Соответствия и отношения множеств опорный конспект

Обновлено: 07.07.2024

Отображение из множества . Отображение из множества или , который отображением сопоставляется элементу и обозначают .

Каждое отображение однозначно определяет множество упорядоченных пар , являющееся подмножеством декартова произведения .

Наоборот, пусть в декартовом произведении , что:

Тогда множество единственным образом определяет некоторое отображение из , элементу , удовлетворяющий условию . Таким образом, мы можем отождествить отображения с их графиками и считать, что отображение есть подмножество декартова произведения.

Отображение множества при всех может существовать несколько различных элементов множества , называют прообразом элемента при отображении .

Так, прообраз числа при отображении есть множество всех решений уравнения , т.е. множество

Прообраз элемента может быть пустым множеством. Это имеет место, например, для числа при отображении .

Множество всех , таких, что найдется , называют областью значений отображения . Область значений отображения будем обозначать .

Отображение называют инъективным (инъекцией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из следует .

Отображение называют сюръективным (сюръекцией), если его область значений совпадает со всем множеством называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Таким образом, если отображение биективно, то каждому элементу множества

Пример 1.2. а. Отображение, заданное равенством , есть, как нетрудно показать, биекция множества натуральных чисел на его подмножество .

б. Отображение в. Любая показательная функция , есть биекция множества всех положительных действительных чисел.

г. Функция есть биекция множества .

д. Поворот окружности на заданный угол

Образ и прообраз множества

Пусть задано отображение и — некоторое множество. Множество элементов , таких, что , называют образом множества при отображении . Например, при отображении отрезок является образом множества (отрезка) , равно как и любого объединения отрезков вида (для произвольного целого .

Заметим, что для любого отображения образ всего множества , называют прообразом множества .

Например, для любого действительного числа множество, которое является объединением всех отрезков вида

есть прообраз отрезка при отображении .

Прообраз области значений произвольного отображения совпадает со всем множеством

Частичное отображение и его область определения

Понятие отображения можно обобщить. Обобщение может проходить по двум позициям. Во-первых, можно отказаться от полной определенности отображения, полагая, что образ определен не для каждого элемента множества есть частичное отображение с областью определения

Во-вторых, можно отказаться от однозначности отображения, полагая, что данному , что , т.е. множество, являющееся прообразом элемента .

Если задано соответствие из по аналогии с обозначением для отображений, понимая при этом, что есть уже не элемент множества из множества упорядоченных пар , таких, что и элементы связаны соответствием , то есть . Указанное множество упорядоченных пар есть подмножество декартова произведения , мы тем самым однозначно определяем некоторое соответствие из

Нетрудно заметить, что графиком соответствия будет как раз множество , а соответствием, отвечающим графику . Поэтому можно отождествить соответствие с его графиком и считать, что соответствие из множества декартова произведения . В частности, при получаем пустое соответствие , а при , совпадающем со всем указанным декартовым произведением, — универсальное соответствие .

При этом будем писать для упорядоченных пар, связанных соответствием .

Используют также термины "частичное мультиотображение" и "частичная многозначная функция".

Пример 1.3. Рассмотрим множество программистов и множество программ . Зададим соответствие

Область определения соответствия из множества

Область значения соответствия — это множество всех вторых компонент упорядоченных пар из

Из определения вытекает, что . Соответствие из .

Сечением соответствия для фиксированного элемента . Можно сказать, что сечение соответствия есть множество всех "образов" элемента Сечением соответствия по множеству будем называть множество

Пример 1.4. Область определения соответствия т из примера 1.3 есть все множество .

Бинарные отношения на множествах

Соответствие из множества , называют бинарным отношением на множестве Пример 1.5. Простейшим примером бинарного отношения является отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел , для которых справедливо .

Для произвольного бинарного отношения на некотором множестве часто используют запись вместо , говоря при этом об элементах, связанных бинарным отношением . Это согласуется с традиционной формой записи некоторых часто используемых бинарных отношений. Так, пишут , а не . Для таких бинарных отношений употребляют устоявшиеся словосочетания. Например, запись читается так: "".

Бинарное отношение на множестве , т.е. пар с совпадающими компонентами, называют диагональю множества . Нетрудно понять, что диагональ графа соответствия . В этом случае элементы множеств принадлежит соответствию , то в графе соответствия из кружочка, обозначающего элемент . Для бинарного отношения на конечном множестве

Пример 1.6. а. На рис. 1.1, а изображены график и граф бинарного соответствия из примера 1.3.

б. Пусть . Бинарное отношение на , таких, что . Тогда

Область определения отношения , область значений . График и два варианта графа отношения изображены на рис. 1.1, б.

в. Множество точек окружности есть график бинарного отношения на множестве действительных чисел, состоящего из всех таких упорядоченных пар , что , или, что равносильно, компоненты пары удовлетворяют уравнению . Область определения бинарного отношения есть отрезок , область значения — также отрезок .

Функциональное соответствие

Соответствие называют функциональным по второй (первой) компоненте, если для любых двух упорядоченных пар и из равенства следует (и из следует ). Функциональность соответствия по второй компоненте означает, что, фиксируя в любой упорядоченной паре, принадлежащей данному соответствию, первую компоненту, мы однозначно определяем и вторую компоненту. Таким образом, мы можем сказать, что соответствие, функциональное по второй компоненте, есть отображение (возможно, частичное).

Поэтому соответствие является отображением из ) и функционально по второй компоненте. Отметим также, что отображение из

Отношения произвольной арности

В заключение обобщим понятие соответствия, определив отношения произвольной арности.

Определение 1.4. Произвольное подмножество называют (п-арным или п-местным) отношением на множествах .

В случае если все множества совпадают, т.е. , говорят об n-арном отношении на множестве — n-арное отношение на множествах и , то говорят об элементах , связанных отношением Замечание 1.3. При . Это не что иное, как соответствие из в , где множества и , вообще говоря, различны.

При получаем введенное ранее бинарное отношение на множестве, т.е. подмножество декартова квадрата ) следует, строго говоря, различать термины "n-арное отношение" и "n-арное отношение на множестве".

Связь между введенными понятиями отношения, соответствия и отображения проиллюстрирована на рис. 1.2.

Пусть n-арное отношение удовлетворяет условию: для любых двух кортежей

из выполнения равенств для любого следует, что и . Тогда отношение называют функциональным по i-й компоненте .

Другими словами, функциональность n-местного отношения по i-й компоненте равносильна условию, что, фиксируя все компоненты, кроме i-й, мы однозначно определяем и i-ю компоненту.

Пример 1.7. а. Представим строку учебного расписания как кортеж вида

Тогда расписание можно рассматривать как секстарное (шестиместное) отношение на соответствующих множествах. Оно будет функционально по первой компоненте, если, конечно, предположить, что два преподавателя или более не проводят одно и то же занятие одновременно в одном и том же месте (хотя, например, на лабораторных работах это возможно). Оно также функционально по третьей компоненте (один преподаватель не может вести одновременно занятия по разным дисциплинам), по четвертой (преподаватель со своей группой не могут находиться в разных аудиториях) и не будет, вообще говоря, функционально по второй, пятой и шестой компонентам.

б. Рассмотрим на множестве геометрических векторов в пространстве тернарное (трехместное) отношение компланарных векторов. Это отношение не является функциональным ни по одной компоненте, так как любым двум векторам соответствует бесконечно много векторов, образующих с ними компланарную тройку.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект лекции Основы теории множеств

Элементы и множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:

Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.

Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.

Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.

Элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: a , b , m , x , y …; множество часто обозначают прописными латинскими буквами А, В, М, Х, У… .

Существует два способа задания множества:

перечисление элементов (только для конечных множеств):

указание характеристических свойств:

- Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством х≤6, где х – натуральное число.

– множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

R – множество вещественных чисел;

Множество студентов в группе.

Определение 4: Множество называется конечным , если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными .

Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.

Определение 5: Множества, не содержащие элементы, называются пустыми множествами . Пустое множество обозначают символом  или <>.

Определение 6: Универса́льное мно́жество (универсум) — в математике множество , содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.

Определение 7. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначают.

Пример: 1)В=, A =, то ; 2) Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества,   А , где А – любое множество; 3) само множество А является своим подмножеством,

т.е. А  А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А  U, где А – любое множество.

Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А = В.

Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:

1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;

2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.

То есть, м ножества А и В считаются равными , если

Определение 9: В случае, когда и , то это записывают и говорят, что А есть собственное подмножество В.

Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.

Для конечных множеств мощность – это число его элементов.

Пример: 1) В=, | В |=3; 2) | Z |= ; 3) |  |=0.

Определение 11: Равные множества являются равномощными. Если А=В, то .

Определить все подмножества множества В=

Приведите примеры бесконечного множества.

Конспект лекции Операции над множествами

1. Операции над множествами

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.

Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.

Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В:

Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение: Дополнением множества А называется множество (или А ’ ) всех тех элементов универсума , которые не принадлежат множеству А :

Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

2. Основные тождества алгебры множеств

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):

1. Коммутативность объединения

1’. Коммутативность пересечения

2. Ассоциативность объединения

2’. Ассоциативность пересечения

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения

3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения

4. Законы действия с пустым и универсальным множествами

4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами

5. Закон идемпотентности объединения

5’. Закон идемпотентности пересечения

6. Закон де Моргана

6’. Закон де Моргана

7. Закон поглощения

7’. Закон поглощения

8. Закон склеивания

8’. Закон склеивания

9. Закон Порецкого

9’. Закон Порецкого

10. Закон двойного дополнения

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Определение: Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар вида ( x , y ), таких что x и .

Две пары ( x , y ) и ( u , v ) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Множество студентов данной учебной группы.
Множество планет солнечной системы.
Множество букв русского алфавита.
Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R + - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .

Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

Множество цифр десятичной системы счисления:

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Второй способ: N =

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

1. Пусть даны два множества: X= и Y=. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .

Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C=, D=, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А= иB=.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р=. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

2.2 Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

а также знаком дизъюнкции

х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

x ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n =,

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

а также x ∈ A  B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)

Если E 1 = и E 2 =, то E 3 =E 1  E 2 =, E 4 =E 2  E 1 =.

Если M 1 =, M 2 =, то M 3 =M 1  M 2 =< x 1 ; x 2 ; x 3 >,

Если K 1 =, K 2 =, то K 3 =K 1  K 2 =, K 4 =K 2  K 1 = ∅ .

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Множества и операции над ними

Презентация к уроку алгебры в 9 классе .

Множества и операции над ними. Урок получения новых знаний. Алгебра 9 класс.

Разработка содержит презентацию и план конспект урока по теме "Множества и операции над ними". Цели урока: образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множес.

Множества и операции над ними. Урок закрепления изученного матриала. Алгебра 9 класс.

Тесты по теме "Множества и операции над ними" ( два варианта)

Тесты по теме "Множества и операции над ними" ( два варианта) .. Алгебра 9 клас. Можно использовать в компьютерном классе, при индивидуальной работе с учеником.

Множества и операции над ними.

Методическая разработка по теме « Множества и операции над ними. Решение задач".

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = ; L = .

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 ∈ Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Читайте также: