Теорема виета теорема безу конспект урока 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема урока: Теорема Виета (8 класс)

изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, решении квадратных уравнений, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений;

Развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа; развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий; развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы

Воспитывать диалоговую культуру, любовь к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, плакаты, листки взаимоопроса, таблицы, папки с уровненной самостоятельной работой (2 уровня) и домашней работой (3 уровня)

Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку.

Актуализация знаний:

Учитель: Какую тему мы изучаем?

Какие вопросы, связанные с этой темой мы уже рассмотрели?

Что знаем о квадратных уравнениях?

Что умеем делать?

Ученики: - о чем теорема?

- почему изучается сейчас?

Учитель записывает вопросы на доске

Учитель: на все эти вопросы мы постараемся ответить в течение сегодняшнего урока

Организация проверки знаний учащихся о квадратных уравнениях:

а)Взаимоопрос по листам взаимоопроса;

5) 3х² - 5х + 19 = 0

Вопросы к классу:

Какие из данных уравнений являются полными квадратными уравнениями? (1,2,4,5)

Какие квадратные уравнения являются приведенными? (1,4,6)

Почему эти уравнения называются приведенными? (старший коэффициент а = 1)

Назовите неполные квадратные уравнения (3,6)

От чего зависит число корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Как найти дискриминант приведенного квадратного уравнения? ( D = p ² - 4 q )

При каком значении q дискриминант приведенного квадратного уравнения положителен ( при q

Имеют ли корни уравнения 1 и 4 ( Да, так как q

Какие вопросы в связи с названной темой вы бы мне задали?

Ученики: О чем теорема?

Почему изучаем в теме квадратные уравнения?

Всегда ли применима?

Учитель: На все ваши вопросы, я думаю, мы получим ответы в течение урока.

Итак, цель нашего урока: изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений.

Мотивация изучения теоремы Виета

Учитель : Поверите ли вы мне, если я скажу, что уравнения, которые вы видите на плакате, можно решить устно, не выполняя громоздких вычислений (плакат с уравнениями на доске)

х 2 – 2008х + 2007 = 0

2х 2 – 2008х + 2006 = 0

2008х 2 – 2007х - 1 = 0

Ученики: Мы не сможем решить устно эти уравнения, так как они имеют очень большие коэффициенты.

Учитель : Вот в этом нам и поможет теорема Виета.

Изучение теоремы Виета

Подготовительный этап

Ученики : Наличие и отсутствие корней у квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта, который составляется из коэффициентов этого уравнения. Корни уравнения можно находить по формуле, в которую входят коэффициенты квадратного уравнения.

Учитель : Как еще связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Вам интересно?

Ученики: Да, мы хотим устно научиться решать уравнения

Учитель: Хотите научиться так быстро устно находить корни уравнений? Для этого надо исследовать связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Чтобы раскрыть эти связи, полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. Сегодня мы будем исследователями.

В поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Дома у вас было задание: решить квадратные уравнение. На столах у вас лежат таблицы. Занесем результаты в таблицу: заполним столбцы, в которых указываются коэффициенты, корни каждого квадратного уравнения(ученики работают в парах).

(Таблица на слайде заполняется с помощью учащихся). Какие уравнения записаны в таблице? Давайте найдем сумму корней каждого уравнения и их произведение и запишем в таблицу. Сравним коэффициенты уравнений и, затем корни. Какие связи между корнями и коэффициентами вы заметили?

Попробуйте сформулировать свои выводы.

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна - p , произведение корней равно q .

Если корни имеют одинаковые знаки, то q >0, если разные, то q

Учитель: Итак, вы получили те же выводы, что и французский ученый Франсуа Виет в 16 веке.

ФРАНСУА ВИЕТ (Вьета)

"Гальский Аполлоний"

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Он не только ввел свое буквенное исчисление , но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Этап усвоения теоремы

1)Теорема Виета : (демонстрируется слайд)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2)Работа над структурой теоремы

Учитель: Прочитайте слова, выражающие условие теоремы( Что дано?)

Прочитайте слова, выражающие заключение теоремы (Что нужно доказать?)

Запишем условие и заключение теоремы математически (слайд)

3)Дано: х ₁ и х ₂ - корни уравнения х² + px + q = 0

Доказать: числа х ₁ и х ₂ , p и q связаны равенствами

4)Составление плана доказательства

Учитель: С чего начнем доказательство?

Ученики: Записать формулы корней приведенного квадратного уравнения.

Учитель: Что сделаем потом?

Ученики: Сложим корни.

Учитель: Что должны получить? Какие знания понадобятся?

Ученики: Должны получить – p , должны знать как сложить дроби с одинаковыми знаменателями.

Учитель: Что дальше?

Учитель: Что должны получить?

Ученики: Должны получить q .

План доказательства (слайд)

Записать формулы для нахождения x ₁ и x ₂ ;

Найти сумму корней: x ₁ + x ₂ ;

Найти произведение корней: x ₁ · x ₂ .

5)Доказательство теоремы ( на слайде )

6)Устные задания для усвоения формулировки теоремы(слайд)

1. Определите, верно ли сформулирована теорема: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (ученики выбирают то, что по их мнению является ошибочным или недопустимым)

2. Повторите формулировку теоремы.

3. Для всех ли приведенных уравнений х ₁ + х ₂ = - p , х ₁ ∙ х ₂ = q .(Ученики должны запомнить, что для применения теоремы Виета приведенное уравнение должно иметь корни)

4.Сформулируйте теорему со словами "Если. то. "

Что позволяет находить доказанная теорема?

Что должно быть известно до применения теоремы?

Можно ли найти сумму и произведение корней следующих уравнений

х² + 3х + 6 = 0

х² + 5 = 0

2х² – 7х + 5 = 0

7) Усвоение этапов доказательства (фронтально)

Учитель: Назовите этапы доказательства( С чего начинали? Что делали дальше? К чему пришли? Какие математические знания использовали при доказательстве?)

8) Задания на непосредственное применение теоремы.

Учитель: Теорема Виета дает возможность записать любое приведенное квадратное уравнение x ² + px + q = 0 в виде x ² - ( х ₁ + х ₂ )х + х ₁ ∙ х ₂ = 0

Как вы думаете какие задачи мы сможем решить с помощью доказанной теоремы?

Ученики: Сможем находить сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения.

Задание 1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение равно -11

Работа рекомендована для использования на уроках алгебры и начал анализа в 10 классе профильного уровня и для проведения элективных курсов.

Вложение	Размер
teorema_vieta.doc	1016.5 КБ

Предварительный просмотр:

Городская научно-практическая конференция

Плющев Иван Олегович

Прокофьева Тамара Александровна

1 квалификационной категории

1. Франсуа Виет – отец алгебры. 4

2. Теорема Виета. Теория. 8

3. Использование теоремы Виета для решения задач. 11

1) Решение задач с помощью теоремы Виета для квадратного уравнения. 11

2) Решение задач с помощью теоремы Виета для кубического уравнения.16

3) Задачи с параметрами. 18

4) Задания международных математических олимпиад школьников. 20

Список использованной литературы 25

Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач, научиться проводить исследование в задачах с параметрами, развить свои умственные способности, пытаясь решить задачи повышенного уровня сложности.

Сейчас я ученик 9 класса, после окончания которого я буду учиться в профильном естественно- математическом классе нашей школы и готовиться к поступлению на факультет ВМК Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Я хочу серьезно заниматься любимой наукой – математикой. Уже сейчас я понимаю важность систематизировать свои знания по предмету и углубить их.

Попытка хорошо выполнить мою первую научную работу и участвовать в научной конференции старшеклассников – это мое первое испытание на определение возможностей, первый опыт на большом пути.

изучить биографию Франсуа Виета;
изучить подробности его великого открытия в области математики;
разобраться с формулировками теоремы Виета;
сделать подборку задач, в которых используется теорема Виета;
найти задачи с параметрами, в которых удобно использовать теорему Виета;
посмотреть задачи ЕГЭ, в которых может быть использована теорема;
попробовать весь найденный материал привести в определенную систему.

1. Франсуа Виет – отец алгебры.

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с её семьей, и переехал с ней в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III. В ночь на 24 августа 1572 году в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеева ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война. Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. Её избранником стал один из видных руководителей гугенотов – принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали. Наконец им стало известно, что шифр для французов не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола. Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры, стало возможным буквенное исчисление.

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более, что её можно обобщить на многочлены любой степени.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид. Так он первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Было ясно доказано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение есть, то может быть одно или два.

В 1589 году, после убийства Генриха Гиза по приказу короля Виет вернулся в Париж. Но в том же году король Генрих III был убит и к власти пришел Генрих IV. Виет опять поступил на службу уже в новому королю, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в неё буквенную символику. До Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения, эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях устно находить и корни уравнений.

· обучающая : раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.

· развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;

· воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Тип урока : урок усвоения новых знаний.

I . Целеполагание.

( - Значит, есть более рациональный, эффективный способ решения квадратных уравнений)

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

(На интерактивной доске высветить слайд с незаполненной таблицей и в ходе обсуждения её заполнить)

О квадратных уравнениях

Что я знаю

Что не знаю

Решать по формуле полные квадратные уравнения

Решать неполные квадратные уравнения

Решать задачи с помощью квадратных уравнений

Новый способ решения квадратных уравнений

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

II . Объяснение.

1 этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a , b , c )

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Дома вы решали квадратные уравнения и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

(Или учитель предлагает учащимся решить уравнение х 2 –2087х+2086=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу)

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

Задания для исследования каждой группе:

1. х 2 + 7х + 12 = 0

2. х 2 - 10х + 21 = 0

3. х 2 – 3х – 10 = 0

4. х 2 +3х – 10 = 0

5. х 2 + 2х – 35 = 0

1. х 2 + 5х + 6 = 0

2. х 2 - 9х + 20 = 0

3. х 2 – 2х – 15 = 0

4. х 2 + 2х – 15 = 0

5. х 2 + х – 42= 0

1. х 2 + 7х + 10 = 0

2. х 2 - 8х + 15 = 0

3. х 2 – х – 6 = 0

4. х 2 + х – 6 = 0

5. х 2 + 12х + 20 = 0

1. х 2 + 8х + 15 = 0

2. х 2 - 7х + 10 = 0

3. х 2 – х – 12 = 0

4. х 2 + х – 12 = 0

5. х 2 + 7х – 18= 0

1. х 2 + 10х + 21 = 0

2. х 2 - 7х + 12 = 0

3. х 2 – х – 30 = 0

4. х 2 + х – 30 = 0

5. х 2 + 13х + 30 = 0

1. х 2 + 9х + 20 = 0

2. х 2 - 11х + 30 = 0

3. х 2 – 5х – 14 = 0

4. х 2 + 5x – 14 = 0

5. х 2 – 6х + 8 =0

1. Заполните рабочий лист.

2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4. Ответьте на вопрос урока.

5. Подготовьте отчет.

Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на доске выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

3 этап. Обмен информацией .

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

Рабочий лист

Приведенное квадратное уравнение

х 2 + px + q = 0

Второй коэффициент

Свободный член

Сумма корней

Произведение корней

(проверяем заполнение учащимися таблицы)

4 этап. Связывание информации.

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями

приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти

Кста ти, подобный случай описан в фантастическом рассказе А. Бестера "Пи-человек":

х 2 + х + 41 равно простому числу при х = 0, 1,2. Но уже при х = n получается

составное число. Рекомендую вам прочитать рассказ и узнать, чему равно n .

(Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.)

Гипотеза. Если x₁ и x₂ – корни уравнения x 2 + px + q = 0,

Для подтверждения данной гипотезы к отчету приглашается группа, получившая индивидуальное задание. Ребята на доске составляют схему данной теоремы и предлагают свое доказательство этой теоремы.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

“Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

5 этап. Применение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х₁+ х₂=9=-р, р=9, х₁∙х₂=20= q , следовательно уравнение имеет вид х 2 +9х+20=0)

Задание №1 (работа в группах)

1. Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

2. Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.

4. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х 2 + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х 2 + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х 2 – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х 2 – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х 2 + 45х – 364 = 0, х₁ = 7 – для пятой группы;

2) х 2 – 40х + 364 = 0, х₁ =14 – для шестой группы.

Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х 2 – х – 6 = 0.

по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂ = 3.

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1. х 2 + 7х + 10 = 0

2. х 2 – х – 20 = 0

3. х 2 + 6х – 7 = 0

4. х 2 + 11х + 24 = 0

5. х 2 + 17х + 70 = 0

6. х 2 – 7х – 30 = 0

7. х 2 + 10х – 11 = 0

8. х 2 + х – 12 = 0

9. х 2 + 11х + 28 = 0

10. х 2 – 4х – 21 = 0

11. х 2 + 4х + 3 = 0

12. х 2 + 7х - 18 = 0

13. х 2 + 6х + 5 = 0

14. х 2 -9х +14 = 0

15. х 2 + 13х + 42 = 0

16. х 2 + 2х - 3 = 0

17. х 2 – х – 12 = 0

18. х 2 + 12х + 35 = 0

19. х 2 -10х + 21 = 0

20. х 2 -х - 30 = 0

21. х 2 – 9х + 20 = 0

22. х 2 -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф.Виета, вкладе ученого в развитие алгебры, сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика.

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

Домашнее задание.

1. Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.

2. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 ( индивидуальное задание).

3. Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).

6 этап. Рефлексия.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Виет Франсуа
1540 год - 14 февраля 1603 год

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. . Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь.

Это ли не честь ученому, что школьники всего мира знают его имя в связи с изучением данной теоремы. Лучшего памятника трудно придумать.

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

На данном уроке-закреплении использовалась одна из форм робаты учащихся на уроке- групповая.Урок интенсивный- учащиеся выполняют в различной форме около 40 заданий. Используется и игровая форма работы. Необычно проводится и физминутка- дети ищут правильные ответы по всему классному кабинету.

П.8. Тема: Теорема Виета.(закрепление)

Обучающие –Знать свойства коней квадратного уравнения (теорему Виета); уметь использовать свойства корней при решении приведенных квадратных уравнений.

Развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, математическую речь, смекалку, умение самооценивать и анализировать свои ошибки;

Воспитательные – воспитывать активность, стремления к учебе, уважение друг к другу; формировать бережное отношение учащихся к своему здоровью.

На доске фиксируются смайлики трех цветов. Каждый ученик, выбрав себе смайлик, произносит свои пожелание присутствующим.

Классный коллектив делится на три группы (соответственно цвету выбранного смайлика). Каждая группа выбирает себе лидера и тайм- менеджера.

На доске демонстрируются правила работы в группе(слайд1):

Помогать друг другу.

Девизом урока является пословица: Будете друг за дружку держаться - можете ничего не бояться.(слайд 2)

Закрепление пройденного материала:

Работа в группах: Лидеры каждой группы выбирают конверты с информацией о различных периодах жизни Франсуа Виета. Учащиеся должны изучить этот материал. Представитель каждой группы должен суметь изложить его поочередно соседним группам в краткой форме за 1 минуту. Тайм-менеджеры следят за соблюдением регламента. ( Приложение 1).

Математическая разминка: Данная разминка выполняется устно по тренажеру на слайдах ( Приложение 2):

Портрет Франсуа Виета;

Определить приведенные и произвольные уравнения;

Определить коэффициенты приведенных уравнений и их корни;

Определить соответствие данных корней перечисленным уравнениям;

Угадайте корни уравнений;

Самостоятельная работа: Самостоятельная работа состоит из разноуровневых заданий с последующей самопроверкой. (Приложение 4.)

Задача лидера - рационально распределить задания между учащимися с целью повышения эффективности работы группы и объективно оценить их труд.

Подведение итогов. По оценочным листам оценивается вклад каждого ученика в группе. Лидеры групп зачитывают итоги.

П.8. Тема: Теорема Виета.

Обучающие –Совершенствовать знания свойств коней квадратного уравнения (теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета); уметь использовать свойства корней квадратного уравнения при решении задач.

Воспитательные – воспитывать активность стремления к учебе, уважение друг к другу; формировать бережное отношение учащихся к своему здоровью.

Закрепление пройденного материала:

Закрепление пройденного материала ведется в форме презентации.

Из истории теоремы Виета;

Определить соответствие квадратных уравнений;

Определить соответствие корней (4 слайда);

Угадать корни (4 слайда).

Письменно выполняется №151,153,155..

Домашнее задание: п.8 №

Читайте также: