Сечение геометрических тел плоскостью конспект

Обновлено: 20.05.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Сечение геометрических тел плоскостями

преподаватель Сосновская Е. М.

специальность 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Технологическая карта учебного занятия

Занятие № 26 по дисциплине ЧЕРЧЕНИЕ

количество часов 2

Тема занятия: Сечение геометрических тел плоскостями

Тип занятия: освоения новых знаний и способов деятельности

Вид занятия: комбинированное

образовательная - научить читать и выполнять чертежи усеченных геометрических

развивающая - развивать пространственное и логическое мышление; закреплять

навыки по проецированию

воспитательная - воспитывать аккуратность выполнения чертежей.

Оборудование: учебные плакаты, образцы графических работ, инструкционные карты,

карточки – задания, модели геометрических тел, развертка

шестиугольной призмы, чертежные инструменты.

Ход занятия:

1. Организационный момент (Запись темы занятия в журнале. Проверка отсутствующих и готовности к уроку.

Краткий обзор выполненной работы на предыдущем занятии. (5 мин)

Создание атмосферы – рабочий настрой

Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность.

Найти себя невозможно – себя можно только создать.

Даже если знания раздаются бесплатно – приходить нужно все равно со своей тарой

Преподаватель, после короткого резюме, желает уч-ся успешной работы.

2. Проверка знаний обучающихся. Подведение итогов проверки. (15 мин)

Проверка имеет своей целью не только определение уровня усвоенных знаний, но и подготовить уч-ся к осмысленному восприятию нового материала.

Проводится опрос – актуализация (в группах по 3-4 учащихся).

Группам раздаются задания, которые состоят из теоретической и графической части.

Теоретическая часть ( ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ) – группы готовят устные ответы; графическая часть ( ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ) выполняется на подготовленных изображениях – шаблонах.

Задается время на выполнение задания + краткий инструктаж

Вопросы теоретической части имеют такую градацию:

Тестовые – предполагают выбор верного варианта ответа.

Развернутый ответ, который подразумевает умозаключения на основе анализа, сравнения, обобщения.

Задания комплектуются так, чтобы в каждой группе были разноплановые вопросы, что позволит всем участникам обсуждения проявить себя и, в свою очередь, это будет способствовать созданию ситуации успеха.

Графическая часть одинаковая для всех групп. Правильность ее выполнения – путем сверки по образцу (фронтально), который в увеличенном формате вывешивается на доске.

Для подведения итогов уч-ся предлагается самим оценить результаты своих групп (раздать опорные критерии)

Преподаватель дает общую оценку работы групп, указывает на типичные ошибки;

подытоживает и формулирует положения, которые являются ключевыми для освоения знаний по новой теме.

Цель: построить развертку усеченной призмы

Задачи: - определить натуральную величину сечения

- освоить приемы построения разверток

Задание мотивации через постановку проблемного вопроса, ответ на который уч-ся должны получить (дать) в процессе изучения темы (может быть повторно сформулирован в конце занятия на этапе подведения итогов).

4. Изложение нового материала, применяемая методика (25 мин)

Объяснение, сопровождающееся демонстрацией приемов и способов действия

Оформление доски: Общее название темы. Цель настоящего занятия. Комплексный чертеж усеченной призмы с проекциями полученного сечения (итог проделанной работы на предыдущем занятии).

Ортогональный чертеж крыши. Плакат с иллюстрациями и алгоритмом применения изучаемого метода. ( ПРИЛОЖЕНИЕ 3 - 4)

Последовательность изложения

Сечение, полученное в результате рассечения призмы фронтально-проецирующей плоскостью, не проецируется в натуральную величину (Н. В.) ни на одну из плоскостей, т. к. расположено к ним под углом, а на фронтальную в виде отрезка прямой (т. к. перпендикулярно к ней).

Чтобы получить Н. В. необходимо, чтобы сечение было параллельно плоскости проекций. Как это сделать?

Существуют способы, которые позволяют преобразовывать чертежи и таким образом решать различные задачи – метод замены плоскостей.

Объясняется суть этого метода, основные его правила ( ПРИЛОЖЕНИЕ 3 - 4 ) – сначала демонстрация процесса на пространственной модели, а затем соответствующие построения выполняются на плоскости – на чертеже.

5) Акцентируется внимание на то, что теперь можно перейти к следующему этапу –

построение развертки усеченной призмы и, что именно для этого нам нужна была

Для разрешения проблемной ситуации - проанализировать

чертеж четырехскатной крыши (на доске).

Вывод: скаты крыши можно рассматривать как поверхности, полученные в результате сечения четырехгранной призмы. Для того, чтобы рассчитать необходимое количество материалов для неё – необходимо определить её площадь, т. е. найти Н. В. скатов - для этого достаточно иметь чертеж.

7) Демонстрируется макет усеченной призмы и её готовая развертка из бумаги:

прослеживается процесс развертывания и положение всех элементов призмы в

развернутом виде на плоскости.

8) Определяется последовательность построения чертежа развертки:

- построение развертки полной призмы (без верхнего основания)

- построение следов секущей плоскости на каждой грани (линия среза)

- построение верхнего основания – сечения, используя чертеж Н. В.

Акцентируется внимание на то, что линии ребер – это линии сгибов и они на чертеже обозначаются согласно ГОСТ 2.301-68 – штрихпунктирной линией с двумя точками, которую обучающиеся еще не использовали при выполнении чертежей.

9) Где применяются развертки? (вопрос к уч-ся)

Подсказка: развертка – синоним выкройка

Демонстрация иллюстрации с примерами использования разверток ( ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ) Вывод : для создания пространственных форм из листовых

5. Закрепление изученного материала, применяемая методика (35 мин.).

Закрепление осуществляется поэтапно в процессе объяснения ( уч-ся выполняют графические построения )

На каждом этапе учащиеся выполняют самоконтроль выполненных построений.

Демонстрируются приемы проверки правильности построений – учащиеся аналогично выполняют самоконтроль.

6. Подведение итогов (10 мин)

Сегодня на занятии я узнал………….

Сегодня я научился…….

Меня сегодня удивило……………..

У меня получилось сегодня …………….

Я испытывал затруднения в……………

Полученные умения я могу использовать в…. / для ……………..

7. Задание для самостоятельной работы обучающихся во внеаудиторное время

Ознакомиться с принципом построения разверток пирамид.

8. Задания для обучающихся на дом

Завершить оформление графической работы

Плох тот ученик, который не превосходит учителя.

/Леонардо да Винчи/

Желаю вам превзойти своих учителей.

Всем спасибо за работу.

Преподаватель Сосновская Е. М.

Сечение геометрических тел плоскостью

1. Сечением называется фигура, полученная………

2. Что показывается в сечении?

а) только то, что попало в секущую плоскость

б) то, что попало в секущую плоскость и то, что за ней в) плоскости проекций

3. Как обозначается (выделяется) сечение на чертеже?

4. Какой будет фигура сечения, если цилиндр пересечь плоскостью

перпендикулярной оси вращения?

а) овал б) круг в) прямоугольник

5. Какой будет фигура сечения цилиндра, если секущая плоскость параллельна его оси?

6. Какой будет фигура сечения конуса, если секущая плоскость параллельна его

7. Какой будет фигура сечения, если секущая плоскость проходит вдоль оси конуса?

а) треугольник б) эллипс в) круг

8. Как построить полученное сечение на профильной плоскости проекций?

а) по наглядному изображению б) по фронтальной проекции в) по линиям

9. Как расположена относительно П 2 фронтально-проецирующая плоскость?

а) перпендикулярно б) параллельно в) под углом

10 . Как перейти от пространственной модели плоскостей проекций П 1 ; П 2 ; П 3 ?

(трехгранного угла) к их плоскостному изображению?

11. Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к плоскости……

12. Горизонтально проецирующая плоскость перпендикулярна к плоскости…….

13. Как изобразится на фронтальной плоскости П 2 сечение призмы, рассеченной

Формирование навыков построение сечения призмы и определение его натуральной величины.

Воспитание культуры труда, формирование познавательного интереса к предмету, инженерному делу.

Развитие пространственных представлений, пространственного мышления.

Методы: Рассказ, беседа, демонстрация, самостоятельная работа.

Оборудование: Учебник, чертёжные инструменты, оформленные чертежи для демонстрации, компьютер, мультимедиа, карточки – задания.

Тип урока: Комбинированный.

Вложение	Размер
urok_po_inzh.grafike._dokument_microsoft_office_word.docx	28.19 КБ

Предварительный просмотр:

Урок инженерной графики в группе М – 24
по теме:

Формирование навыков построение сечения призмы и определение его натуральной величины.

Воспитание культуры труда, формирование познавательного интереса к предмету, инженерному делу.

Развитие пространственных представлений, пространственного мышления.

Методы: Рассказ, беседа, демонстрация, самостоятельная работа.

Тип урока: Комбинированный.

I. Этап организационный
- приветствие, проверка присутствующих на занятии.

II. Этап актуализации знаний

-основные геометрические тела.

III. Этап мотивационный

- объявление темы занятия, постановка целей и задач занятия.

IV. Этап объяснения нового материала и первичного закрепления
- понятие о сечениях,
- сечение призмы плоскостью.

V. Процессуально – исполнительский этап

VI. Рефлексионный этап

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. Организация внимания учащихся.

Форма многих технических деталей представляет собой сочетание простых геометрических тел . Поэтому для выполнения чертежей изделий необходимо знать, как правильно изображаются различные геометрические тела.

Вспомним основные геометрические тела:

Тела вращения: цилиндр, конус, сфера, тор .
Многогранники: пирамида, призма .

Сегодня мы рассмотрим многогранники, а в частности усеченную призму. Так давайте вспомним, какой многогранник называют призмой?

Призмой называется многогранник, у которого 2 грани (основания) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а боковые грани – прямоугольники (у прямой призмы) или параллелограммы (у наклонной).

Мы рассмотрим прямую призму.

Элементы призмы: вершины, ребра (боковые и основания), грани (2 основания и боковые).

А теперь вспомним построение комплексного чертежа призмы .

Рассмотрим 3 проекции 6-угольной призмы. На главном виде – это прямоугольники, боковые ребра – это горизонтально проецирующие прямые, 6-угольник на виде сверху представляет собой проекцию обоих оснований.

Познакомиться с методами построения усечённых геометрических тел.

Изучить способы, позволяющие определять на чертеже действительную величину отрезка прямой и плоской фигур .

Этап объяснения нового материала и первичного закрепления

Понятие о сечениях геометрических тел плоскостью

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности, рассеченные плоскостями .

Построения прямоугольных и аксонометрических проекций усеченных тел, а также определение истинного вида сечений и разверток поверхностей геометрических тел вы часто будете использовать на практике. В силу вашей будущей профессии вы должны знать правила выполнения и чтения конструкторской и технологической документации и уметь их оформлять. .

На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости; что расположено за секущей плоскостью, не показывают.

Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой для того, чтобы отличить на детали мысленно образованные поверхности от существующих. Штриховку наносят тонкими линиями. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45 к линиям рамки чертежа.

Сечение широко применяется в техническом черчении для выявления формы и внутреннего устройства предметов.

Сечением поверхности геометрических тел плоскостью называется плоская фигура, точки которой принадлежат и поверхности тела, и секущей плоскости.

Т.е. рассекая геометрическое тело плоскостью, получают сечение — ограниченную замкнутую линию, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника .

При пересечении плоскостью тел вращения (например, цилиндра, конуса) фигура сечения часто ограничена кривой линией . Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий — прямых или окружностей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сечения.

Рассмотрим несколько случаев сечения плоскостью Р геометрического тела — куба, лежащего на горизонтальной плоскости проекции Н.

В первом случае куб усечен фронтально-проецирующей плоскостью Р . Фигурой сечения является прямоугольник. При построении двух проекций такого сечения следует иметь в виду, что фронтальная проекция фигуры сечения совпадает с фронтальным следом секущей плоскости Р v . Горизонтальная проекция фигуры сечения — прямоугольник.

Во втором случае куб усечен горизонтально-проецирующей плоскостью Р . Фигура сечения — прямоугольник. На слайде приведено построение проекций этого сечения. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальным следом Р н секущей плоскости. Фронтальной проекцией сечения будет прямоугольник, одной стороной которого является линия пересечения плоскости Р с плоскостью передней грани куба.

В третьем случае куб пересечен плоскостью общего положения , то полученная фигура сечения в данном случае (треугольник) проецируется на плоскости проекций V и Н с искажением.

Элементы деталей, наклонные к плоскостям проекций, проецируются на них с искажением размеров. Однако в некоторых случаях требуется получить на чертеже натуральную величину отрезков прямых линий или плоских фигур, в частности при построении разверток.

Натуральные размеры отрезков линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой они расположены. Следовательно, чтобы определить натуральную величину отрезка линии или фигуры , необходимо, чтобы плоскость проекции была параллельна изображаемому элементу. Для этого применяют способ вращения или способ перемены плоскостей проекций.

Способ вращения. Способ вращения заключается в том, что отрезок прямой линии или плоскую фигуру вращают вокруг выбранной оси до положения, параллельного плоскости проекций .

Способ перемены плоскостей проекций . Этот способ отличается от способа вращения тем, что проецируемая линия или фигура остается неподвижной, а одну из плоскостей проекций заменяют новой дополнительной плоскостью, на которую и проецируют изображаемый элемент.

Сечение призмы плоскостью

Сегодня мы с вами подробно рассмотрим и построим сечение призмы и ее аксонометрическую проекцию, и остановимся на первом случае, т.е. сечение призмы фронтально-проецирующей плоскостью и определим натуральную величину отрезка фигуры способом перемены плоскостей проекций .

В сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник. Вершины многоугольника – это точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, стороны – это линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Построение комплексного чертежа усеченного многогранника состоит из решения следующих задач :

Построение проекций фигуры сечения.
Определение натуральной величины сечения.

Построение аксонометрического изображения усеченного многогранника.

Рассмотрим все поставленные задачи.

Задача 1 . Построение проекций фигуры сечения .

Для построения трех проекций усеченной призмы выполняем следующие операции:

Строим 3 проекции правильной 6-угольной призмы.
Проводим фронтально-проецирующую секущую плоскость А-А.
На горизонтальной проекции плоскость сечения совпадает с проекцией основания ABCDEF, на профильной проекции сечение строится путем определения профильных проекций точек 1,2,3,4,5,6 и их последовательного соединения.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Задача 2. Определение натуральной величины сечения .

Решение задачи 2 проводится с использованием чертежа, полученного при решении задачи 1. Для определения натуральной величины сечения используем метод вспомогательных секущих плоскостей. Для решения задачи выполняем следующие операции:

На произвольном расстоянии и параллельно секущей плоскости А-А проводим прямую. От фронтальных проекций точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 проводим прямые, которые будут перпендикулярны плоскости сечения. Прямые проводим до пересечения с новой плоскостью проекций.
Новые проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаем перенося горизонтальные проекции данных точек в новую систему координат.
Полученный 6-и угольник в новой системе плоскостей проекций и будет являться натуральной величиной сечения 6-угольной призмы.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Задача 3. Построение аксонометрического изображения усеченного многогранника

Для решения задачи выполняем следующие операции:

Строим шестиугольник АВСDЕF в изометрии.
Из вершин шестиугольника проводим ребра призмы. Высоты A1, B2, C3, D4, E5, F6 – берем с фронтальной проекции усеченной призмы.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Мы подробно рассмотрели случай, когда секущая плоскость пересекает боковую поверхность прямоугольной призмы и фигурой сечения является шестиугольник.

Но есть и другие случаи, когда секущая плоскость пересекает не только боковую поверхность, но и основание.

Как вы думаете, какой же тогда фигурой будет являться сечение?

(семиугольник или пятиугольник) .

Мы только что с вами познакомились с методами построения усечённых геометрических тел и изучили методы, позволяющие определять на чертеже действительную величину отрезка прямой и плоской фигуры. А теперь мне бы хотелось посмотреть на сколько вы усвоили этот материал. И сейчас мы проведем небольшой тест. На экране будут появляться вопросы с ответами, и вы в тетради будете фиксировать на ваш взгляд правильные ответы. А потом мы проанализируем их вместе.

а) Изображение предмета, получающегося при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

б) Изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

в) Изображение проекции, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

2.Сечение применяют для…

а) Выявления внешней формы предмета;

б) Выявления конструктивных элементов детали;

в) Выявления формы и внутреннего устройства предметов;

3. Что показывает сечение?

а) На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости;

б) На сечениях показано то, что находится в самой секущей плоскости и за секущей плоскостью;

в) На сечениях показано лишь то, что находится за секущей плоскости;

а) Штриховой линией под углом 45;

б) Штриховкой под углом 45;

в) Штрих – пунктирной линией под углом 45;

5. Какая фигура получается при пересечении плоскостью многогранника?

А теперь проверим, какие же ответы у вас получились?

В таблице 19 на карточках: первая колонка обозначает № варианта, вторая – расстояние А (т.е. расстояние от центра фронтальной проекции призмы до точки Р х – начала секущей плоскости) и третья – α (угол наклонна секущей плоскости).

Например: для варианта 4, А равно 52, α – 25 0 .

Что вам понравилось на сегодняшнем уроке?
Трудная – ли была работа на сегодняшнем уроке?
Добились ли вы поставленных целей?
Чему вы сегодня научились?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая тетрадь "Геометрические фигуры на плоскости"

Рабочая тетрадь предназначена для повторения основных разделов курса " Геометрические фигуры на плоскости".Цель данной работы:систематизировать имеющиеся у учащихся знания и ликвидировать пробелы в ни.

Рабочая тетрадь по теме: "Геометрические фигуры на плоскости"

Данная учебно-методическая разработка составлена в виде рабочей тетради для учащихся и предназначена для для повторения основных разделов курса " Геометрические фигуры на плоскости" .Учащиеся пр.

Интерактивная презентация "Геометрические фигуры на плоскости"

ученики должны выбрать из предложенных фигур планиметрические фигуры.

Построение сечений геометрических фигур

Презентация по теме: "Построение сечений геометрических фигур". Образец построения сечений.

Задачи по темам "построение простых разрезов и аксонометрической проекции","пересечение тел вращения", "построение сечений фигур фронтально-проецирующей плоскостью" и примеры решения

Эти задания содержат темы "построение простых разрезов и аксонометрической проекции","пересечение тел вращения", "построение сечений фигур фронтально-проецирующей плоскостью" а так же примеры их.

Методические рекомендации по развитию пространственного мышления учащихся 8 классов, посредством решения геометрических задач на плоскости.

В работе рассмотрены задачи по геометрии, способствующие развитию пространственного мышления.Приведен пример урока изучения нового материала, по теме: Теорема Пифагора.

Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве.

В презентации следующие слайды: метод дополнительный построений(планиметрия и стереометрия),метод площадей(планиметрия и стереометрия),алгебраический метод.Проведена аналогия решения плаюниметри.

2. Изложение нового материала
- понятие о сечениях. Привести практические примеры на пересечение тел плоскостями;
- сечение призмы плоскостью;
- сечение кругового цилиндра плоскостью;
- сечение пирамиды плоскостью;
- сечение кругового конуса плоскостью.

3. Закрепление новой темы
- построение профильной проекции геометрических тел;
- построение сечения на виде слева;
- построение натуральной величины сечения.

4. Заключение
- подведение итогов по занятию,
- приведение в порядок рабочих мест.

5. Домашнее задание
- прочитать конспект – лекцию.
- закончить и оформить построения в тетради.
- прочитать материал в учебнике стр.102 – 109.

ПОНЯТИЕ О СЕЧЕНИЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Построение пересечения тел плоскостями часто встречается при изображении внешних очертаний деталей машин и приборов, при выявлении внутренних очертаний деталей и во вспомогательных построениях (нахождение точек встречи прямой с поверхностью, отыскание линий пересечения двух поверхностей и др.).

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности. Пылесборник машины для очистки литых деталей (см. рис.1) представляет собой усеченный цилиндр. Форма крышки трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового цилиндра и представляет собой эллипс. Пример сечения прямого кругового конуса приведен на рисунке 2. Колпак сепаратора представляет собой сварную конструкцию из тонкой листовой стали и состоит из двух конусов.

Кроме того, иногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых деталей, усечённых плоскостью. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (см. рис.3).

Построения прямоугольных и аксонометрических проекций усечённых тел, а также определение истинного вида сечений и развёрток поверхностей геометрических тел часто используются на практике.

Рассекая геометрическое тело плоскостью, получают сечение – ограниченную замкнутую линию, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

Нужно обратить внимание на то, что при пересечении многогранника с плоскостью в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника, а при пересечении тел вращения фигура сечения ограничена плавной кривой линией. Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий, взятых на поверхности тела (например, образующих конуса и цилиндра). Точки пересечения образующих с секущей плоскостью будут принадлежать кривой линии сечения.

Для того чтобы определить действительную величину сечений, необходимо знать способы преобразования плоскостей проекций: способ вращения и способ перемены плоскостей проекций.

В качестве вспомогательных, к комплексным чертежам применяют аксонометрические проекции. Это делают в тех случаях, когда нужно дать наглядное изображение предмета.

Сечение призмы плоскостью

Из комплексного чертежа на рисунке 4, видно, что плоскость Р_v пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание призмы. Поэтому фигура сечения представляет собой плоский шестиугольник 1 2 3 4 5 6. Для построения проекций фигуры сечения находят проекции точек пересечения плоскости Р_vс ребрами призмы и соединяют их прямыми линиями. Фронтальные проекции этих точек получаются при пересечении фронтальных проекций ребер призмы со следом Р_v, секущей плоскости Р (точки 1` - 6`).

Горизонтальные проекции точек пересечения 1-6 совпадают с горизонтальными проекциями ребер.

Имея фронтальные и горизонтальные проекции этих точек, с помощью линий связи находят профильные проекции 1" - 6'' Полученные точки соединяют прямыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.

Действительный вид фигуры сечения можно определить любым из способов: вращения, совмещения или перемены плоскостей проекций.

В данном примере (см. рис. 4) применён способ перемены плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой плоскостью, причём ось х₁, для упрощения построений, параллельна фронтальному следу плоскости Р.

Для нахождения новой горизонтальной проекции какой-либо точки фигуры сечения (например, точки 1) необходимо выполнить следующие построения. Из точки 1' , на фронтальном следе плоскости Р, восстанавливают перпендикуляр к новой оси х₁, и откладывают на нем расстояние от прежней оси х до прежней горизонтальной проекции точки 1, т.е. отрезок n₁. В результате получают точку 1₁. Таким же способом построения находят и остальные горизонтальные проекции точек 2₁-6₁. Соединив прямыми линиями новые горизонтальные проекции 1₁-6₁, получают натуральную величину фигуры сечения (см. рис.4).

Рисунок 4 Вы можете посмотреть здесь.

Сечение цилиндра плоскостью

Построение плоского сечения прямого кругового цилиндра аналогично построению плоского сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматривать как прямую призму с бесчисленным количеством ребер - образующих цилиндра.

На рисунке 5 даны три проекции прямого кругового цилиндра, пересеченного фронтально-проецирующей плоскостью Р.

Из комплексного чертежа видно, что фронтально-проецирующая плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под угломк оси цилиндра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса.

Натуральная величина фигуры сечения, получена способом перемены плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой. Новая ось проекций выполнена совпадающей с плоскостью Р, (построение аналогично рис. 4).

Рисунок 5 Вы можете посмотреть здесь.

Сечение пятигранной пирамиды плоскостью

Правильная пятигранная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рисунке 7.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом P_v плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды. Натуральная величина фигуры сечения может быть найдена, например, способом совмещения.

Указание: Нахождение натуральной величины отрезка (бокового ребра пирамиды) (см. рис. 6).

Пусть требуется определить действительный вид боковых ребер пирамиды.

Как видно из рисунка, рёбра пирамиды горизонтально-проецирующие, поэтому действительный вид рёбер треугольника можно получить на плоскости V (на виде спереди) вращением любого из рёбер вокруг вертикальной оси до тех пор, пока проекция ребра не станет параллельна плоскости V.

На комплексном чертеже (см. рис.6) ось вращения 2' S, перпендикулярная плоскости H, проведена через вершину треугольника S. Вращается вершина рёбра треугольника точка 2. После поворота, новая горизонтальная проекция ребра треугольника S 2₁ должна быть параллельна оси х. Фронтальную проекцию — точки 2₁' — вершины 2 после поворота находят, проводя вертикальную линию связи вверх до оси х из точки 2₁. Соединив точки 2₁' и S', получим на плоскости V (на виде спереди) действительную величину ребра S 2 треугольной пирамиды.

Рисунок 7 Вы можете посмотреть здесь.

Сечение прямого кругового конуса плоскостью

При различном расположении секущей плоскости Р по отношению к оси прямого кругового конуса получают различные фигуры сечения, ограниченные большей частью кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рисунке 8. Основание конуса расположено на горизонтальной плоскости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Для построения горизонтальной проекции контура фигуры сечения – горизонтальную проекцию основания конуса (окружность) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях проводят вспомогательные образующие. Сначала находят фронтальные проекции точек сечения 1` - 12`, лежащих на фронтальном следе плоскости Р_v. Затем с помощью линий связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей S2, проецируется на горизонтальную проекцию этой же образующей S2 в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действительный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекций. Плоскость Н заменяется новой плоскостью проекции Н₁. Чтобы получить новую горизонтальную проекцию какой-либо точки проекции эллипса, например точки 2₁, из точки 2' восстанавливают перпендикуляр и откладывают на нем отрезок равный отрезку 2' - 2, т.е. расстояние n (см. рис.8).

Рисунок 8 Вы можете посмотреть здесь.

Лекции

Лабораторные

Справочники

Эссе

Вопросы

Стандарты

Программы

Дипломные

Курсовые

Помогалки

Графические

Доступные файлы (6):

Сечение геометрических тел плоскостями.docx

Сечение геометрических тел плоскостями

Познакомить студентов с методами построения усечённых геометрических тел в прямоугольных проекциях.
Изучить методы, позволяющие определять на чертеже действительную величину отрезка прямой и плоской фигуры.
Формирование пространственных представлений студентов посредством чтения и построения чертежей.
Совершенствование графической техники.

усечённые геометрические модели.
чертёжные инструменты и принадлежности.

рабочая тетрадь.
чертёжные инструменты и принадлежности.

1. Организационная часть
- приветствие, проверка присутствующих на занятии,
- объявление темы занятия, постановка целей и задач занятия,

4. Заключение
- подведение итогов по занятию,
- приведение в порядок рабочих мест.

^ ПОНЯТИЕ О СЕЧЕНИЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Кроме того, иногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых деталей, усечённых плоскостью. Это применяется в раскрое листового материала, из которого

изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (см. рис.3).

^ Сечение призмы плоскостью

Горизонтальные проекции точек пересечения 1-6 совпадают с горизонтальными проекциями ребер.

Для нахождения новой горизонтальной проекции какой-либо точки фигуры сечения (например, точки 1) необходимо выполнить следующие построения. Из точки 1' , на фронтальном следе плоскости Р, восстанавливают перпендикуляр к новой оси х₁, и откладывают на нем расстояние от прежней оси х до прежней горизонтальной проекции точки 1, т.е. отрезок n₁. В результате получают точку 1₁. Таким же способом построения находят и остальные горизонтальные проекции точек 2₁-6₁. Соединив прямыми линиями новые горизонтальные проекции 1₁-6₁, получают натуральную величину фигуры сечения (см. рис.4).

Рисунок 4 Вы можете посмотреть здесь.

^ Сечение цилиндра плоскостью

Рисунок 5 Вы можете посмотреть здесь.

^ Сечение пятигранной пирамиды плоскостью

Правильная пятигранная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рисунке 7.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом P_v плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по

точкам, которые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды. Натуральная величина фигуры сечения может быть найдена, например, способом совмещения.

Указание: Нахождение натуральной величины отрезка (бокового ребра пирамиды) (см. рис. 6).

Пусть требуется определить действительный вид боковых ребер пирамиды.

На комплексном чертеже (см. рис.6) ось вращения 2'S, перпендикулярная плоскости H, проведена через вершину треугольника S. Вращается вершина рёбра треугольника точка 2. После поворота, новая горизонтальная проекция ребра треугольника S 2₁ должна быть параллельна оси х. Фронтальную проекцию — точки 2₁' — вершины 2 после поворота находят, проводя вертикальную линию связи вверх до оси х из точки 2₁. Соединив точки 2₁' и S', получим на плоскости V (на виде спереди) действительную величину ребра S 2 треугольной пирамиды.

Рисунок 7 Вы можете посмотреть здесь.

^ Сечение прямого кругового конуса плоскостью

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действительный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекций. Плоскость Н заменяется новой плоскостью проекции Н₁. Чтобы получить новую горизонтальную проекцию какой-либо точки проекции эллипса, например точки 2₁, из точки 2' восстанавливают перпендикуляр и откладывают на нем отрезок равный отрезку 2' - 2, т.е. расстояние n (см. рис.8).

Рисунок 8 Вы можете посмотреть здесь.

В результате пересечения геометрического тела плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением (или фигурой сечения).

В общем случае сечение представляет собой плоскую фигуру, ограниченную замкнутой линией, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

При пересечении плоскостью многогранных геометрических тел (призмы, пирамиды, параллелепипеда и т. п.) в общем случае получается замкнутая ломаная линия, состоящая из отдельных отрезков прямых линий, точки излома линии пересечения являются точками пересечения ребер многогранной фигуры плоскостью.

Если фигура представляет собой тело вращения (цилиндр, конус, шар и т. п.) или ее поверхность ограничена плавными кривыми поверхностями, линией сечения будет кривая, для построения которой необходимо определить характерные точки, расположенные на очерковых образующих, точки, удаленные на максимальное и минимальное расстояние от плоскости проекции, а также произвольные точки линии сечения. При этом чем больше точек пересечения плоскостью такой фигуры будет определено, тем правильнее будет построена линия пересечения.

Пересечение тел проецирующими плоскостями.
Построение действительной величины фигуры сечения.

При пересечении геометрических тел плоскостью проецирующего положения (т. е. перпендикулярной одной из плоскостей проекции) одна из проекций сечения изображается прямой линией, совпадающей с линейной (вырожденной) проекцией плоскости, т. е. сечение фигуры на этом виде представляет собой прямую, которая может быть параллельна какой-либо оси проекций (х, у или z), либо располагаться под наклоном к ней. Остальные проекции сечения определяют по характерным точкам пересечения плоскости с ребрами фигуры методом прямоугольного проецирования.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью частного положения грани будут пересекаться по прямым линиям, и линией пересечения будет замкнутая или незамкнутая ломаная линия. Для построения этой линии достаточно найти точки пересечения ребер с заданной плоскостью (опорные точки) и соединить их с учетом видимости.

Пример пересечения призмы плоскостью

Задача

Построить линию пересечения призмы ABCD плоскостью а (рис. 1). Определить действительную величину фигуры сечения.

Решение.

Плоскость а является фронтально-проецирующей.
Фронтальная проекция сечения вырождается в прямую 1-2-3-4, совпадающую со следом а , секущей плоскости.
Горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией основания ABCD . Профильная проекция строится по точкам.
Действительную величину сечения 1₂-2₂-З₂-4₂ определяют способом плоскопараллельного перемещения.

Пример пересечения пирамиды плоскостью

Задача

Построить линию пересечения пирамиды плоскостью а (рис. 2). Определить действительную величину сечения.

Решение

Т. к. плоскость а фронтально-проецирующая, то не требуется дополнительных построений. Фронтальный след плоскости совпадает с фронтальной проекцией сечения.
На пересечении ребер с фронтальным следом плоскости находим точки 7…4, линии сечения.
По точкам 7, 2, 3 и 4 на ребрах пирамиды строим горизонтальную и профильную линию сечения.
Действительную величину сечения 7-2-3-4 определяем способом замены плоскостей проекций.
Порядок построения показан на рис. 2. Фигура 1-4 и есть действительная величина сечения.
Выполняем третью проекцию по координатам точек вершин. Соединив полученные точки прямыми линиями, получаем третью проекцию пирамиды с линией пересечения плоскостью.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Пересечение цилиндра плоскостью

В сечении цилиндра плоскостью частного положения могут быть получены следующие линии (рис. 3):

окружность, если секущая плоскость а перпендикулярна к оси вращения;
эллипс, если секущая плоскость у не перпендикулярна и не параллельна к оси вращения;
две образующие (прямые линии), если секущая плоскость параллельна образующим или оси поверхности.

Задача

Построить линию пересечения прямого кругового цилиндра фронтально проецирующей плоскостью а (рис. 4). Определить действительную величину сечения.

Решение

Секущая плоскость а относительно оси цилиндра расположена под острым углом. В этом случае линия пересечения на поверхности цилиндра расположенная в плоскости сечения, представляет собой эллипс с центром О на оси цилиндра; большая ось эллипса равна отрезку 1₂-7₂, а малая - диаметру цилиндра.
Т. к. плоскость а пересекает верхнее основание цилиндра, сечение имеет вид плоской фигуры, ограниченной дугой эллипса и отрезком прямой АВ .
Проекция фигуры сечения на виде сверху совпадает с проекцией цилиндра. На плоскости П₁ сечение строится по координатам характерных точек, которые затем соединяются плавной кривой.

Действительная величина сечения построена с помощью способа плоскопараллельного пересечения. Проекция сечения 7,-7, располагается горизонтально и из точек проводят перпендикуляры. На пересечении с линиями, проведенными из точек 1₁-12₁ получаем точки 1-12 и АВ . Соединив их последовательно, получаем действительную величину сечения.

Пересечение прямого кругового конуса плоскостью

Поверхность прямого кругового конуса является носителем кривых второго порядка - окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и могут быть получены в результате пересечения конической поверхности плоскостью. Чтобы получить ту или иную кривую второго порядка, необходимы условия, которые могут быть установлены из свойств этих кривых.

Чтобы получить в сечении получился эллипс, плоскость должна пересекать все образующие конической поверхности. В частном случае, когда диаметры равны (секущая плоскость перпендикуляра оси конической поверхности), в сечении получается окружность (рис. 5, а).

Чтобы в сечении получить параболу, секущая плоскость должна быть параллельна одной из образующих конуса. В пределе, когда секущая плоскость переходит в касательную, две симметричные дуги параболы преобразуются в две совпадающие прямые (рис. 5, б).

Гипербола в сечении получается, если секущая плоскость параллельна двум прямолинейным образующим конуса.
В частном случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, гипербола распадается на две пересекающиеся прямые (рис. 5, в).

Пример построения действительной фигуры сечения и линии пересечения конуса плоскостью показан на рис. 6.

Читайте также:

Сечение геометрических тел плоскостью конспект

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая тетрадь "Геометрические фигуры на плоскости"

Рабочая тетрадь по теме: "Геометрические фигуры на плоскости"

Интерактивная презентация "Геометрические фигуры на плоскости"

Построение сечений геометрических фигур

Методические рекомендации по развитию пространственного мышления учащихся 8 классов, посредством решения геометрических задач на плоскости.

Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве.

Доступные файлы (6):

Сечение геометрических тел плоскостями.docx

Пересечение тел проецирующими плоскостями. Построение действительной величины фигуры сечения.

Пересечение многогранников плоскостью

Пример пересечения призмы плоскостью

Задача

Решение.

Пример пересечения пирамиды плоскостью

Задача

Решение

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Пересечение цилиндра плоскостью

Задача

Решение

Пересечение прямого кругового конуса плоскостью

Пересечение тел проецирующими плоскостями.
Построение действительной величины фигуры сечения.