Развитие понятия о числе конспект

Обновлено: 05.07.2024

Число – одно из основных понятий математики, возникшее еще до нашей эры в связи с потребностями счета предметов. N – множество натуральных чисел. Исторически примерно одновременно возникли понятия натуральных и положительных рациональных чисел. В системе натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания.

Намного позже люди пришли к понятию отрицательного числа. Необходимость введения этого понятия связана с исследованием величин, которые меняются в двух направлениях: температура, уровень реки, доходы и убытки и т.д. Отрицательные числа стали широко применяться в математике с XVII века в связи с введением метода координат. В Европе отрицательные числа ввел в употребление в XVII в. французский ученый Декарт.

Целые числа – это объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным и числа ноль. Z – множество целых чисел. В нем выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления.

Все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, и число ноль образуют множество рациональных чисел Q.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, а также в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Но, существуют операции, которые не всегда выполнимы на множестве рациональных чисел. Например, извлечение корня из положительного числа. Поэтому рациональные числа были дополнены новыми числами – иррациональными -– бесконечные непериодические десятичные дроби .

Самостоятельная работа № 2

Комплексные числа. История открытия комплексных чисел.

Мы никогда не стали разумными, если бы исключили число

из человеческой природы. Платон.

Цель: Развитие интереса к предмету.

Форма: создание презентации по заявленной теме.

Самостоятельная работа №3.

Арифметические операции над комплексными числами.

Цель: Знать форму записи комплексных чисел и уметь выполнять действия над к.ч.

Рассмотрим квадратное уравнение x 2 = – 1. Оно на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Мы пришли к введению понятия мнимой единицы i = . . Т.е. множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел за счет мнимой единицы.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1 .

Степени мнимой единицы.

Чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени n разделить на 4 .

Если остаток равен 0, то значение степени равно 1.

Если остаток равен 1, то значение степени равно i .

Если остаток равен 2, то значение степени равно -1..

Если остаток равен 3, то значение степени равно – i ..

Пример: найти i 28 , i 33 , i 135 .

Имеем 28=4 * 7 (нет остатка), 33 = 4 * 8 + 1, 135 = 4 * 33 + 3.

Соответственно получаем i 28 = 1, i 33 = i , i 135 = - I .

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b - действительные числа.

При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) i .

в) Вычитание комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) = (a 1 - a 2 ) + (b 1 - b 2 ) i .

г) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 - a 2 b 1 ) i .

д) Деление комплексных чисел определяется правилом:

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Используя методические рекомендации, выполните задания:

1. i 66 ; i 143 ; i 216 ; i 137 .
2. i 43 + i 48 + i 44 + i 45 .
3. ( i 36 + i 17 ) i 23 .
4. ( i 133 + i 115 + i 200 + i 142 )( i 17 + i 36 ).
5. i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 .
6. ( i 13 + i 14 + i 15 ) i 32 .
7. ( i 64 + i 17 + i 13 + i 82 )( i 72 – i 34 ).

8. (3 + 5 i ) + (7 – 2 i ). 9 . (6 + 2 i ) + (5 + 3 i )

10. (– 2 + 3 i ) + (7 – 2 i ). 11. (5 – 4 i ) + (6 + 2 i ).
12. (3 – 2 i ) + (5 + i ). 13. (4 + 2 i ) + (– 3 + 2 i ).
14. (– 5 + 2 i ) + (5 + 2 i ). 15 . (– 3 – 5 i ) + (7 – 2 i )

16. (2 + 3 i )(5 – 7 i ). 17 . (6 + 4 i )(5 + 2 i ).
18. (3 – 2 i )(7 – i ). 19 . (– 2 + 3 i )(3 + 5 i ).

Материал содержит конспект урока по дисциплине "Математика" для учащи хся 1-го курса колледжа.

Урок №1. В теоретической части раскрывается представление о математике в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности,

доводятся цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования

Вложение	Размер
Урок №1. Введение	47.51 КБ

Предварительный просмотр:

ТЕМА 1 РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

Разработчик: преподаватель 1 категории Н.В.Васильева

Урок № 1. ВВЕДЕНИЕ

Аудиторное теоретическое занятие

- сформировать основные представления о предмете;

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Задачи:
1. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

I. Организационный момент.

II. Новая тема:
"Введение"
1.Теоретическая часть.

III. Итог.
1. По вопросам.

I. Организационный момент.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Что такое математика.

При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. В жизни же, наоборот, их количество очень велико, а отношения между ними достаточно размыты.

Первоначально математика брала, например, такие объекты из окружающей действительности, как числа и геометрические фигуры. В отличие от физики эта точная наука изучает закономерности отношений, не зависящие от физического устройства этого мира. В ней утверждается, что из одних отношений объектов могут быть логически выведены другие отношения между ними. Начальные свойства и способы логического вывода человек берет из жизни, воспроизводя разные ситуации с реальными объектами или представляя их умозрительно и обращаясь к своему опыту. Далее он использует только специально сформулированные понятия, образы, в том числе рисунки и правила вывода одних утверждений из других. Мышление, оторванное от понятий, доступных органам чувств, можно назвать абстрактным. Преобразование информации по четко определенным законам и без ошибок можно назвать строгим. Выводы, сделанные математикой, будут правильны в жизни, если исходная информация была верна. Другим путем, кроме как с помощью строгого абстрактного математического подхода, в сложных явлениях реального мира, особенно в технике, где много логических связей, зачастую нельзя получить точную информацию.

После четкой формулировки исходных свойств объектов и способа вывода из одних свойств других, процесс вывода можно формализовать, то есть свести к механическим преобразованиям информации. Но, чтобы решать задачи, нужен алгоритм, совершающий эти преобразования наиболее эффективным путем. Математик, в основном, обладает этим методом наиболее быстрого решения задач, но его алгоритм не формализован и в большой степени основан на методах и рефлексах, заложенных от природы или выработанных в процессе реальной жизни. Поэтому составление такого алгоритма - задача нетривиальная.

Зачем она нужна:

1. Для прикладных нужд: техники, физики, химии, биологии, программирования и т.д. Кроме того, одни области математики нужны для других.

2. Для знания, точного установления фактов, чтобы было меньше неизвестного, неясного и чтобы все могли пользоваться этими знаниями. Для воспитания дисциплины мышления и мыслительных способностей. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, так как эта наука уже абстрактна и строга, кроме того, исходная информация математической задачи доступна, ограничена и неизменна в отличие от ситуации в жизни.

3. Для получения такого же удовлетворения, как от игры или любого интересного дела. Математика привлекательна в этом отношении своей содержательностью, сложностью, строгостью построений, общностью выводов, простотой и неожиданностью результатов.

Как ей заниматься:

1. Формировать способность удерживать в голове образы, оперировать с ними - находить взаимосвязи, производить изменение этих объектов - добавлять и убирать объекты, менять их положение. То есть в голове создается картинка, которую человек рассматривает, в этом и заключается процесс мышления. Она может начать расплываться в силу несовершенства внимания человека.

2. Формировать языки определяемых понятий, слов и словосочетаний их обозначающих; символьные языки - формул и высказываний, язык образов, рисунков, наиболее эффективные для исследуемой области математики. Понятно, что определяемые понятия должны быть строго определены, непротиворечивы, часто применимы к изучаемым объектам, в их терминах формулировка свойств должна упрощаться. Их словесные названия и связывающие словосочетания (например, “пересекающиеся прямые”) должны быть удобны для восприятия смысла. Язык символов позволяет компактно и строго производить громоздкие преобразования на бумаге. При этом меньше нагружается понятийное и образное мышление, используемое при решении задач в уме. На основе выбранных понятий, наработанных методов и доказанных теорем строится язык образов, который позволяет человеку очень быстро в уме оперировать информацией в данной области.

3. Делать эквивалентные преобразования, приводящие информацию к наиболее простому виду. Это, своего рода, процесс ее "причесывания" - обобщение, выявление сути, выбрасывание кусков, легко выводимых из остающихся данных. При преобразованиях с потерей информации оставляется самое существенное, важное, с большей вероятностью или с меньшими затратами, ведущее к результату. Полезно запомнить или записать в самом сжатом виде полученные данные, чтобы потом их можно было легко восстановить полностью. Можно также применять классификацию, чтобы сжать информацию и облегчить ее использование.

4. Четко фиксировать (на бумаге или в голове) и последовательно прорабатывать все возникающие вопросы и идеи.

5. Экономить критичные ресурсы, которыми могут быть - время, объем внимания, память, использование не развитых в данном человеке способностей. Для этого можно сначала заниматься наиболее простыми и с большей вероятностью приводящими к результату направлениями.

6. Использовать вспомогательные предметы, помогающие исследовать математические объекты - например, геометрические фигуры, механические модели, рисунки, записи на бумаге, чтобы разгрузить память и внимание. Можно воспользоваться компьютером для решения переборных задач, визуального отображения объектов, возможно, в будущем - для решения любой задачи.

7. До конца разобраться в каком-то вопросе, добиться полной строгости, чтобы потом на это опираться. На этом шаге ресурсы не экономятся, но это приводит к большой их экономии впоследствии. Часто нельзя решить задачу просто, а нужно до конца исследовать сложные объекты.

8. Использовать нечеткие образы для понятий, методов, планов дальнейшего исследования. В них могут быть неопределенные места и они, иногда, с трудом выражаются словами. Тем не менее, с этими образами не так сложно оперировать. По ходу дела они могут конкретизироваться. Мышление такими представлениями дает мощный и быстрый метод исследования.

9. Создавать новую обширную теорию для изучения какого-то одного вопроса. Она может быть сильно не похожа на исходную задачу.

10. Создавать систему теорем, способов представлений объектов, методов (алгоритмов) решения задач, теорий, позволяющих быстро решить наиболее широкий круг задач, затрачивая минимальное количество критичных ресурсов.

11. Сочетать вышеперечисленные методы, зачастую взаимоисключающие друг друга. Например, можно добиваться строгости в мелочах сразу по ходу рассуждений, полного представления в голове взаимосвязи объектов при сложной картине, развивать новые способности, новые методы и области математики, а можно производить длинную цепочку предположений, нечетко определять рассматриваемые ситуации, стараться решить задачу простыми методами, уходя от сложных операций с помощью того, что уже есть. Эти методы человек чередует в оптимальной для него последовательности. Если мышление расплывается, не удается давать четкие доказательства, то можно придумать цепочку простых задач с возрастающей сложностью и последовательно, до конца, в них разобраться.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

Математические знания призваны сыграть важную роль в процессе дальнейшего обучения. Они понадобятся для успешного изучения общетеоретических и специальных предметов специализации.

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических и технологических задач. После окончания колледжа не раз столкнетесь с необходимостью применить свои математические знания в практической деятельности.

Курс математики призван создать прочные навыки логического мышления, столь необходимые каждому специалисту.

Изучение курса математики откроет возможность усвоить основы математической науки. В результате дальнейшего совершенствования и расширения своих математических знаний в будущем можно самостоятельно изучить близкие к своей специальности математические работы отечественных и зарубежных специалистов и использовать их результаты в своей практической деятельности, а также позволит значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

В результате освоения учебной дисциплины необходимо уметь :

• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

• применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности;

В результате освоения учебной дисциплины необходимо знать :

• основы линейной алгебры и аналитической геометрии;

• основные понятия и методы дифференциального и интегрального исчисления;

• основные численные методы решения математических задач;

• решение прикладные задачи в области профессиональной деятельности

3. История алгебры

Происхождение термина "алгебра"

Происхождение самого слова "алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми . "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях.

Древнейшие сочинения по алгебре

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, трактат Диофанта, жившего в середине 4 века. В этом трактате встречается правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи.

Алгебра арабов

В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины 9-го века. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

Возрождение алгебры в Европе

Развитие алгебры в странах Европы

В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется "The Whetstone of Wit". Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x ) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар, трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и

Приобретение алгеброй законченного вида

После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг движется быстрыми шагами вперед, благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона. С этого времени также алгебра входит в более тесную связь с геометрией, после разработки Декартом аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа довели алгебру до высокой степени совершенства. Позже работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Подготовка к занятию, определение готовности к совместной деятельности, проверка наличия тетрадей и ручек.

Цель занятия: подтвердить и проверить теоретические знания по действительным числам, а также закрепить умение по преобразованию выражений содержащих модуль и решению уравнений. Критерии оценки за занятие (мотивация учебной деятельности): 1-ая оценка – домашнее задание,

2-ая оценка – Блиц опрос

3-я оценка – Контрольная работа (оценка озвучивается на следующем занятии)

Проверка знаний, необходимых для выполнения практических заданий

Проверка домашнего задания, Блиц-опрос, рефлексия, контроль. (Приложение №1 Блиц-опрос)

Инструктаж к выполнению практического задания

Разъяснение основных требований к организации практической деятельности (с помощью знака модуля задать множество точек на координатной оси, решение простейших неравенств и решение уравнений содержащих модуль)

Задание 1. Решение простейших неравенств содержащих знак модуля (решение у доски: актуализация полученных знаний на предыдущем занятии)

Задание №2. (задание обратное первому). Задать с помощью знака модуля множество точек на координатной оси (решение у доски: первый ученик изображает на координатной оси границы данного неравенства, следующий выходит и записывает полученное неравенство актуализация полученных знаний на предыдущем занятии)

Задание №3. Решение уравнений содержащих знак модуля (решение на местах). Задаем вопросы по решению уравнений.

(Приложение №2 Задания №1-3)

Подготовка к выполнению практической деятельности

Выполнение практической работы

Индивидуальный, контроль по выполнению практических действий, консультирование, оказание помощи, поддержка, рефлексия, контроль

Разработка алгоритма действий:

Внимательно прочитать задание

Проявлять активность (выход к доске) в случае знания решения задания (Задание №1-2)

Следить за решением у доски (Задание №1-2). Записать по действиям решение в тетрадь и (или) у доски. Записать полученный ответ

Решение уравнения с модулем самостоятельно и (или) с помощью педагога.

Записать полученный ответ

Самостоятельная проверка последнего задания (правильный ответ записан на доске).

Подведение итогов (I часть занятия)

Теоретические выводы: в результате выполненной работы обучающиеся проверяют и подтверждают теоретические по числам, по неравенствам и уравнениям с модулями.

Инструктаж к выполнению Контрольной работы

Разъяснение основных требований к организации контрольной работы.

Задание №1. Дать определение

Задание №2. Выполнить столбиком

Задание №3. Действие с обыкновенными дробями. Ответ записать в виде десятичной дроби. Преобразование выполнить столбиком.

Задание №4. Записать алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную дробь

Задание №5. Сложить дроби (заметим, что знаменатели у дробей одинаковые)

Задание №6. Правило сложения погрешностей

Задание №7. Сложение комплексных чисел

Задание №8. Решение уравнения с модулем

Задание №9. Правило умножения погрешностей

(Приложение №3 Задания №1-10)

Подготовка к выполнению Контрольной работы.

Выполнение Контрольной работы

Разработка алгоритма действий:

Внимательно прочитать задание

Записать по действиям решение в тетрадь

Записать полученный ответ

Сдать работу для проверки

Подведение итогов учебного занятия, Выставление оценок за выполненную работу на первой части занятия и домашнюю работу.

Домашнее задание (работа с рациональными числами, выполнение действий с дробями),

Как обозначается множество действительных чисел? Z, N, Q, R (правильный ответ подчеркнуть) R

Какие из следующих утверждений N Z, Z N, Z Q, Q Z справедливы? (правильный ответ подчеркнуть) Z Q, N Z

Каким числом является значение алгебраического выражения 1) натуральным; 2) целым; 3) рациональным; 4) иррациональным (правильный ответ подчеркнуть)

Какие элементы множества являются натуральными числами (правильный ответ подчеркнуть) 5,14

Какие элементы множества являются целыми числами (правильный ответ подчеркнуть)

Какие элементы множества являются рациональными числами (правильный ответ подчеркнуть)

Сравните пару действительных чисел 2,39748 … 2,39784 (поставить знак )

Записать общий вид комплексного числа ( )

Чему равна мнимая единица в квадрате ( )

Какая из двух точек находится на координатной прямой дальше от начальной точки 0, если эти точки имеют координаты: 4,783 и 4,793 (правильный ответ подчеркнуть)

7. 2,39748 2,39784

Решение простейших неравенств и уравнений с модулями.

Задать с помощью знака модуля множество точек координатной оси 1) (-2, 2); 2) ; 3)

Контрольная работа №1

Укажите наибольшее из чисел 0,6; 0,63;

1) 0,6 2) 0,63 3) 4)

1) 9,2 чел. 2) 92 чел. 3) 11 чел. 4) 110 чел.

3. Каким числом является значение алгебраического выражения

1) натуральным; 2) целым; 3) рациональным; 4) иррациональным.

4. Из 30 учеников класса 6 отличников. Каков процент всех учеников класса составляют отличники?

1) 6%; 2) 20%; 3) 15%; 4) 6,67%;.

5. В группе из 40 студентов 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько студентов умеют плавать и играть в шахматы?

6. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полученных в виде неравенства 37x

7. Запишите число сопряженное комплексному числу

8. Выполнить действия над комплексными числами:

а) б) (3-2i)(3+2i).

9. Найдите значение выражения и определите, какому из множеств N, Z или Q это значение принадлежит.

10. Бассейн наполняется через первую трубу за 3 часа, через вторую за 5 часов. Через сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

1) 8; 2) 1,42; 3) 1,875; 4) 2,125.

Расположите в порядке убывания числа 0, 1327; 0,014; 0,13

1)0, 1327; 0,014; 0,13 2)0, 014; 0,13; 0, 1327 3)0, 1327; 0,13; 0,014

4)0,13; 0,014; 0,1327

2. Площадь территории России составляет а США - Во сколько раз территория России больше территории США?

1) раз 2) раз 3) раза 4) раза

3. Каким числом является значение алгебраического выражения

1) натуральным; 2) целым; 3) рациональным; 4) иррациональным

4. Из 40 учеников класса 6 отличников. Каков процент всех учеников класса составляют отличники?

1) 6%; 2) 12%; 3) 15%; 4) 6,67%;.

5. В группе 35 учеников. Из них 20 занимается в математическом кружке, 11- в биологическом, 10 – не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

6. Амперметр дает точность 0,02 А. При измерении силы тока получили 10,63 А. Укажите границы этого числа.

7. Запишите число сопряженное комплексному числу

8. Выполнить действия над комплексными числами: а)

9. Найдите значение выражения и определите, какому из множеств N, Z или Q это значение принадлежит.

10. Бассейн наполняется через первую трубу за 4 часа, через вторую за 7 часов. Через сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Расположите в порядке убывания числа 0, 154; 0,015; 0,15

1)0, 154; 0,015; 0,15 2)0, 015; 0,15; 0,154 3)0, 154; 0,15; 0,015

2.Длина круговой дорожки стадиона х м. По какой формуле можно вычислить число кругов n, которые надо сделать спортсмену, чтобы пробежать s километров?

1) 2) 3) 4)

3. Каким числом является значение алгебраического выражения

1) натуральным; 2) целым; 3) рациональным; 4) иррациональным.

4. Из 40 учеников класса 2отличника. Каков процент всех учеников класса составляют отличники?

1) 6%; 2) 12%; 3) 5%; 4) 6,67%;.

5. В группе из 43 студентов 33умеют плавать, 25 умеют играть в шахматы и только четверо не умеют ни того, ни другого. Сколько студентов умеют плавать и играть в шахматы?

6. Атомная масса водорода 1,00820,0005. Укажите границы приближенных значений этой массы.

7. Запишите число сопряженное комплексному числу

8. Выполнить действия над комплексными числами: а)

9. Найдите значение выражения и определите, какому из множеств N, Z или Q это значение принадлежит.

10. . Бассейн наполняется через первую трубу за 5 часов, через вторую за 6 часов. Через сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Найдите десятичную дробь, равную

1)0, 000154 2)0, 0000154 3)0, 0154 4)0,00154

2. Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. В 100 г ягод малины в среднем содержится 28 мг витамина С. Сколько примерно процентов суточной нормы витамина С получил человек, съевший 100 г ягод малины?

1) 2,1% 2) 47% 3) 0,47% 4) 210%

3. Каким числом является значение алгебраического выражения

1) натуральным; 2) целым; 3) рациональным; 4) иррациональным.

4. Из 25 учеников класса 4 отличника. Каков процент всех учеников класса составляют отличники?

1) 16%; 2) 12%; 3) 15%; 4) 6,67%;.

5. В группе из 39 студентов 30умеют плавать, 20 умеют играть в шахматы и только четверо не умеют ни того, ни другого. Сколько студентов умеют плавать и играть в шахматы?

6. Атомная масса меди 63,440,15. Укажите границы приближенных значений этой массы.

7. Запишите число сопряженное комплексному числу

8. Выполнить действия над комплексными числами: а) б) (5+8i)(5-8i).

9. Найдите значение выражения и определите, какому из множеств N, Z или Q это значение принадлежит.

10. Бассейн наполняется через первую трубу за 4 часа, через вторую за 5 часов. Через сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Критерии оценки

Максимальное количество за правильное выполнение практического задания – 100 баллов.

Итоговые оценки выставляются в соответствии с коэффициентом усвоения (КУ).

К У=

По мнению ученых числа появились еще тогда, когда человеку удалось научиться считать окружающие предметы. Это произошло очень и очень давно. Но знаки, обозначающие числа, появились по меркам истории относительно недавно.

Наука считает, что это произошло в 3000-2000 гг. до н. э. Их изобретение приписывают шумерам – народу, проживавшему на территории Месопотамии (в нынешнее время Ирак).

Историки полагают, что глиняные таблички, на которых они выдавливали определенные черточки, привели к изобретению клинописи. Ею обозначали своеобразные разрядные числа: единицы, десятки, сотни, и также они являлись обозначением цифр. Все остальные записи делались при помощи объединения данных знаков.

Использование цифр существенно упрощало подсчеты: вели счет дням недели, количеству голов скота, объемам урожая, считали размеры участков земли. После шумеров в Месопотамии появились вавилоняне. Они получили систему чисел в наследство от шумеров. До наших дней сохранились таблички-клинопись, на которых изображены превращения шумерских единиц для измерений в вавилонские.

Древние египтяне также использовали цифры. Свидетельством тому является находка Ринда – папирус с математическим трактатом, носящим имя изучавшего Египет англичанина и купившего его в 1858 году в стране пирамид. Такой случай представился в Луксоре. Документ содержит записи 84 математических заданий. Все они с решениями. Глядя на папирус, видно использование в Египте такого порядка цифр, где числовое обозначение – это сумма цифровых значений. При обозначении разрядных чисел, кратных десяти: 1, 10, 100, и т.д., египтяне придумали специальный иероглиф. Записывая разные числа, этот символ использовали такое количество раз, сколько в числе единиц данного разряда.

Похожая система счета существовала у римлян. Ей повезло больше других: она оказалась долгожителем среди древних систем счисления. Иногда ее используют и наши современники.

Такие народы, как финикийцы или древние греки, использовали в качестве цифр буквы.

Распространение индийских числовых обозначений в арабских странах приписывают работам двух математиков. Это Хорезми, живший ок. 780-ок. 850 гг. в Средней Азии и арабский ученый Кинди (ок.800-ок. 870). Первый, в Багдаде написал трактат о цифрах из Индии. Европейскую известность труд получил после перевода математика из Италии Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Эта работа привела к закреплению арабо-индийской числовой системы в Европе.

Арифметика каменного века

Обучаться счету наши предки стали на заре своего развития. Учила их этому окружающая жизнь. Охота была главным способом добычи еды. Чтобы не упустить жертву, ее окружали с разных сторон. Пять человек с одной стороны, четыре с другой. Здесь счет выходил на первое место. Люди, даже не имея понятий о цифрах, обходились показом на пальцах. До сих пор существуют племена, пользующиеся таким видом счета.

Археологи, нашедшие поселение древних людей, обнаружили среди волчьих останков кость, с нанесенными отметинами. 55 нанесенных зазубрин указывают на то, что древний охотник вел расчеты при помощи пальцев. Из рисунка на кости можно узнать, что количество зарубок составляет 11 групп по 5 отметин. Начальные 5 групп отделены от других удлиненной отметиной.

Человечество далеко продвинулось вперед с той поры. Но и поныне швейцарские фермеры, отвозя молоко для обработки, зарубками отмечают количество отправляемых емкостей.

Для успешного занятия сельским хозяйством, необходимы были знания арифметики. Не рассчитав количество дней, определить время посева, начало полива составляло определенные трудности. Нужно было определять сроки появления приплода у животных, численность скота в загоне, какое количество урожая помещено в амбары.

Примерно за 6 тыс. лет до н. э. скотоводы того времени начали лепить из глины различные предметы для подсчета животных в стаде. Чтобы узнать, все ли стадо вернулось домой, пастух откладывал в сторону один глиняный кружочек за каждую возвратившуюся овцу. Когда число кружочков и количество животных совпадало, считавший шел отдыхать. Его стадо состояло не только из овец. На пастбища выгоняли коров, коз и других животных. Поэтому возникала потребность в изготовлении и других глиняных фигурок. Люди, обрабатывавшие землю, при помощи таких изделий подсчитывали размеры полученного урожая. Число мешков в амбаре, количество выжатого масла в кувшинах. Сколько у него имеется кусков полотна. Все это требовало подсчета. Когда в стаде случался приплод, хозяин добавлял новые кружочки. При забое скота некоторые фигурки приходилось убирать в сторону.

Так, не зная счета, древние совершали арифметические действия.

Получение названий числами

Прошло немало столетий, или даже тысячелетий, чтобы одинаковые числа стали относиться к различным предметам. В это время и возникли универсальные числовые названия.

Сформировать навыки приближенных вычислений, умения оперировать рациональными числами, Образовать знания о развитии понятия числа.

Задачи урока

Образовать представления развитии понятия о числе.

Научить выполнять приближенные вычисления .

3. Вoспитывaть интерес к изучаемому предмету, усидчивость, порядочность, стремление к достижению успехов в предстоящей профессиональной деятельности.

Читайте также: