Решение задач по теме движение 9 класс конспект
Обновлено: 07.07.2024
Конспект
Разберём решение нескольких задач на движение.
Задача 1.
Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС с вершинами А (–1; 2),
В (5; –1), С (2; –3) относительно точки О (3; 1). Найдите координаты вершин А1, В1 и С1.
Решение.
1) Точки А и А1 задают вектор параллельного переноса. Найдём его координаты.
(AA1) ⃗- вектор параллельного переноса.
(AA1) ⃗ (xA1) - xA; yA1) - yA),
(AA1) ⃗ (5; 2).
2) Зная координаты вектора переноса и координаты точки В, найдём координаты её образа – точки В1.
xB1 = xB + xAA1 ⃗;
xB1 = 3 + 5 = 8;
yB1 = yB + yAA1 ⃗;
yB1 = -1 + 2 = 1.
Ответ: В1 (8; 1).
Задача 3.
Окружность задана уравнением (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 16. Она повёрнута на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А (4; –1). Напишите уравнение полученной окружности.
Решение.
1) Центром заданной окружности является точка О с координатами (3; –2); радиус окружности равен 4.
На координатной плоскости изобразим данную окружность и определим, в какую точку отобразится центр окружность при заданном повороте.
Центр данной окружности – точка О при повороте на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А отобразится в точку О1 : О (3; –2) → О1 (5; –2).
2) Так как поворот является движением, то есть расстояние между точками сохраняется, то радиус заданной окружности и её образа одинаковый.
R = R1 = 4.
3) Зная координаты центра и радиус, можно записать уравнение полученной окружности.
О1 (5; –2) – центр окружности, R1 = 4 – радиус окружности.
Уравнение окружности: (x - 5) 2 + (y + 2) 2 = 16.
Ответ: (x - 5) 2 + (y + 2) 2 = 16.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
-развитие умения решать задачи с применением движения, внимания, образного мышления, смекалки, сообразительности, математической речи учащихся.
- воспитание коллективизма, чувства ответственности за порученное дело.
Предметные: знать теоретический материал, уметь применять его при решении задач
Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.
Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки; выбирать вид графической модели. Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.
Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков.
1.Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
Устный опрос учащихся
1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.
2. Докажите, что параллельный перенос является движением.
3. Что такое движение плоскости?
4. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.
5. На какую фигуру отображается при движении отрезок?
6. Докажите, что центральная симметрия является движением.
7. На какую фигуру отображается при движении треугольник?
8. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.
9. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром симметрии. Докажите, что АВСD – параллелограмм.
3. Обобщение знаний учащихся
Поскольку точки А и В отображаются на себя, то и прямая АВ отображается на себя. Пусть М – произвольная точка прямой АВ. Она отображается в некоторую точку М1, также лежащую на прямой АВ. По определению движения АМ = АМ1, ВМ = ВМ1. Допустим, что точка М1 не совпадает с точкой М. Тогда из первого равенства следует, что точка А – середина отрезка ММ1, а из второго равенства, что точка В также середина отрезка ММ1. Значит, точки А и В совпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точки М и М1 совпадают. Итак, любая точка прямой АВ отображается на себя.
Пусть g – данное движение, а е – тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольника АВС отображается на себя. Ясно, что е – движение, поэтому согласно задаче № 1155 движения g и е совпадают, и, значит, движение g является тождественным отображением плоскости на себя.
Рассмотрим поворот вокруг точки О на 120° в направлении обхода по дуге АВС от точки А к точке С. Так как АОВ = ВОС = СОА = 120° и ОА = ОВ = ОС, то при этом повороте точка А отображается в точку В, точка В – в точку С, точка С – в точку А. Аналогично при этом же повороте точки А1, В1, С1 отображаются соответственно в точки В1, С1 и А1.
Следовательно, прямая АА1 отображается на прямую ВВ1, прямая ВВ1 – на прямую СС1, прямая СС1 – на прямую АА1.
Отсюда следует, что если прямая АА1 проходит через точку О, то прямые ВВ1 и СС1 также проходят через эту точку.
Если же прямая АА1 не проходит через точку О, то и прямые ВВ1 и СС1 не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольник МNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точка М пересечения отрезков АА1 и ВВ1 отображается в точку пересечения отрезков ВВ1 и СС1. Аналогично точка N отображается в точку Р пересечения отрезков СС1 и АА1, а точка Р – в точку М. Следовательно, МN = NP = PМ, то есть треугольник МNР – равносторонний.
Физкультминутка
Задания по готовым чертежам
при помощи одной прямой постройте ось симметрии равнобедренной трапеции.
Даны два параллельных отрезка, длины которых равны. Начертите точку, которая является центром поворота, когда один отрезок отображается на другой.
при раскопках древнего города нашли полуистлевший ковёр, сохранилась только его часть. Известно, что форма ковра была прямоугольной и точка А- точка пересечения его диагоналей. Восстановите размер ковра.
4.Контроль и самоконтроль знаний учащихся.
1. В трапеции АВСD боковые стороны АВ и СD равны.
1) Постройте отрезок СА1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .
2) Найдите площадь треугольника А1СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см.
2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.
5. Итог урока. Оценки.
6.Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113–117 и ответить на вопросы 1–17, с. 303–304 учебника; решить задачи карточку
Образовательная: совершенствовать знания учащихся по теме “Движение”, Показать применение преобразования “Движения” при решении геометрических и практических задач.
Развивающая: развитие умения обобщать, развитие интереса к изучаемому предмету.
Воспитательная: выработать внимание, самостоятельность при работе на уроке.
I. Орг.момент
II. Проверка домашней работы
III. Устная работа
1) Вспомнить определение преобразования движения.
2) Виды движений. К доске вызываются 4 ученика, каждый из них формулирует определение конкретного вида преобразования Движения. На доске чертится следующий кластер:
3) Повторить свойства движений.
IV. Решение задач
Задача № 1. По одну сторону от отрезка АЕ построены равносторонние треугольники АВС и СДЕ; Р – середина ВЕ, М – середина АД. Докажите, что треугольник СМР – равносторонний.
Выполним преобразование поворот вокруг точки С на угол 60 0 против часовой стрелки. Точка Е переходит в точку D, точка В – в точку А.Отрезок ВЕ переходит в отрезок DА. По свойству поворота середина ВЕ переходит в середину DА, т.е. точка Р переходит в точку М. Значит СР=СМ, и угол РСМ=60 0 . Следовательно, треугольник СМР равносторонний.
Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.
Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 0 точка С переходит в точку В, а прямая m3 в прямую m.
- На прямой m1 взять точку А.
- Повернуть прямую m3 вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 0 . Прямая m3 переходит в прямую m . Точка пересечения этих прямых есть точка В.
- Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 0 по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.
- Построить треугольник АВС.
Задача № 3 Два прямоугольных треугольника расположены так, что их медианы проведенные к гипотенузе параллельны и равны. Докажите, что угол между некоторыми катетами вдвое меньше угла между гипотенузами.
Выполним параллельный перенос на вектор . При этом переносе точка С—> С1,точка М —> М1.
Построим окружность с центром в точке М1 и радиуса М1А. М1 – середина гипотенузы прямоугольных треугольников® точки А, А1, С1, В1, В – лежат на этой окружности. Угол между гипотенузами АМ1А1 – центральный угол, опирающийся на дугу АА1, угол между катетами АС1А1 – также опирается на эту дугу и он вписанный. По теореме о вписанном угле 2? АС1А1=? АМ1А1
Задача № 4 (Задача на применение движения (параллельного переноса, неравенство треугольника) В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь АМNВ из деревни А в деревню В был кратчайшим? (берега реки считаются параллельными прямыми, мост строиться перпендикулярно реке).
Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе, переводящем точку М в точку N, точка А перейдет в некоторую точку А1. Тогда АМ+МN+NВ=АА1+А1N+NBАА1+А1В (неравенство треугольника), причем равенство достигается, когда точки А1, N, и В лежат на одной прямой.
Отсюда вытекает следующий способ построения . Выполним параллельный перенос точки А на вектор . Точка А переходит в точку А1. Соединив точку А1 с точкой В, получим точу Д, которая и будет точкой начала моста.
V. Подведение итогов урока
1. Вопросы на стр. 281.
2. №1176, Дополнительная задача.
Дополнительная задача: На сторонах треугольника АВС построены из вне равносторонние треугольники АВС1, ВСА1, АСВ1. Докажите, что АА1, ВВ1, СС1 равны и угол между любыми двумя отрезками равен 60 0 .
Выполним преобразование поворот вокруг точки А по часовой стрелке на угол равный 60 0 . При этом АС1® АВ, а АС® АВ1. Следовательно СС1® В1В. Следовательно, отрезки СС1 и В1В равны и угол между ними 60 0 , т.к. поворот сохраняет равенство углов.
1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.
Физика 7 класс: все формулы на трех страницах
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Ласточка летит со скоростью 36 км/ч. Какой путь она преодолеет за 0,5 ч?
Задача № 1. Конькобежец может развивать скорость до 13 м/с. За какое время он пробежит дистанцию длиной 2,6 км?
Задача № 4. Вдоль дороги навстречу друг другу летят скворец и комнатная муха. На рисунке представлены графики движения скворца (I) и мухи (II). Пользуясь графиком, определите:
1) Каковы скорости движения скворца и мухи?
2) Через сколько секунд после начала движения они встретятся?
3) Какое расстояние они пролетят до места встречи?
3. Скворец до места встречи пролетит расстояние SI = 80 м. Муха пролетит расстояние SII = 100 м — 80 м = 20 м.
Ответ: 1) скворец 20 м/с, муха 5 м/с, 2) через 4 с, 3) скворец 80 м, муха 20 м
Задача № 5. Определите среднюю скорость движения плота, если за 20 минут он переместился на 900 м. Скорость выразить в км/ч.
Ответ: Средняя скорость плота 2,7 км/ч.
Задача № 6. Стоящий на эскалаторе человек поднимается за 2 мин, а бегущий по эскалатору — за 40 с. За какое время этот человек поднимется по неподвижному эскалатору?
ОТВЕТ: 1 мин.
Решение. Стоящий на эскалаторе человек за 1 мин перемещается на половину длины эскалатора, а бегущий — перемещается на полторы длины эскалатора. Следовательно, идущий по неподвижному эскалатору человек за 1 мин перемещается как раз на длину эскалатора.
Задача № 7. Моторная лодка за 3 ч проходит расстояние от города до поселка, расположенного ниже по течению реки. Сколько времени займет обратный путь, если скорость движения лодки относительно воды в 4 раза больше скорости течения?
ОТВЕТ: 5 ч.
Решение. Обозначим скорость течения v . При движении по течению скорость лодки относительно берега равна 5v , а при движении против течения ее скорость равна 3v . Следовательно, время движения против течения в 5/3 раза больше, чем время движения по течению.
Задача № 8 (повышенной сложности). Рыбак плыл по реке на лодке, зацепил шляпой за мост, и она свалилась в воду. Через час рыбак спохватился, повернул обратно и подобрал шляпу на 4 км ниже моста. Какова скорость течения? Скорость лодки относительно воды оставалась неизменной по модулю.
ОТВЕТ: 2 км/ч.
Решение. Удобно рассматривать движение шляпы и лодки относительно воды, потому что относительно воды шляпа неподвижна, а скорость лодки, когда она плывет от шляпы и к шляпе, по модулю одна и та же — так, как это было бы в озере. Следовательно, после поворота рыбак плыл к шляпе тоже 1 ч, т. е. он подобрал шляпу через 2 ч после того, как уронил ее. По условию за это время шляпа проплыла по течению 4 км, откуда следует, что скорость течения 2 км/ч.
Задача № 9 (олимпиадного уровня). Из городов А и Б навстречу друг другу по прямому шоссе одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого 10 км/ч, скорость второго 15 км/ч. Одновременно с велосипедистами из города А вылетела ласточка. Она долетает до второго велосипедиста, разворачивается, Долетает до первого велосипедиста и летает так между ними до тех пор, пока велосипедисты не встретятся. Какой путь пролетела ласточка, если скорость ее движения 50 км/ч, а расстояние между городами 100 км? Временем разворота ласточки можно пренебречь.
ОТВЕТ: 200 км.
Решение. Расстояние между велосипедистами каждый час уменьшается на 25 км. Поскольку начальное расстояние между ними 100 км, они встретятся через 4 ч. Все это время ласточка будет летать со скоростью 50 км/ч, следовательно, ее путь составит 200 км.
Алгоритм решения задач на движение
При решении других задач прямолинейного равномерного движения в общем виде нужно придерживаться следующего алгоритма: 1) выбрать систему отсчёта; 2-3) определить начальные координаты и значения скоростей движения тел в этой системе отсчёта; 4) записать зависимости координат тел от времени; 5) записать в виде уравнения условие задачи; 6) объединить уравнения; 7) решить эти уравнения; 8) провести анализ полученного результата (после чего выяснить, имеет ли полученный результат физический смысл); 9) если в условии задачи даны числовые значения, необходимо подставить их в полученное выражение и получить числовой ответ.
Анализ полученного результата заключается в исследовании зависимости искомой величины от входящих в ответ величин.
Не стоит забывать и про направление движения в зависимости от типа задачи (встреча, погоня, обгон, отставание)
Читайте также: