Решение прикладных задач на сложные проценты конспект

Обновлено: 05.07.2024

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов

B = A(1 +	P	) n
	100%

где B - будущая стоимость;
A - текущая стоимость;
P - процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, . );
n - количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов

Примеры решения задач на вычисление сложных процентов

Найти прибыль от 30000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Решение: Используем формулу для вычисления сложных процентов:

B = 30000(1 +	10%	) 3 = 30000 · 1.1 3 = 39930
	100%

прибыль равна
39930 - 30000 = 9930

Ответ: прибыль 9930 рублей.

Зная что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти эквивалентную ей месячную процентную ставку.

Решение:
Если положить в банк A рублей, то черех год получим:

B = A(1 +	12%	)
	100%

Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х, то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев)

B = A(1 +	x	) 12
	100%

Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку

A(1 +	12%	) = A(1 +	x	) 12
	100%		100%

1.12 = (1 +	x	) 12
	100%

x = ( 12 √

Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.

N.B. Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.

В банк на депозит на 3 года положили 30000 рублей под 10% годовых. а) Найдите насколько прибыльнее был бы вариант, когда годовой доход добавлять к счету, на который в будут начисляться проценты, чем вариант, когда проценты каждый год забираются клиентом? б) Какая будет разница через 10 лет?

а) Для первого случая используем формулу для вычисления сложных процентов:

30000(1 +	10%	) 3 = 30000 · 1.1 3 = 39930
	100%

прибыль в этом случае равна
39930 - 30000 = 9930
Во втором случае годовой доход будет равен

30000 ·	10%	= 3000
	100%

соответственно прибыль за три года будет равна
3000 · 3 = 9000
Первый метод будет выгоднее второго на
9930 - 9000 = 930 рублей

б) Для первого случая используем формулу для вычисления сложных процентов:

Цель урока: обобщить и углубить знания, необходимые для решения широкого круга практических задач на процентные вычисления.

Задачи:
1. Образовательные:

- повторение методов решения задач на проценты базового уровня сложности,

- развитие самостоятельности и логического мышления, речевой культуры,

–интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку в современном обществе.

- привитие интереса к математике, умения рассуждать и добиваться результата, оценивать свой потенциал.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карточка с задачами, плакаты для оформления аудитории.

- Добрый день, ребята!

- Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

II. Мотивация учебной деятельности и постановка целей урока.

- На моем столе лежат предметы: шариковая ручка, флакон шампуня, футболка. Подумайте, какое математическое понятие может объединить эти предметы? ( учащиеся предлагают свои варианты, но они не соответствуют теме урока ).

- СЛАЙД 2. Сегодня на уроке речь пойдет о простых и сложных процентах.

- Как вы считаете, почему для этого урока я выбрала именно проценты? ( они встречаются в ЕГЭ, проценты часто встречаются в жизни и т.д. )

- Откройте тетради. Подпишите число и тему урока.

III. Актуализация знаний.

- Перед тем, как приступить к изучению нового материала, необходимо немного повторить СЛАЙД 3 .

А) Шариковая ручка стоит 50 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 200 рублей после повышения цены на 10%? ( 3 шт. )

Б) Флакон шампуня стоит 160 рублей. Сколько будет стоить флакон, если скидка выходного дня составит 25%? ( 120 руб. )

В) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 600 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку? ( 25% )

IV . Целеполагание, постановка проблемы.

- Рассмотрите решение задачи, представленное в табличной форме ( плакат ).

- Какой вклад наиболее выгоден Гражданину N?

- Чем отличаются вклады? ( сумма вклада в банке В. увеличивается быстрее )

- Чем обусловлено такое быстрое увеличение суммы? ( процентная ставка исчисляется не от суммы на момент открытия вклада, а от накопленной суммы )

- При применении простых процентов доход каждый раз рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств и добавляется к сумме, накопленной на конец текущего года, независимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках. Принцип расчета по простым процентам – арифметическая прогрессия.

- При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом процент каждый раз исчисляется от суммы накопления на предыдущем этапе. В этом случае используются начисления “процент на процент”. Сложные проценты начисляются на постоянно растущую основу и используются при долговременных вкладах. Принцип расчета при сложных процентах - геометрическая прогрессия.

- Будет ли удобен такой способ ежегодных расчетов, что представлен в задаче 1 в виде таблицы, если потребуется узнать сумму вклада по истечении 10, 15, 20 лет? ( нет, не удобен )

- Каким образом можно ускорить процесс расчетов? ( вывести формулы ).

- А сейчас ненадолго прервемся. На доске у меня изображен отрезок, начало которого соответствует 0%, а конец – 100%. Отметьте на отрезке точкой настроение и готовность работать дальше.

VI. Решение проблемы

- Приступим к выводу формул.

- Вначале введем буквенные обозначения ( плакат ):

А 0 – первоначальное значение величины,

р – количество процентов,

n – количество расчетных периодов,

А n – конечное значение величины.

К доске поочередно приглашаются 2 ученика для вывода формул простых и сложных процентов.

Здравствуйте, Дорогие Друзья! В этой статье мы рассмотрим некоторые задачи на проценты.

Задачи на проценты.

Здравствуйте, Дорогие Друзья! В этой статье мы рассмотрим некоторые задачи на проценты. Вообще, как показывает статистика, при сдаче ЕГЭ по математике, представленные задачи трудностей не вызывают, их решают 9 из 10 выпускников. Возникает вопрос: всё же, в каких задачах допускаются ошибки? Как правило это задачи на проценты.

1% – это одна сотая часть, записывается как 1/100.

2% – это две сотых, записывается как 2/100.

Значит 56% – это пятьдесят шесть сотых и так любой процент.

Например, 10% это 10/100 = 0,1 от какой-либо величины

Например, если выразить в долевом отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма. Части (доли) могут быть представлены не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной, например: 0,25; 0,6; 0,05; 0,56.

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь (часть) умножить на это число.

Задачи на проценты решаются путём составления пропорции. Напомним, что пропорция — это равенство вида:это разная форма записи.

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть то есть

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу. Например, из пропорции:

Записываем х, ставим знак равенства, далее дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от х.

Название этого правила исходит от пересечения диагоналей, они образуют крест:

Кроме того, можно обойтись без этого правила, и решать пропорцию как простое линейное уравнение (имеем право умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число):

Как видим результат тот же. Или такую пропорцию:

Для решения используйте тот способ, который вам удобен. Чтобы составить пропорцию при решении задач на проценты, необходимо установить некоторое соответствие между процентами и количеством чего-либо (рубли, детали, шубы, изделия и т.п.). По рассмотренным примерам вы поймёте, что это значит.

Запомним важное правило:

За 100% принимается та величина,

с которой мы сравниваем

Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Обратите внимание, что 3025 рублей это цена, после повышения на 21%. При составлении пропорции мы запишем: 3025 это 121%, а стоимость до повышения примем за 100% (помните правило – за 100% процентов принимаем величину, с которой сравниваем).

3025 рубля - 121%

х рублей - 100%

Значит, до повышения цены чайник стоил 2500 рублей. Для достоверности сделаем проверку.

То есть решим обратную задачу: чайник стоит 2500 рублей, цена повысилась на 21%. Какова его стоимость после повышения?

Составляем пропорцию, 2500 рублей принимаем за 100%, х рублей принимаем за 121% (цена, повышенная на 21%):

2500 рублей - 100%

х рублей - 121%

Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Определим, сколько процентов от 1200 рублей составляет сниженная цена. 1200 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%, 972 рубля это х %. Составляем пропорцию:

1200 рублей - 100%

972 рубля - х %

То есть 972 это 81% от 1200 рублей.

Значит, цена снизилась на 100-81=19%.

В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Получили, что в городе 37500 детей и подростков. Следовательно, взрослых в городе 250000-37500=212500 человек.

Среди взрослых 35% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число не работающих взрослых жителей равно 35% от 212500, составляем пропорцию:

Значит, число работающих взрослых составляет 212500-74375=138125 человек. При решении данного типа задач будьте внимательны, есть соблазн записать промежуточный результат, например, 74375. Внимательно читайте условие, и не теряйте из виду, что необходимо найти.

Клиент взял в банке кредит 3000 рублей на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Определим, сколько всего должен выплатить клиент, к сумме 3000 прибавим 12% от 3000 рублей:

Вы можете сначала составить пропорцию, найти 12% от 3000, а затем сложить. Ещё раз повторюсь, решайте так, как вам удобнее и понятнее.

Теперь определим, сколько клиент будет выплачивать в месяц:

Ответ: 280

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 10000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Составляем пропорцию и находим 13% от 10000 рублей:

10000 рублей - 100%

х рублей - 13

Иван Кузьмич получит после вычета: 10000 -1300=8700 рублей.

Педагогические технологии служат инструментом реализации этих трех уровней образования.

Одной из предметно-ориентированных технологий, построенных на основе дидактического усовершенствования и реконструирования учебного материала, является технология обучения на основе решения задач. Как сказал известный мыслитель Д.Пойа, “Чтобы научиться решать задачи, надо их решать”, при всей важности каждой отдельной задачи целостность образовательного процесса обеспечивается всем множеством задач по каждой теме, которые должны образовать систему.

Системой задач называется совокупность задач к блоку уроков по изучаемой теме, удовлетворяющая ряду требований.

Наличие задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные.

Наличие ключевых задач

Группировка задач в узлы вокруг объединяющих центров – задач, в которых рассматриваются факты или способы деятельности, применяемые при решении других задач и имеющие принципиальное значение для усвоения предметного содержания.

Возрастание трудности в каждом уровне.

Система состоит из трех подсистем, соответствующих минимальному, общему и продвинутому уровням планируемого результата обучения.

Для каждой задачи определено ее место и назначение в блоке уроков.

Достаточно задач для тренажа в классе, дома, задач для закрепления, задач для индивидуальных, групповых работ, задач разной направленности, задач для самостоятельного решения, (в том числе исследовательского), задач для текущего, итогового контроля и т. д.

Система задач – основной ресурс учителя для реализации эффективного образовательного процесса. От качества этого ресурса более чем наполовину зависит успех ученика при изучении курса. Остальные составляющие успеха – в организации деятельности учащихся и управлении этой деятельностью.

В системе учебных занятий особое значение имеют нетрадиционно построенные урок – лекция, уроки решения ключевых задач (вычисление минимального числа основных задач по теме, решение задач различными методами, решение системы задач, проверка решения задач учениками, самостоятельное составление задач), уроки – консультации (вопросы учащихся по заранее заготовленным карточкам, анализ, обобщение, дополнение карточек); зачетные уроки (выполнение индивидуального задания, коррекция в паре до полного понимания, выставление трех оценок – за ответ по теории, за решение задачи с карточки, за ведение тетради, мотивация оценок.)

Полезно параллельно рассматривать классические приёмы решения задач. Тогда у учащихся формируется целостное представление о способах решения задач данного типа. На этапе закрепления темы можно решать задачи по группам.

Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя соседними столами. Они обсуждают решение задачи, которая записана на карточке. Карточка выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает карточки с одинаковыми задачами; различных задач 4. Задача считается решённой, если все члены группы сделали в своих тетрадях схему, записали исходные данные и решение задачи. Из такой группы учитель вызывает ученика, который оформляет решение задачи на доске. Итак, от каждой группы, где решена задача, отличная от той, что уже выполняется на доске. Группа, решившая свою задачу, получают новую карточку, с дополнительными задачами. А затем подключаются к решению задач, которые начали делать на доске представители других групп. Последние 4-5 минуты урока отводятся для разбора записанных задач. Учитель может поставить оценки ученикам, которые решали задачи у доски, и их группам или проверить тетради у двух-трёх групп по своему выбору.

Правильно подобранные технологии позволяют реализовать принцип гуманитаризации образования, дающий необходимые знания для адаптивного взаимодействия с окружающей социальной средой и обеспечивают развитие всех сфер личности, формируют у нее основы саморазвивающей деятельности.

Предлогаю открытый урок, который можно провести в 9-11 классах, где изучается тема “Сложные проценты”, материал урока соответствует продвинутому уровню планируемого результата обучения.

Актуальность темы.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. В IX классе завершается линия процентных вычислений темой “Простые и сложные проценты”, включенной в изучение главы “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Но в учебнике не водится формулы простых и сложных процентов и мало задач на эту тему. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия “процент”, на умение находить процент от числа, что обычно вызывает затруднения при решении задач на сложные проценты. Более рациональное решение задачи достигается с помощью формул “сложных процентов”.

Текстовые задачи на проценты включены в материалы в государственную итоговую аттестацию за курс основной школы, в КИМы ГИА и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Предлагаемый урок демонстрируют учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно - научному и социально- экономическому профилю. Можно провести еще несколько уроков для закрепления темы, решения текстовых задач на проценты.

Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков вычислений сложных процентов, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

обучение решению задач на проценты с помощью формул “сложных процентов”, обобщение методов решения задач проценты; научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели; формирование умений решать задачи повышенной сложности;

знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов; производить прикидку и оценку результатов вычислений; при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;

развитие логического мышления, умений работать в группе, навыков решения экономических задач на проценты;

воспитание у учащихся потребности в новых знаниях и творческой деятельности, привитие любви к процессу обучения.

Тип урока: уроки решения ключевых задач.

Оборудование: ЦОР “Устный счет по теме “Проценты”, презентация к теме “Сложные проценты”, таблица “Процент числа”, карточки с заданиями, интерактивная доска, компьютер, калькулятор.

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Цель: ознакомить учащихся с темой и задачей урока, актуальность изучаемого материала, формирование учебной мотивации.

II этап. Повторение (5 мин)

Цель: повторение прежних знаний и навыков по теме “Проценты”.

1) Устный опрос.

а) Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа)

б) Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)

в) Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.) Гектара? (ар или сотый)

г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01•а, т.е. 1% (а) = 0,01*а )

д) Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01•р•а, т.е. р% = 0,01*р*а )

е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01)

ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т.е. а(%)=(в/х)*100)

д) Как находится число по его проценту ? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100)

2) Устный счет.

Представьте данные десятичные дроби в процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.

Найдите % от числа:

в) 0,1% от числа 1200? (1,2)

г) 15% от числа 2? (0,30)

Найдите число по его проценту:

д) Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)

в) Сколько процентов от 10 составляет 9?

Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?

III этап: Формирование новых знаний и навыков. (15 мин)

Цель: ознакомление с формулами “сложных процентов” и формирование навыков применения формул при решении задач.

Тема. Простые и сложные проценты. (Лекция + Презентация)

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (т.е. используются начисления “процентов на проценты”)

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Тема: Решение задач на сложные проценты, дисконтирование, аннуитеты и др.

1 ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

Задача 9

Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды - 20 тыс. руб. Простая ставка - 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя из:

в) германской практик определения процентов.

Решение:

Используем формулу наращения для простых процентов:

где Р – первоначальная сумма ссуды;

i – ставка простых процентов;

1) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика):

K=365 (дней) – количество дней в году;

t – количество дней, за которые начисляются проценты;

15 марта – порядковый номер в году – 74;

5 июля – порядковый номер в году – 186.

Точное число дней ссуды:

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика):

K=365 (дней) – количество дней в году;

T=112 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика):

K=365 (дней) – количество дней в году;

t – количество дней, за которые начисляются проценты;

Рассчитаем приближенное число дней ссуды t. Продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому месяц принимается за 30 дней:

15.03 – 30.03 – 16 дней;

апрель, май, июнь – по 30 дней;

1.07 – 5.07 – 5 дней.

Ответ: совокупный доход за период при начислении процентов по английской практике составит 20920 руб., при использовании французской практики начисления процентов – 20933 руб., а при начислении процентов по германской практике совокупный доход за данный период составит 20917 руб.

Задача 19

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает доход в 6 тыс. руб., если сумма в 10 тыс. руб. выдается в ссуду на полгода.

Решение:

Величина учетной ставки:

где Р – первоначальная сумма;

S – наращенная сумма;

n – срок ссуды (лет).

Ответ: учетная ставка в размере 75% обеспечит доход в 6 тыс. руб., если сумма в 10 тыс. руб. выдана в ссуду на полгода.

2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Задача 9

На сберегательном счете в банке лежат 200 руб. Какая сумма будет находиться на данном счете через три года, если в расчетах используется сложная ставка 12% годовых?

Решение:

Используем формулу наращения для сложных процентов:

где S – наращенная сумма;

Р – первоначальная сумма долга;

i – ставка сложных процентов;

Наращенная сумма через 3 года составит:

Ответ: на данном счете через три года будет находиться 280,98 рублей.

Задача 19

Вексель 300 тыс. долл. учитывается за 2 года до погашения по сложной учетной ставке 10 % годовых. Найти сумму, полученную векселедержателем, и величину дисконта.

Решение:

Полученная при учете векселя сумма определяется по формуле:

где S – номинальная стоимость векселя;

n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

(1-nd) - дисконтный множитель.

P=300*(1-0.1)2=243 тыс. руб.

Размер дисконта определяется по формуле:

Ответ: векселедержатель при учете векселя получит 243 тыс. руб., сумма дисконта составит 57 тыс. рублей.

3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

Задача 9

Вексель номинальной стоимостью 5 млн. руб. учтен за 15 дней до срока погашения по учетной ставке 18% годовых. Определить дисконт и дисконтированную величину.

Решение:

Полученная при учете векселя сумма определяется по формуле:

где S – номинальная стоимость векселя;

n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

(1-nd) - дисконтный множитель.

D=5-4.9625=0,0375 млн. руб.

Ответ: Дисконтируемая величина векселя составила 4 962,5 тыс. руб., а величина дисконта 37,5 тыс. руб.

Задача 19

Долговое обязательство в сумме 2 млн. руб. должно быть погашено через 90 дней с процентами (12% годовых). Владелец обязательства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 13%. Определить сумму после учета обязательства.

Решение:

Сумма, выплачиваемая при учете обязательства с начислением простых процентов, определяется по формуле:

где Р – первоначальная сумма ссуды;

i – ставка простых процентов;

d – простая учетная ставка;

t₁ – общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов);

t₂ – срок от момента учета обязательства до даты погашения долга.

Сумма, полученная при учете, будет равна:

Ответ: При учете долгового обязательства получена сумма в размере 1 930 309 руб.

4 ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ

Задача 9

Облигация номиналом 10 тыс. руб. выпушена на 3 года при номинальной ставке 6%. Рассчитать эффективную учетную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в квартал.

Решение:

Эффективная учетная ставка определяется по формуле:

где f – номинальная учетная ставка;

m – число периодов начисления процентов в году.

Эффективная учетная ставка при ежеквартальном начислении процентов составит:

Наращенная сумма в случае применения учетной ставки рассчитывается по формуле:

где P – номинальная стоимость облигации;

n – число лет начисления процентов;

d – учетная ставка процентов.

Ответ: эффективная учетная ставка составит 5,87%, а наращенная стоимость облигации будет равна 11 990 рублей.

Задача 19

Эффективная ставка при полугодовом начислении процентов составила 18%. Найти годовую номинальную учетную ставку.

Решение:

Эффективная учетная ставка определяется по формуле:

где d – эффективная учетная ставка;

f – номинальная учетная ставка;

m – число периодов начисления процентов в году.

Выразим из формулы номинальную учетную ставку:

Ответ: годовая номинальная учетная ставка составит 18,89%.

5 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ

Задача 9

Первые два года начисляются сложные проценты по ставке 20%, вторые три года - 30 %, следующий год - 40 %. Найти среднегодовую процентную ставку.

Решение:

В случае сложных процентов среднегодовая процентная ставка определяется по формуле средней гармонической взвешенной:

Ответ: среднегодовая процентная ставка за данный период составляет 28,15%.

Задача 19

Необходимо найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 40% (К=365) при условии, что срок учета равен 255 дням.

Решение:

Уравнение эквивалентности ставки простых процентов и учетной ставки имеет вид:

где d – учетная ставка процентов;

i – годовая ставка простых процентов;

Ответ: годовой процентной ставке 40% эквивалента учетная ставка в размере 30,84%.

6 РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

Задача 9

Кредит 12 тыс. руб. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.

Решение:

Ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию, определяется по формуле:

где i_α – процентная ставка, учитывающая инфляцию;

i – реальная ставка процентов;

Ставка процентов, учитывающая инфляцию, составит:

Наращенная сумма долга в случае сложных процентов:

где Р – первоначальная сумма кредита;

i_α – ставка при выдаче кредита (процентная ставка, учитывающая инфляцию);

n – срок кредита.

Ответ: ставка процентов при выдаче кредита составит 45,67%, а сумма долга через 3 года будет равна 37 085 рублей.

Задача 19

Найти реальный доход вкладчика, если на депозит положено 25 млн. руб. на 3 года по сложной ставке 20% годовых с ежемесячным начислением процентов при квартальной инфляции, в среднем за данный период равной 3%.

7 КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ

Задача 9

Два платежа 1 и 0,5 млн. руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Стороны согласились на применении при конверсии простой ставки, равной 20 %. Определить консолидированную сумму. К=365.

Задача 19

В банк положены 300 тыс. руб., на которые ежемесячно начисляются сложные проценты по ставке 24%. Через 4 месяца сняты 5 тыс. руб., а через 8 месяцев вклад был закрыт. Какая сумма была на счете в момент закрытия вклада (решить задачу при помощи дисконтирования)?

8 АННУИТЕТЫ (ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ)

Задача 9

Страховая компания, заключившая договор с производственной фирмой на 3 года, поступающие ежегодные страховые взносы – 5 млн. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определить сумму, полученную страховой компанией по этому контракту.

Задача 19

Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом 1000 долл. на ренту с полугодовым платежом по 600 долл. Годовая ставка процентов 8%. n - ?

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Задачи на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Задачи для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Если Задача, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Читайте также: