориентируем на диаграмме относительно тока . Сумма векторов и определяет напряжение на участке . Из диаграммы но масштабу определяем величину напряжения . Далее используем закон Ома для участка цепи с сопротивлением , находим ток , так как то .

Для узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется .

Определив величину тока , построим вектор , приняв за начало построения коней вектора тока . Вектор тока строится под углом к вектору напряжения — в сторону отставания, так как ток — ток через индуктивный элемент, он оттает от напряжения на . Сумма векторов токов и дает вектор — ток в общей ветви цепи, он равен (взят в масштабе с диаграммы).

Запишем и графически решим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура .

Перейдем к построению этого уравнения. Примем конец вектора за начало построения вектора напряжения — падение напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор этого напряжения опережает по фазе ток на , строим его.

Принимаем конец вектора за начало построения вектора напряжения на активном сопротивлении. Величина напряжения , вектор напряжения совпадает по фазе с током , строим его параллельно вектору тока . Принимаем конец вектора за начало построения вектора — напряжения на емкостном сопротивлении , вектор отстает на от вектора тока .

Пользуясь векторной диаграммой, можно записать мгновенные значения всех рассчитанных величин. Например, ток во второй ветви:

Напряжение участка и т.д.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Топографическая диаграмма

Топографические диаграммы представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующею в расчете. Например,

В действующее значение напряжения между точками и схемы и начальная фаза . тогда

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы на комплексной плоскости.

Пример №2.

Дана цепь (рис.7), её параметры:

Комплексным методом рассчитаем токи цепи:

Строим на векторной плоскости диаграмму токов в масштабе (рис.8). Для построения топографической диаграммы напряжений принимаем потенциал узла равным нулю, .

Тогда точка будет находиться в начале координат комплексной плоскости. Вычислим комплексы напряжении на каждом из элементов цепи, обходя из точки цепь против направления тока . При таком направлении обхода напряжение на сопротивлении

Строим вектор на комплексной плоскости (рис.8).

По полученному выражению из точки строим вектор Вершиной вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен совпадать по фазе с вектором тока .Теперь находим напряжение на индуктивности :

Из точки строим вектор . Вершиной построенного вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен опережать по фазе вектор тока на . Переходя по контуру в выбранном направлении, находим последовательно положение точек на комплексной плоскости. Вектор, соединяющий начало координат и точку . представляет собой ЭДС источника .

Пользуясь топографической диаграммой, легко определить напряжения между любыми точками цепи. Например, комплекс напряжения определяется вектором, соединяющим точки и и направленным к точке (показан на рис.8 пунктиром). Измеряя на диаграмме модуль и начальную фазу вектора находим .

ПримсрЗ. Рассмотрим расчет цепи на рис.7 графоаналитическим методом

В масштабе строим вектор напряжения , совпадающий по фазе с вектором тока ( рис.9).

Вычислив напряжение , строим вектор напряжения , опережающий по фазе вектор тока на 90′. Соединив точки и , получаем вектор . Измеряя линейкой его длину с учетом масштаба напряжений, находим . По закону Ома находим ток

Из конца вектора тока строим вектор тока , опережающий по фазе вектор напряжения на . Векторно суммируя токи и находим ток . Измеряя линейкой длину вектора тока находим . Зная токи вычисляем напряжения .

Из точки строим вектор напряжения , отстающего но фазе от тока на и вектор напряжения совпадающего по фазе с током . Чтобы определить токи и для участка цепи, построим дополнительную векторную диаграмму . Пусть

С учетом фазовых соотношений между током и напряжениями строим диаграмму (рис. 10). Измеряя длину вектора , с учетом масштаба напряжений находим его величину . Тогда величина тока определяется следующим образом .

Построив вектор и суммируя векторы токов и , из диаграммы на рис. 10 находим .

Чтобы привести диаграмму на рис.10 в соответствие с найденными ранее значениями тока , находим коэффициент пересчета

Умножая длины всех векторов на рис.10 на коэффициент и сохраняя неизменными фазовые углы, получим векторную диаграмму участка , соответствующую току .

Измеряем угол на диаграмме рис.10:

Под углом по отношению к вектору на рис.9 из точки строим вектор . Найдем теперь напряжение :

Поскольку напряжение , опережает по фазе ток на 90°. то вектор строится так, как показано на Рис.9. Соединяя точки и получаем вектор . Измеряя его длину находим

Векторная диаграмма на рис.9 является также и топографической диаграммой. ЭДС превышает ЭДС в раз:

Поскольку рассчитываемая цепь линейна, то напряжения и токи, вызываемые ЭДС , превышают условные напряжения и токи также в = 3.4 раза.

Чтобы измерить начальные фазы токов и напряжений, следует на рис.9 выбрать такую систему координат, в которой ЭДС имеет соответствующую заданию начальную фазу. Так как , то поместив начало координат в точку , действительную полуось совмещаем с направлением ЭДС , а полуось строим ортогонально оси 4 1, как показано на рис.9.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы по известным токам и напряжениям (действующие значения напряжений и токов получены экспериментально). В этом случае при помощи векторной диаграммы можно решить обратную задачу расчета цепи: но токам и напряжениям цепи определить эквивалентные параметры двухполюсников, составляющих цепь.

Пример №3.

Дана цепь (рис.11), известны показания измерительных приборов. Найдем параметры двухполюсника, эквивалентного данной схеме.

Для данной схемы можно составить три уравнения по законам Кирхгофа:

Решим эти уравнения графически. Построение диаграммы следует начать с построения вектора , для этой ветви известно взаимное расположение вектора тока и напряжения, участок с активным сопротивлением. В масштабе токов в произвольном направлении строится вектор . Так как — падение напряжения па активном элементе, оно совпадает но направлению с вектором тока , в масштабе напряжений , строим этот вектор. Ток в ветви с индуктивной катушкой отстает от напряжений , на некоторый угол , который неизвестен.

Используя показания амперметров и , решаем графически первый закон Кирхгофа (1) методом засечек: из конца вектора тока делаем засечку радиусом, равным величине тока в сторону отставания от напряжения , а из начала построения т.О вектора делаем засечку радиусом, равным току . Получаем векторную диаграмму токов заданной схемы. Из построения теперь можно определить — угол сдвига по фазе между током и напряжением на катушке.

Далее достраивается диаграмма напряжений: напряжения и известны. падение напряжения на емкости отстает от вектора тока ветви на 90°, строим его из конца вектора , — падение напряжения на активном элементе совпадает с током ветви, строим из конца в направлении, параллельном току .

Замыкающий вектор на диаграмме напряжений соединяет начало построения и конец вектора , определяет в масштабе напряжение на входе схемы, он равен .

Теперь с помощью треугольников напряжений (сопротивлений), токов (проводимостсй), построенных для какого-либо участка цепи или для всей цепи можно найти сопротивления, проводимости и параметры двухполюсника.

Определим эквивалентные параметры всей цени заданной схемы (см. рис.11) . Сначала строится треугольник напряжений : из конца вектора опускается перпендикуляр па направление вектора тока и определяется активная и реактивная составляющие напряжения — . С учетом масштаба .

Векторная диаграмма сложной электрической цепи

Векторная диаграмма для сложной электрической цепи может быть построена только после расчета этой цепи; строится она на комплексной плоскости по известным комплексам токов всех ветвей и комплексам напряжений на каждом элементе цепи. Пример 5. Заданы источники энергии, сопротивления схемы

Читайте также: