Проекция вектора на ось координаты вектора скалярное произведение векторов конспект
Обновлено: 07.07.2024
Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.
Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .
A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .
Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .
Пример проекции вектора на ось.
На координатной плоскости О х у задается точка M 1 ( x 1 , y 1 ) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов ( x 1 , 0 ) и ( 0 , y 1 ) .
Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.
Числовая проекция вектора на ось
Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.
Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.
Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .
Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .
Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.
Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Ответ: 4.
При известном cos ( a → , b → ^ ) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.
Числовой проекцией вектора a → на ось , совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.
Задан b → = ( - 3 , 4 ) . Найти числовую проекцию a → = ( 1 , 7 ) на L .
Решение
На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3 ) + 7 · 4 ( - 3 ) 2 + 4 2 = 5 .
Ответ: 5.
Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = ( 3 , - 2 , 6 ) . Задано трехмерное пространство.
Решение
По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = ( - 2 ) · 3 + 3 · ( - 2 ) + 1 · 6 3 2 + ( - 2 ) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:
Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos ( a , → b → ^ ) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = n p b → a → → .
Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos ( 180 ° - a → , b → ^ ) = - a → · cos ( a → , b → ^ ) , следует n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = - n p b → a → → .
Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .
Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:
- длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ ( a → , b → ) ^ 90 ° ;
- ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда ( a → , b → ^ ) = 90 ° ;
- длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.
Решение
Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 5 π 6 π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L : n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → ( - 2 , 1 , 2 ) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .
Решение
Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t : t = n p L a → → b → = 9 ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = ( - 2 , 1 , 2 ) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = ( - 6 , 3 , 6 ) . Ответ: ( - 6 , 3 , 6 ) .
Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Образовательная : Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний о проекции вектора на ось;
Развивающая : Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.
Воспитательная : Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Оборудование и источники информации:
Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015
Структура урока:
Организационный момент(3 мин)
Актуализация опорных знаний(5 мин)
Изучение нового материала (18 мин)
Закрепление знаний (15 мин)
Итоги урока(5 мин)
Содержание урока
Организационный момент
Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться с проекцией вектора на ось. А это значит, что Тема урока : Проекция вектора на ось.
Актуализация опорных знаний
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Каковы ее свойства?
Изучение нового материала
Начнем с понятия проекция точки на ось. Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось. На рисунке 30 точка , — это проекция точки М на ось Ох, точка — проекция точки N на эту ось.
А что такое проекция вектора на ось ?
Обозначать проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но с индексом внизу (например, а х — проекция вектора а на ось Ох).
На рисунке 31, а угол между вектором и осью Ох острый, а на рисунке 31, б угол — тупой. Поэтому проекция вектора а на ось Ох положительна (а х = А 1 > 0), а проекция вектора b — отрицательна ( b x = D l C l 0).
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция вектора равна нулю (рис. 32).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
На рисунке 31, a в треугольнике A В, гипотенуза АВ = а, катет А = а х , а угол между ними равен . Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью .
Это правило справедливо при любых значениях угла .
Для тупых углов (см. рис. 31, 6) cos b x = b cos получится b х 0 (как и должно быть по определению проекции).
А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?
Рассмотрим вектор d = АС, лежащий в плоскости хОу (рис. 33). Его проекции на оси Ох и Оу легко определить из рисунка: d x = 8, d y = 6. Из треугольника ACD по теореме Пифагора находим модуль: . Разделив AD на AC , получим cos =0,8. По значению косинуса находим угол = 37°. Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, определяется двумя проекциями на оси координат. Вектор, произвольно направленный в пространстве, определяется тремя проекциями а х , a у , а г (рис. 34).
Обратим внимание на важное свойство проекций:
проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 35, а, б проверьте, что из равенства c = a + b следует При проверке не забывайте о знаках проекций.
Закрепление знаний
Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав его проекции на оси координат.
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .
Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).
Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .
Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.
Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l.
Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.
Проекцию вектора на ось l будем обозначать .
Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .
Определение скалярного произведения:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается (или ). Итак, по определению,
где
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как (см. рис. 14), то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
1.Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
И так как как произведение чисел и
2.Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя:
3.Скалярное произведение обладает распределительным свойством:
4.Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
В частности:
Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т. е.
Пример:
Найти длину вектора
Решение:
5.Если векторы (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если Справедливо и обратное утверждение: если
Отсюда В частности:
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример:
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин A(-4;- 4; 4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.
Решение:
Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: Найдем скалярное произведение этих векторов:
Отсюда следует, что Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла ( между ненулевыми векторами
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (см. рис. 15).
Из физики известно, что работа силы при перемещении равна
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример:
Вычислить работу, произведенную силой =(3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение В (4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена сила ?
Решение: Находим Стало быть,
Угол между и находим по формуле т. е.
Скалярное произведение векторов
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Читайте также:
- Д с самойлов над невой весь город в плавных разворотах конспект урока
- Чтение туркменской сказки падчерица в подготовительной группе конспект занятия
- Дом и семья в православии 5 класс однкнр конспект урока
- Конспект нод кляксография старшая группа
- Конспект двигательной деятельности в первой младшей группе