Свойства равнобедренного треугольника конспект
Обновлено: 07.07.2024
Повторение основных понятий Тест 1 . Отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется . Медиана 2 . Перпендикуляр , опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение, называется . Высота
3 . В треугольнике АВС отрезок В D делит угол АВС на два равных угла. Как называется отрезок В D ? Биссектриса
/ 4 . В треугольнике провели две медианы. Сколько всего треугольников изображено на рисунке? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) Четыре 2) Шесть 3) Восемь 4) Двенадцать
5 . В треугольнике АВС отрезок AD является медианой. Чему равна длина стороны ВС , если длина отрезка BD равна 3 см? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 9 см 2) 6 см 3) 5 см 4) 3 см
6 . Чему равна градусная мера угла ВАС , если А D – биссектриса треугольника АВС , а угол ВА D равен 35°? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 35° 2) 90° 3) 70° 4) 45°
7 . Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника? Выберите один из 2 вариантов ответа: 1) Может 2) Не может 8 . Сколько высот имеет любой треугольник? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) Четыре 2) Одну 3) Две 4) Три
9 . Отрезок В D – медиана треугольника АВС , отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC . Чему равна длина отрезка ЕС , если отрезок АС равен 20 см? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 15 см 2) 10 см 3) 5 см 4) 4 см
10 . Чему равна градусная мера угла А DB , если отрезок BD – высота треугольника АВС ? Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 120°
Объяснение нового материала Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности. Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые всегда имели широкое применение в практической жизни. Выясним , какой треугольник называется равнобедренным, и какими свойствами он обладает.
Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. В А С АВ , А С – боковые стороны ∆ АВС . В С – основание ∆ АВС . Точка А – вершина ∆ АВС , точки В , С – вершины при основании . ∠ А – угол при вершине, ∠ В , ∠ С – углы при основании .
Треугольник , у которого все стороны равны, называется равносторонним . А В С Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство . А В С ∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС . AF – биссектриса ∆ АВС . F A В = АС , ∠ В AF = ∠ С AF . Теорема доказана. ∆ АВ F = ∆ АС F ( по первому признаку ) , AF – общая сторона, Следовательно, ∠ В = ∠ С .
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство . А В С ∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС . F AF – биссектриса ∆ АВС . A В = АС , ∠ В AF = ∠ С AF . AF – медиана ∆ АВС . ∠ AF В = ∠ А F С , AF – высота ∆ АВС . Теорема доказана. ( по первому признаку ) , ∆ АВ F = ∆ АС F AF – общая сторона , В F = С F ,
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Какие из данных треугольников являются равнобедренными, почему?
Треугольник АВС – равнобедренный ∠МАВ = 100 , найдите ∠А и ∠С в треугольнике АВС
Треугольник АВС – равнобедренный, АС – основание, ВD – биссектриса, ∠СВD = 37 , АС = 25 см. Найдите ∠В, ∠ВDС и DC.
Задача № 107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника . А В С Решение . Тогда АВ = ВС= см АС = см , Получаем + 2 + = 50, 5 = 50 , = 50 : 5 , = 10, Тогда АС = 5 см, АВ = ВС = 5 ∙ 2 = 10 (см). Ответ: 10 см, 10 см, 5 см .
Задача № 112. Дано : АВ=ВС, ∠1=130 . Найдите ∠ 2 Решение : Углы ∠ 1 и ∠АСВ – смежные, т.е ∠1 + ∠АСВ=180 , значит ∠АСВ = 180 - 130 = 50 АВС – равнобедренный, значит ∠ВАС = ∠АСВ=50 (углы при основании равнобедренного треугольника) ∠ 2 = ∠ВАС = 50 ( как вертикальные) Ответ : ∠ 2= 50
Какой треугольник называется равнобедренным? Какой треугольник называется равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника ? Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника? Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая? Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?
Равнобедренный треугольник — треугольнику которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника были известны с давних времен. Еще древние вавилоняне (II в. до н.э.) знали, что углы у основания равнобедренного треугольника равны. Любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Признаки равнобедренного треугольника:
Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный:
— два угла равны,
— высота и медиана совпадают,
— высота и биссектриса совпадают,
— медиана и биссектриса совпадают,
— две медианы равны,
— две высоты равны,
— две биссектрисы равны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:
Задача № 1. Дано: ΔABC — равносторонний, ΔADC — равнобедренный (AD=CD), AC — общая сторона, BC = 8 см, PADC > PABC в 1,5 раза. Найти: CD.
Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AD — медиана, AB + BD = 27 см, AC + CD = 21 см. Найти: AB, BC, AC.
Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, ∠1 = 130°. Найти: ∠2.
Теоретический тест
с последующей самопроверкой
- Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно. - Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой. - В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем. - Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно. - Если треугольник равнобедренный, то:
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) два его угла равны. - В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем. - Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является:
а) равносторонним;
б) равнобедренным;
в) прямоугольным. - Если в треугольнике две стороны равны, то:
а) у него равны два угла;
б) у него все углы равны;
в) этот треугольник равносторонний.
- Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: б) может быть верно.
- Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
- В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? б) в равнобедренном.
- Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно.
- Если треугольник равнобедренный, то: в) два его угла равны.
- В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? в) в равностороннем.
- Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является: б) равнобедренным.
- Если в треугольнике две стороны равны, то: а) у него равны два угла.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
где – угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Документ приложение 2.docx
Приложение 2.
Устная работа по готовым чертежам
Какие треугольники являются равнобедренными?
2.Какие из сторон являются боковыми сторонами треугольников, а какие – основанием?
3. Найти угол КВА
Выбранный для просмотра документ Приложение 1. .docx
Верно ли, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны ;
Верно ли, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны ;
Верно ли, что биссектриса угла – луч, делящий угол на два равных угла ;
Верно ли, что отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника ;
Верно ли, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения всегда лежит внутри треугольника ;
Верно ли, что из точки, не лежащей на прямой, можно провести, по крайней мере, два перпендикуляра к ней ;
Верно ли, что две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образуется хотя бы один прямой угол ;
Верно ли, что высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне ;
Верно ли, что три стороны треугольника пересекаются в одной точке, и она всегда лежит внутри треугольника ;
Верно ли, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка лежит внутри треугольника .
Верно ли, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
Верно ли, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, является медианой и высотой
Выбранный для просмотра документ Приложение 3..docx
Раз –подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту тихо сесть.
Выбранный для просмотра документ Приложение 4. .docx
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
4. Я выполнял задания…
6. Теперь я могу…
9. У меня получилось…
11. Меня удивило…
12. Мне захотелось…
Выбранный для просмотра документ конспект урока .docx
Технологическая карта урока
Предмет: математика (геометрия)
Класс: 7
Тип урока: Урок закрепления
Образовательные : выявить уровень овладения знаний и умений по теме; научить в процессе реальной проблемной ситуации использовать определение равнобедренного и равностороннего треугольников, свойства равнобедренного треугольника, продолжить ф ормирование умений применять свойства равнобедренного треугольника для решения задач, формирование умения сознательного пользования основными понятиями ;
Развивающие: совершенствовать умение обрабатывать информацию, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, развивать умение выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, развивать умения анализировать, сравнивать и обобщать, формировать логическое мышление ; способствовать развитию познавательной активности; прививать интерес к геометрии .
Воспитательные: умение слушать и вступать в диалог, умение интегрироваться в группы сверстников, воспитывать ответственность и аккуратность.
Личностные УУД: умение выделять нравственный аспект поведения; уважать и принимать чужое мнение; формировать адекватную самооценку и чувство собственного достоинства.
Регулятивные УУД: работа по алгоритму, с памятками; прогнозирование своей деятельности для решения поставленных задач, целеполагание и выдвижение гипотез, умение выделять необходимую информацию для решения базовых задач и задач в измененной ситуации.
Коммуникативные УУД: умение слушать и вступать в диалог, умение выражать свои мысли, умение интегрироваться в группу, поддержание здорового духа соперничества.
Познавательные УУД: формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его; развитие пространственных представлений; развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера.
Планируемые
результаты
Предметные: знать понятия равнобедренного и равностороннего треугольника, медианы, биссектрисы и высоты, свойства равнобедренного треугольника.
Уметь применить свойства равнобедренного треугольника при решении задач.
Личностные: умение слушать и вступать в диалог, умение интегрироваться в группы, через взаимодействие с математическим содержанием учиться уважать и принимать чужое мнение и поднимать самооценку.
Метапредметные: применять полученные знания при решении проблемных ситуаций, связанных со свойствами равнобедренного треугольника.
Основные понятия
Треугольники, виды треугольников, равные треугольники, высота, медиана, биссектриса.
Межпредметные
связи
Формирование у школьников конструктивных умений и навыков (например, таких как измерение, построение плоской фигуры, равной данной, геометрическое моделирование и конструирование) позволяет значительно ускорить процесс формирования некоторых умений при обучении изобразительному искусству. Применение материала урока для решения задач с практическим содержанием.
основные
дополнительные
Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Д.Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2013.- 383с.:ил.
Карточки, линейки, карандаши, компьютер
Формы работы
учащихся
Фронтальная, индивидуальная, парная, групповая
I . Организационный этап. Мотивация.
Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.
Установка: Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает
Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этой установки, будем активны, внимательны, развивать и тренировать свое геометрическое зрение.
На столах у вас лежат карточки с заданиями. Вы будете работать с этими задачами на уроке.
Вам предстоит решать различные задачи: базовые задачи, задачи с практическим содержанием. Вы познакомитесь с некоторыми задачами, которые могут встретиться на итоговой аттестации в 9 классе (ГИА).
Обучающиеся готовы к началу работы, имеют представление о форме проведения устных упражнений и работе с карточками.
Обучающиеся ставят проблемные вопросы и отвечают на них.
Например:
1. Что называется треугольником?
2. Сколько элементов содержит треугольник?
3. Какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника?
4. Какие виды треугольников бывают? (по углам и сторонам)
5. Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник?
II Актуализация знаний .
Что является важным при решении задач?
б) Устная работа по готовым чертежам (Приложение 2).
Знание определений и теорем.
Обучающиеся знакомы с такой формой работы. Отвечают на вопросы, которые появляются на слайде.
Взаимопроверка (сверяют с ответами на слайде)
Сдают работы.
Формулируют определение медианы, биссектрисы, высоты треугольников, определение и свойства равнобедренного треугольника. Следят за грамотностью речи.
III Обобщение и систематизация знаний (базовые задачи). Воспроизведение на новом уровне.
Работа в статических парах.
Дано: ∆ АВС – равнобедренный,
СН – высота.
Доказать, что ∆ АНС = ∆ ВНС
Задача №2 А
Работа в группах.
1 группа . Дано: АВ = ВС, А D = ЕС. Докажите, что ∆ В D Е – равнобедренный.
2 группа . Найдите биссектрису АМ, проведенную к основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см (сделайте чертеж).
Чертеж не копируют, только решения пишут в тетрадь.
Совместное обсуждение решения задач, взаимопомощь, демонстрируют умение договариваться. Выдвигают гипотезы, доказывают или опровергают предположение.
Чертеж не копируют, только решения пишут в тетрадь.
Совместное обсуждение решения задач, взаимопомощь, демонстрируют умение договариваться. Предлагают различные варианты решения задачи.
Поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний. Анализ объектов.
Обучающиеся делятся на группы, демонстрируя у мение интегрироваться в группу, слушать и вступать в диалог. Решают поставленную задачу в своей группе. Целеполагание, выдвижение гипотез.
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция.
Физкультминутка (Приложение 3) .
Ребята выполняют упражнения, демонстрируют управление поведением.
IV Применение знаний и умений в новой ситуации.
Самостоятельная работа по вариантам.
Учащимся, имеющим проблемы с учебным материалом, испытывающим сложности при решении задач, пропустившим по болезни уроки, предлагается тест, который они могут выполнить, используя учебник.
Дано: ∆ ВСЕ равнобедренный ЕМ – биссектриса,
ВС= 16 см, : ВЕМ = 43°
Найти: ВМ, ВЕС,ЕМВ
Дано: ∆ АЕС равнобедренный ЕО – мелиана,
АО= 9 см, : АЕС = 80°
Найти: АС, АЕО,ЕОА
Обучающиеся самостоятельно выполняют задания в тетрадях.
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата.
VI Рефлексия
Пишут в тетрадях (используют имеющиеся в дневниках карточки с незаконченными предложениями). Несколько человек зачитывают свои предложения.
VII Этап оценивания знаний учащихся и подведение итогов урока
Наш урок подходит к концу. В течение урока мы хорошо работали. Перед нами была задача: ф ормирование умений применять свойства равнобедренного треугольника для решения задач, формирование умения сознательного пользования основными понятиями . Как вы думаете, мы справились с этой задачей?
Обучающиеся самостоятельно учатся оценивать, продуктивно прошел урок или нет.
VIII Информирования учащихся о домашнем задании
Домашнее задание: п.14-18, вопросы 1-13 на стр. 48; № 117 №120
Ребята внимательно слушают и записывают задания.
Список использованной литературы
3. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии 7 класс. М.: Просвещение,1991.
4. Гончарова Л.В. Предметные недели в школе. Математика. Волгоград, 2003.
Читайте также: